Sammansatt rörelse

När du går på en rulltrappa som är i rörelse, utför du två rörelser samtidigt: benen bär dig uppför trappstegen, och trappstegen för dig samtidigt uppåt. En liten båt på en å färdas i förhållande till vattnet, och vattnet för den hela tiden med sig. Den resulterande rörelsen får vi genom att sammansätta delrörelserna, vilket betyder att vi adderar deras hastigheter som vektorer, som pilar.

Att gå på en rulltrappa

Rulltrappan i tunnelbanan stiger med hastigheten v₂ = 0,5 m/s, och du börjar gå uppför den med hastigheten v₁ = 1 m/s. Den hastigheten mäts i förhållande till trappstegen, lika snabbt skulle du gå i en vanlig trappa. I förhållande till stationen kommer du fram snabbare, eftersom trappstegen under dig rör sig av sig själva. Båda pilarna pekar åt samma håll, så deras längder bara adderas:

$$v=v_1+v_2=1\mathrm{m}/\mathrm{s}+0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}=1,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Varje sekund går du en meter uppför trappstegen, och trappstegen för dig dessutom en halv meter till. Om rulltrappan är s = 30 m lång, är du uppe efter

$$t=\frac{s}{v}=\frac{30\mathrm{m}}{1,5\mathrm{m}/\mathrm{s}}=20\mathrm{s}.$$

Om du bara stod stilla skulle åkturen ta $\frac{30\mathrm{m}}{0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}}=60\mathrm{s}$, en hel minut.

Nu stiger du i stället på en rulltrappa som går nedåt och börjar gå uppåt i samma takt. Pilarna pekar nu mot varandra, och därför subtraheras längderna:

$$v=v_1-v_2=1\mathrm{m}/\mathrm{s}-0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}=0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Du kommer visserligen upp, men de trettio metrarna tar återigen en hel minut. Om du gick med bara en halv meter per sekund, skulle du gå på stället. Med ännu långsammare steg skulle rulltrappan sakta men säkert föra dig ner.

Hur fort går du egentligen? Det finns två rätta svar. I förhållande till trappstegen 1 m/s, i förhållande till stationen 1,5 m/s eller 0,5 m/s. Det beror på referensramen, alltså på vad vi beskriver rörelsen i förhållande till.

På rulltrappan ligger båda pilarna längs samma linje, och då räcker det att addera eller subtrahera längderna. Det blir mer intressant när två rörelser pekar åt var sitt håll.

Båten över ån

Ån är d = 60 m bred och strömmar med hastigheten v₂ = 1 m/s. En båt som på stilla vatten färdas med hastigheten v₁ = 2 m/s lägger ut från stranden. Rorsmannen riktar fören vinkelrätt mot den motsatta stranden och håller den så hela tiden. Hamnar båten rakt mitt emot platsen där den startade? Vi skriver upp uppgiften:

$$\begin{array}{rl}d& =60\mathrm{m}\\ v_1& =2\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v_2& =1\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Nej, det gör den inte. Medan båten tar sig tvärs över strömmar vattnet under den och för den med sig. Fören pekar visserligen hela tiden vinkelrätt mot stranden, men båten glider snett och landar en bit längre nedströms. I animationen syns det tydligt: båten färdas inte dit fören pekar. Fören visar åt vilket håll båten färdas i förhållande till vattnet. Och hur många meter nedströms för strömmen den?

Rörelserna stör inte varandra

Nyckeln till uträkningen är principen om rörelsernas oberoende: om en kropp utför flera rörelser samtidigt, försiggår var och en av dem som om de andra inte fanns. Kroppen hamnar på samma plats som om rörelserna hade ägt rum efter varandra.

Låt oss pröva det med båten i två steg. Tänk dig först att vattnet står stilla och rorsmannen ror i en halv minut. Båten tar sig rakt tvärs över och stannar rakt mitt emot. Sedan slutar han ro och låter båten föras med av strömmen i en halv minut, så att den flyttas längs stranden. Den hamnar exakt på den plats dit den kommer när båda sakerna sker samtidigt. I verkligheten försiggår båda rörelserna samtidigt, och därför färdas båten snett, men ingen av dem hindrar den andra.

För båten är det lätt att föreställa sig. I förhållande till vattnet färdas den vinkelrätt tvärs över, precis som på en damm. Strömmen flyttar bara hela vattenmassan med båten i, på samma sätt som rulltrappan flyttar trappstegen med dig på. Tvärs över drivs båten därför bara av sin egen hastighet 2 m/s. Strömmen går längs stränderna, så den varken hjälper eller hindrar överfarten. Tiden för överfarten beror därför bara på åns bredd och hastigheten tvärs över:

$$t=\frac{d}{v_1}=\frac{60\mathrm{m}}{2\mathrm{m}/\mathrm{s}}=30\mathrm{s}$$

Under alla de trettio sekunderna för strömmen båten med sig med hastigheten 1 m/s. Avståndet som båten landar nedströms kallar vi avdrift:

$$x=v_2\cdot t=1\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 30\mathrm{s}=30\mathrm{m}$$

Båten landar trettio meter nedströms från platsen rakt mitt emot. För varje två meter tvärs över flyttar strömmen den en meter längs stranden, så dess spår är en rät linje. Om ån strömmade dubbelt så fort, skulle båten vara framme på andra stranden efter en halv minut ändå, men sextio meter från målet.

Hur snabbt rör sig båten i förhållande till stranden? Den resulterande hastigheten är vektorsumman

$$\overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}_1+{\overrightarrow{v}}_2.$$

Vi ritar båda pilarna från samma punkt och kompletterar dem till en parallellogram, där den resulterande hastigheten är diagonalen. Pilarna är vinkelräta mot varandra, så parallellogrammen är här en rektangel, som på vänstra sidan av bilden. Den resulterande hastighetens längd räknar vi ut med Pythagoras sats:

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{v_1^2+v_2^2}=\sqrt{(2\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2+(1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}\\ & =\sqrt{5{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\approx 2,24\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

I förhållande till stranden är båten snabbare än på stilla vatten, men den extra hastigheten bär den åt ett annat håll än den vill. Det vore fel att addera hastigheterna som vanliga tal, 2 m/s + 1 m/s = 3 m/s. Så adderas bara pilar som pekar åt samma håll, som på rulltrappan.

Resultatet kan vi kontrollera på ett annat sätt. På 30 s tillryggalägger båten med hastigheten $\sqrt{5{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}$ en sned sträcka på ungefär 67,1 m. Lika lång är hypotenusan i triangeln som bildas av åns bredd och avdriften:

$$\sqrt{(60\mathrm{m}{)}^2+(30\mathrm{m}{)}^2}=\sqrt{4500{\mathrm{m}}^2}\approx 67,1\mathrm{m}$$

Det stämmer. Båten tar sig över ån på trettio sekunder, rör sig i förhållande till stranden med hastigheten ungefär 2,24 m/s och landar trettio meter längre nedströms.

Så kommer du rakt mitt emot

Om rorsmannen ska landa exakt mitt emot, måste han vrida båten snett mot strömmen. En del av dess hastighet övervinner då strömmen och resten driver den tvärs över. Den resulterande hastigheten $\overrightarrow{v}$ ska peka rakt mot den motsatta stranden, som på högra sidan av bilden.

Leta till höger efter triangeln som bildas av den röda pilen, den gröna pilen och den streckade sträckan upptill. Den streckade sträckan är parallellogrammens motsatta sida, så den är lika lång som strömpilen och parallell med den. Med den gröna pilen bildar den därför en rät vinkel, precis som strömpilen nedtill. Hypotenusan är båtens hastighet v₁, och mittemot vinkeln α ligger strömmens hastighet v₂. Därför är

$$\sin \alpha =\frac{v_2}{v_1}=\frac{1\mathrm{m}/\mathrm{s}}{2\mathrm{m}/\mathrm{s}}=\frac{1}{2}.$$

Sinus är lika med en halv för vinkeln 30°. Rorsmannen måste vrida båten 30° från normalen mot strömmen.

Till samma resultat leder också en uppdelning av båtens hastighet i två vinkelräta komposanter. Den ena pekar mot strömmen och har längden v₁ · sin α, den andra pekar tvärs över och har längden v₁ · cos α. Om båten ska färdas rakt mitt emot, måste komposanten mot strömmen precis väga upp strömmen, det måste gälla att v₁ · sin α = v₂. Efter division med hastigheten v₁ får vi på nytt $\sin \alpha =\frac{1}{2}$. Strömmen för då inte båten någonstans, och bara rörelsen tvärs över blir kvar.

Hastigheten tvärs över är den andra kateten, och den räknar vi ut med Pythagoras sats:

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{v_1^2-v_2^2}=\sqrt{(2\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2-(1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}\\ & =\sqrt{3{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\approx 1,73\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Samma resultat skulle vi få av v₁ · cos α = 2 m/s · cos 30°. Principen om rörelsernas oberoende kommer här till nytta för andra gången. Tiden för överfarten bestäms bara av hastigheten tvärs över, och den är nu mindre än förut, så överfarten tar längre tid:

$$t=\frac{d}{v}=\frac{60\mathrm{m}}{\sqrt{3{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}}\approx 34,6\mathrm{s}$$

Den raka vägen är kortare och tar ändå nästan fem sekunder längre. Den som vill ta sig till andra stranden så fort som möjligt, till exempel en simmare i en å, ska sikta rakt över och acceptera avdriften. Den som vill landa vid bryggan rakt mitt emot måste vrida sig mot strömmen och acceptera en längre överfart.

Samma knep kan piloter när det blåser från sidan. Flygplanet flyger med nosen en bit mot vinden för att röra sig rakt mot målet i förhållande till marken. Vid landning i kraftig sidvind närmar sig planet därför landningsbanan liksom från sidan och rätar upp sig först alldeles ovanför marken.

Ytterligare en fälla. Om strömmen vore snabbare än båten, skulle sinus bli större än ett, och en sådan vinkel finns inte. Vid lika snabb ström skulle båten behöva peka rakt mot strömmen och skulle inte röra sig tvärs över alls. Strömmen skulle alltid föra båten med sig, hur den än pekade. Redan när strömmen bara är lite långsammare än båten, måste rorsmannen styra nästan rakt mot strömmen, och tvärs över rör sig båten med snigelfart.

Snett regn från en bil i rörelse

Det ösregnar och det blåser inte, så dropparna faller lodrätt, de stora med hastigheten ungefär 9 m/s. När bilen står stilla ser du lodräta streck genom fönstret. Men så fort du kör iväg flyger dropparna snett bakåt utanför sidorutan, och ju fortare du kör, desto mer.

Vi beskriver det i en referensram som är knuten till bilen. I förhållande till bilen glider hela landskapet bakåt, träden, husen och dropparna. Varje droppe utför alltså två rörelser: den faller nedåt med hastigheten 9 m/s och rör sig samtidigt bakåt med bilens hastighet. Den resulterande hastigheten är deras vektorsumma och pekar snett nedåt och bakåt.

När bilen också kör 9 m/s, alltså ungefär 32 km/h, är båda pilarna lika långa och vinkelräta. Den resulterande hastigheten är diagonalen i en kvadrat, så dropparna faller i vinkeln 45°. På motorvägen är den vågräta pilen flera gånger längre än den lodräta, och dropparna flyger nästan vågrätt.

Vi kan vända på resonemanget. När du kör 32 km/h och ser dropparnas streck exakt i vinkeln 45°, vet du att dropparna faller lika fort som du kör. Av hastighetsmätaren och streckens lutning kan vi uppskatta regnets hastighet utan att kliva ut.

Vindrutan blir blötast när man kör i regn, medan bakrutan får få droppar. Av samma skäl lutar alla som springer i regnet paraplyet framåt. Dropparna faller nämligen snett framifrån i löparens referensram. Den som står vid hållplatsen håller paraplyet lodrätt, eftersom dropparna faller uppifrån.

Även hastigheten med vilken dropparna slår i vindrutan sammansätts. Vid 32 km/h är den diagonalen i en kvadrat med sidan 9 m/s, alltså $\sqrt{2}\cdot 9\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 12,7\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Just därför trummar dropparna så högljutt mot rutan när man kör fort i regn.

Båten, bilen och dropparna rörde sig här längs räta linjer. Men hästen på karusellen eller spetsen på en klockvisare går runt i cirklar. Hur man beskriver en rörelse längs en cirkel, vad period, frekvens och radianer är och varför karusellens kant går fortare än platserna nära mitten visar nästa artikel, Likformig cirkelrörelse.