Składanie ruchów

Kiedy idziesz po jadących ruchomych schodach, wykonujesz jednocześnie dwa ruchy: nogi niosą cię po stopniach, a stopnie przy tym wiozą cię w górę. Łódka na rzece płynie względem wody, a woda przez cały czas ją znosi. Ruch wypadkowy otrzymujemy, składając ruchy składowe, czyli dodając ich prędkości jak wektory, jak strzałki.

Chodzenie po ruchomych schodach

Ruchome schody w metrze wznoszą się z prędkością v₂ = 0,5 m/s, a ty ruszasz po nich z prędkością v₁ = 1 m/s. Mierzysz ją względem stopni, tak samo szybko ruszyłbyś po zwykłych schodach. Względem stacji poruszasz się szybciej, bo stopnie pod tobą same jadą. Obie strzałki są skierowane tak samo, więc ich wartości po prostu się dodaje:

$v = v_{1} + v_{2} = 1 m / s + 0, 5 m / s = 1, 5 m / s$

W każdej sekundzie przechodzisz po stopniach metr, a stopnie podwożą cię jeszcze o pół metra. Jeśli schody mają długość s = 30 m, będziesz na górze po

$t = \frac{s}{v} = \frac{30 m}{1, 5 m / s} = 20 s .$

Gdybyś tylko stał w miejscu, jechałbyś $\frac{30 m}{0, 5 m / s} = 60 s$ , całą minutę.

Dla odmiany wsiadasz na schody jadące w dół i ruszasz po nich w górę tym samym krokiem. Strzałki są teraz skierowane przeciwnie, więc ich wartości się odejmuje:

$v = v_{1} - v_{2} = 1 m / s - 0, 5 m / s = 0, 5 m / s$

Na górę wprawdzie dotrzesz, ale trzydzieści metrów zajmie ci znowu całą minutę. Gdybyś szedł tylko pół metra na sekundę, dreptałbyś w miejscu. Przy jeszcze wolniejszym kroku schody powoli, ale nieubłaganie zwiozłyby cię na dół.

Jak szybko właściwie idziesz? Poprawne są dwie odpowiedzi. Względem stopni 1 m/s, względem stacji 1,5 m/s albo 0,5 m/s. Zależy to od układu odniesienia, czyli od tego, względem czego opisujemy ruch.

Na ruchomych schodach obie strzałki leżą na jednej prostej, więc wystarczy ich wartości dodać albo odjąć. Ciekawiej robi się wtedy, gdy każdy z dwóch ruchów jest skierowany gdzie indziej.

Łódka przez rzekę

Rzeka ma szerokość d = 60 m i płynie z prędkością v₂ = 1 m/s. Od brzegu odbija łódka, która na stojącej wodzie płynie z prędkością v₁ = 2 m/s. Sternik ustawia ją dziobem prostopadle do przeciwległego brzegu i przez cały czas tak ją trzyma. Czy łódka dopłynie dokładnie naprzeciwko miejsca, z którego wyruszyła? Zapiszmy dane:

$\begin{aligned} d & = 60 m \\ v_{1} & = 2 m / s \\ v_{2} & = 1 m / s \end{aligned}$

Łódka jest skierowana dziobem prostopadle do przeciwległego brzegu (szara linia przerywana), ale nurt ją znosi, więc płynie ukośnie po czerwonym śladzie i przybija dalej w dół rzeki. d to szerokość rzeki, x znoszenie

Nie dopłynie. Podczas gdy łódka przedziera się w poprzek, woda pod nią płynie i niesie ją ze sobą. Dziób wprawdzie przez cały czas jest skierowany prostopadle do brzegu, ale łódka przesuwa się ukośnie i przybija kawałek dalej w dół rzeki. Na animacji dobrze to widać: łódka nie płynie tam, gdzie wskazuje jej dziób. Dziób pokazuje, dokąd łódka płynie względem wody. A o ile metrów zniesie ją nurt?

Ruchy sobie nie przeszkadzają

Kluczem do obliczeń jest zasada niezależności ruchów: jeśli ciało wykonuje jednocześnie kilka ruchów, każdy z nich przebiega tak, jakby pozostałych nie było. Ciało znajdzie się w tym samym miejscu, w którym znalazłoby się, gdyby ruchy odbyły się jeden po drugim.

Spróbujmy tego z łódką w dwóch krokach. Najpierw wyobraź sobie, że woda stoi, a sternik przez pół minuty wiosłuje. Łódka przepływa prosto w poprzek i zatrzymuje się dokładnie naprzeciwko. Potem przestaje wiosłować i przez pół minuty daje się nieść nurtowi, który przesuwa ją wzdłuż brzegu. Znajdzie się dokładnie w tym miejscu, do którego dopływa, gdy robi obie rzeczy naraz. W rzeczywistości oba ruchy przebiegają jednocześnie, dlatego łódka płynie ukośnie, ale żaden z nich nie spowalnia drugiego.

W przypadku łódki łatwo to sobie wyobrazić. Względem wody płynie prostopadle w poprzek, dokładnie jak na stawie. Nurt tylko przesuwa cały ten kawałek wody razem z łódką w dół rzeki, tak jak ruchome schody przesuwają stopnie razem z tobą. W poprzek łódkę napędza więc tylko jej własna prędkość 2 m/s. Nurt jest skierowany wzdłuż brzegów, więc w przepłynięciu ani nie pomaga, ani nie przeszkadza. Czas przepłynięcia zależy zatem tylko od szerokości rzeki i od prędkości w poprzek:

$t = \frac{d}{v_{1}} = \frac{60 m}{2 m / s} = 30 s$

Przez całe trzydzieści sekund nurt znosi przy tym łódkę z prędkością 1 m/s. Odległość, o jaką łódka przybije dalej w dół rzeki, nazywamy znoszeniem:

$x = v_{2} \cdot t = 1 m / s \cdot 30 s = 30 m$

Łódka przybije trzydzieści metrów w dół rzeki od miejsca dokładnie naprzeciwko. Na każde dwa metry w poprzek nurt przesuwa ją o metr wzdłuż brzegu, więc jej ślad jest linią prostą. Przy dwa razy szybszym nurcie łódka znowu byłaby na drugim brzegu po pół minucie, ale sześćdziesiąt metrów od celu.

Strzałki prędkości. Po lewej dziób łódki jest skierowany prostopadle do brzegu: czerwona prędkość łódki v⃗_1, niebieska prędkość nurtu v⃗_2 i zielona prędkość wypadkowa v⃗. Po prawej łódka jest skierowana pod kątem α pod prąd, a prędkość wypadkowa prowadzi prosto w poprzek

Jak szybko łódka porusza się względem brzegu? Prędkość wypadkowa jest sumą wektorową

$\vec{v} = {\vec{v}}_{1} + {\vec{v}}_{2} .$

Obie strzałki rysujemy z jednego punktu i uzupełniamy je do równoległoboku, a prędkość wypadkowa jest jego przekątną. Strzałki są do siebie prostopadłe, więc równoległobok jest tu prostokątem, jak po lewej stronie rysunku. Wartość prędkości wypadkowej obliczamy z twierdzenia Pitagorasa:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}} = \sqrt{(2 m / s)^{2} + (1 m / s)^{2}} \\ = \sqrt{5 m^{2} {/ s}^{2}} \approx 2, 24 m / s \end{aligned}$

Względem brzegu łódka jest szybsza niż na stojącej wodzie, ale ta dodatkowa prędkość niesie ją gdzie indziej, niż chce. Błędem byłoby dodać prędkości jak zwykłe liczby, 2 m/s + 1 m/s = 3 m/s. Tak dodaje się tylko strzałki skierowane w tę samą stronę, jak na ruchomych schodach.

Wynik możemy sprawdzić inną drogą. W ciągu 30 s łódka z prędkością $\sqrt{5 m^{2} {/ s}^{2}}$ pokona ukośną drogę około 67,1 m. Tak samo długa jest przeciwprostokątna trójkąta, który tworzą szerokość rzeki i znoszenie:

$\sqrt{(60 m)^{2} + (30 m)^{2}} = \sqrt{4500 m^{2}} \approx 67, 1 m$

Zgadza się. Łódka przepływa rzekę w trzydzieści sekund, względem brzegu porusza się przy tym z prędkością około 2,24 m/s i przybija trzydzieści metrów w dół rzeki.

Jak dopłynąć dokładnie naprzeciwko

Jeśli sternik ma przybić dokładnie naprzeciwko, musi ustawić łódkę ukośnie pod prąd. Część jej prędkości pokonuje wtedy nurt, a reszta pcha ją w poprzek. Prędkość wypadkowa $\vec{v}$ ma być skierowana prosto do przeciwległego brzegu, jak po prawej stronie rysunku.

Po prawej znajdź trójkąt, który tworzą czerwona strzałka, zielona strzałka i przerywany odcinek u góry. Przerywany odcinek jest przeciwległym bokiem równoległoboku, więc jest tak samo długi jak strzałka nurtu i do niej równoległy. Z zieloną strzałką tworzy zatem kąt prosty, tak samo jak nurt na dole. Przeciwprostokątną jest prędkość łódki v₁, a naprzeciw kąta α leży prędkość nurtu v₂. Dlatego

$\sin α = \frac{v_{2}}{v_{1}} = \frac{1 m / s}{2 m / s} = \frac{1}{2} .$

Sinus jest równy jednej drugiej dla kąta 30°. Sternik musi skierować łódkę pod kątem 30° od prostopadłej pod prąd.

Do tego samego wyniku prowadzi rozkład prędkości łódki na dwie prostopadłe składowe. Jedna jest skierowana pod prąd i ma wartość v₁ · sin α, druga jest skierowana w poprzek i ma wartość v₁ · cos α. Jeśli łódka ma płynąć dokładnie naprzeciwko, składowa skierowana pod prąd musi dokładnie zrównoważyć nurt, czyli musi zachodzić v₁ · sin α = v₂. Po podzieleniu przez prędkość v₁ dostajemy znowu $\sin α = \frac{1}{2}$ . Nurt nigdzie wtedy łódki nie znosi i zostaje tylko ruch w poprzek.

Prędkość w poprzek to druga przyprostokątna, obliczamy ją z twierdzenia Pitagorasa:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{v_{1}^{2} - v_{2}^{2}} = \sqrt{(2 m / s)^{2} - (1 m / s)^{2}} \\ = \sqrt{3 m^{2} {/ s}^{2}} \approx 1, 73 m / s \end{aligned}$

Tak samo wyszłoby v₁ · cos α = 2 m/s · cos 30°. Zasada niezależności przydaje się tu po raz drugi. Czas przepłynięcia wyznacza tylko prędkość w poprzek, a ta jest teraz mniejsza niż poprzednio, więc przepłynięcie potrwa dłużej:

$t = \frac{d}{v} = \frac{60 m}{\sqrt{3 m^{2} {/ s}^{2}}} \approx 34, 6 s$

Prosta droga jest krótsza, a mimo to trwa prawie o pięć sekund dłużej. Kto chce dostać się na drugi brzeg jak najszybciej, na przykład pływak w rzece, powinien płynąć prostopadle i pogodzić się ze znoszeniem. Kto chce przybić do pomostu dokładnie naprzeciwko, musi ustawić się pod prąd i pogodzić się z dłuższym rejsem.

Ten sam trik znają piloci przy bocznym wietrze. Samolot leci dziobem nieco pod wiatr, żeby względem ziemi poruszać się prosto do celu. Podczas lądowania przy silnym bocznym wietrze zbliża się więc do pasa startowego jakby bokiem i prostuje się dopiero tuż nad ziemią.

Jeszcze jedna pułapka. Gdyby nurt był szybszy niż łódka, sinus wyszedłby większy od jedności, a taki kąt nie istnieje. Przy tak samo szybkim nurcie łódka musiałaby płynąć prosto pod prąd i w poprzek w ogóle by się nie przesunęła. Nurt zawsze by łódkę zniósł, jakkolwiek by ją skierować. Już wtedy, gdy nurt jest tylko trochę wolniejszy niż łódka, sternik musi kierować ją prawie pod prąd, a w poprzek łódka porusza się w żółwim tempie.

Ukośny deszcz z jadącego samochodu

Na zewnątrz leje, a wiatr nie wieje, więc krople spadają pionowo, te duże z prędkością około 9 m/s. Kiedy samochód stoi, widzisz z okna pionowe kreski. Ledwie jednak ruszysz, krople za bocznym oknem lecą ukośnie do tyłu, i to tym bardziej, im szybciej jedziesz.

Opiszmy to w układzie odniesienia związanym z samochodem. Względem samochodu cały krajobraz przesuwa się do tyłu, drzewa, domy i krople. Każda kropla wykonuje więc dwa ruchy: spada w dół z prędkością 9 m/s i jednocześnie porusza się do tyłu z prędkością samochodu. Prędkość wypadkowa jest ich sumą wektorową i jest skierowana ukośnie w dół i do tyłu.

Kiedy samochód jedzie także 9 m/s, czyli około 32 km/h, obie strzałki są tak samo długie i prostopadłe. Wypadkowa jest przekątną kwadratu, więc krople spadają pod kątem 45°. Na autostradzie pozioma strzałka jest kilka razy dłuższa od pionowej i krople lecą prawie poziomo.

Rozumowanie możemy odwrócić. Jeśli przy jeździe z prędkością 32 km/h widzisz ślady kropli dokładnie pod kątem 45°, wiesz, że krople spadają tak samo szybko, jak jedziesz. Z prędkościomierza i nachylenia śladów oszacujemy prędkość deszczu bez wysiadania z samochodu.

Przednia szyba podczas jazdy w deszczu jest zalewana najbardziej, a na tylną spada niewiele kropli. Z tego samego powodu każdy, kto biegnie w deszczu, przechyla parasol do przodu. Krople w układzie odniesienia biegacza spadają na niego bowiem ukośnie z przodu. Kto stoi na przystanku, trzyma parasol pionowo, bo krople spadają na niego z góry.

Również prędkość, z jaką krople uderzają w przednią szybę, jest wypadkową dwóch prędkości. Przy 32 km/h jest to przekątna kwadratu o boku 9 m/s, czyli $\sqrt{2} \cdot 9 m / s \approx 12, 7 m / s$ . Właśnie dlatego przy szybkiej jeździe w deszczu krople tak głośno bębnią o szybę.

Łódka, samochód i krople poruszały się tu po liniach prostych. Konik na karuzeli albo koniec wskazówki zegara krążą jednak w kółko. Jak opisać ruch po okręgu, czym są okres, częstotliwość i radiany i dlaczego brzeg karuzeli jedzie szybciej niż miejsca przy środku, pokaże następny artykuł, Ruch jednostajny po okręgu.

« Poprzedni: Spadek swobodny

Dalszy: Ruch jednostajny po okręgu »