Sammensatte bevegelser

Når du går på en rulletrapp som er i gang, utfører du to bevegelser samtidig: bena bærer deg opp trappetrinnene, og trinnene kjører deg samtidig oppover. En liten båt på en elv beveger seg i forhold til vannet, og vannet fører den hele tiden med seg. Den resulterende bevegelsen får vi ved å sette sammen delbevegelsene, det vil si legge sammen hastighetene deres som vektorer, som piler.

Å gå på rulletrapp

Rulletrappen på T-banen stiger med farten v₂ = 0,5 m/s, og du begynner å gå oppover med farten v₁ = 1 m/s. Den måler du i forhold til trinnene, du ville gått like fort i en vanlig trapp. I forhold til stasjonen kommer du fortere fram, for trinnene beveger seg under deg av seg selv. Begge pilene peker i samme retning, så lengdene legges rett og slett sammen:

$v = v_{1} + v_{2} = 1 m / s + 0, 5 m / s = 1, 5 m / s$

Hvert sekund går du en meter på trinnene, og trinnene tar deg i tillegg en halv meter med. Hvis rulletrappen er s = 30 m lang, er du oppe etter

$t = \frac{s}{v} = \frac{30 m}{1, 5 m / s} = 20 s .$

Hvis du bare sto stille, ville du brukt $\frac{30 m}{0, 5 m / s} = 60 s$ , et helt minutt.

For en forandring går du inn på en rulletrapp som går nedover og begynner å gå oppover med samme skritt. Pilene peker nå mot hverandre, og lengdene trekkes derfor fra hverandre:

$v = v_{1} - v_{2} = 1 m / s - 0, 5 m / s = 0, 5 m / s$

Du kommer riktignok opp, men tretti meter tar igjen et helt minutt. Hvis du bare gikk en halv meter i sekundet, ville du trampet på stedet. Med enda saktere skritt ville rulletrappen sakte men sikkert tatt deg ned.

Hvor fort går du egentlig? Det er to riktige svar. I forhold til trinnene 1 m/s, i forhold til stasjonen 1,5 m/s eller 0,5 m/s. Det kommer an på referansesystemet, altså hva vi beskriver bevegelsen i forhold til.

På rulletrappen ligger begge pilene på én linje, så det holder å legge lengdene sammen eller trekke dem fra hverandre. Mer interessant blir det når to bevegelser peker hver sin vei.

Båt over elva

Elva er d = 60 m bred og renner med farten v₂ = 1 m/s. Fra land legger en liten båt ut som på stille vann går v₁ = 2 m/s. Rormannen dreier baugen vinkelrett mot den andre bredden og holder den slik hele tiden. Ender den rett overfor stedet den startet fra? Vi skriver opp oppgaven:

$\begin{aligned} d & = 60 m \\ v_{1} & = 2 m / s \\ v_{2} & = 1 m / s \end{aligned}$

Båten peker vinkelrett mot den andre bredden (grå stiplet linje), men strømmen fører den med seg, så den går på skrå langs det røde sporet og lander lenger nedover elva. d er bredden på elva, x avdriften

Det gjør den ikke. Mens båten bryter seg over, strømmer vannet under den og tar den med seg. Baugen peker riktignok hele tiden vinkelrett mot bredden, men båten glir på skrå og lander et stykke lenger nedover elva. I animasjonen ser vi det godt: båten går ikke dit baugen peker. Baugen viser hvor båten går i forhold til vannet. Og hvor mange meter fører strømmen den med seg?

Bevegelsene hindrer ikke hverandre

Nøkkelen til utregningen er prinsippet om uavhengige bevegelser: når et legeme utfører flere bevegelser samtidig, foregår hver av dem som om de andre ikke fantes. Legemet ender på samme sted som om bevegelsene hadde skjedd etter hverandre.

La oss prøve det på båten i to trinn. Først forestiller du deg at vannet står stille og rormannen ror i et halvt minutt. Båten går rett tvers over og stopper rett overfor. Så slutter han å ro og lar båten drive med strømmen i et halvt minutt, og den flyttes langs bredden. Den ender akkurat på det stedet den kommer til når den gjør begge deler samtidig. I virkeligheten foregår begge bevegelsene samtidig, så båten går på skrå, men ingen av dem forsinker den andre.

For båten er det lett å se for seg. I forhold til vannet går den vinkelrett tvers over, akkurat som på en dam. Strømmen flytter bare hele vannmassen med båten, slik rulletrappen flytter trinnene med deg. Tvers over drives båten derfor bare av sin egen fart 2 m/s. Strømmen går langs bredden, så den verken hjelper eller hindrer overfarten. Tiden for overfarten avhenger derfor bare av bredden på elva og farten tvers over:

$t = \frac{d}{v_{1}} = \frac{60 m}{2 m / s} = 30 s$

Alle de tretti sekundene fører strømmen båten med seg med farten 1 m/s. Avstanden båten lander lenger nedover elva, kaller vi avdrift:

$x = v_{2} \cdot t = 1 m / s \cdot 30 s = 30 m$

Båten lander tretti meter nedstrøms for stedet rett overfor. For hver to meter tvers over flytter strømmen den en meter langs bredden, så sporet er en rett linje. Hvis elva rant dobbelt så fort, ville båten også da vært på den andre bredden etter et halvt minutt, men seksti meter fra målet.

Hastighetspiler. Til venstre peker båten vinkelrett mot bredden: rød hastighet for båten v⃗_1, blå hastighet for strømmen v⃗_2 og grønn resulterende v⃗. Til høyre peker båten med vinkelen α mot strømmen, og den resulterende hastigheten går rett tvers over

Hvor fort beveger båten seg i forhold til bredden? Den resulterende hastigheten er vektorsummen

$\vec{v} = {\vec{v}}_{1} + {\vec{v}}_{2} .$

Begge pilene tegner vi fra ett punkt og fyller ut til et parallellogram, den resulterende hastigheten er diagonalen. Pilene står vinkelrett på hverandre, så parallellogrammet er her et rektangel, som på venstre side av bildet. Lengden av den resulterende hastigheten regner vi ut med Pytagoras' setning:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}} = \sqrt{(2 m / s)^{2} + (1 m / s)^{2}} \\ = \sqrt{5 m^{2} {/ s}^{2}} \approx 2, 24 m / s \end{aligned}$

I forhold til bredden er båten raskere enn på stille vann, men den ekstra farten fører den et annet sted enn den vil. Det ville være feil å legge sammen fartene som vanlige tall, 2 m/s + 1 m/s = 3 m/s. Slik legges bare piler som peker i samme retning sammen, som på rulletrappen.

Resultatet kan vi kontrollere på en annen måte. På 30 s kommer båten med farten $\sqrt{5 m^{2} {/ s}^{2}}$ en skrå strekning på omtrent 67,1 m. Like lang er hypotenusen i trekanten som bredden på elva og avdriften danner:

$\sqrt{(60 m)^{2} + (30 m)^{2}} = \sqrt{4500 m^{2}} \approx 67, 1 m$

Det stemmer. Båten kommer over elva på tretti sekunder, beveger seg i forhold til bredden med farten omtrent 2,24 m/s og lander tretti meter nedstrøms.

Hvordan komme rett overfor

Hvis rormannen skal lande nøyaktig rett overfor, må han dreie båten på skrå mot strømmen. En del av farten går da med til å overvinne strømmen, og resten driver båten tvers over. Den resulterende hastigheten $\vec{v}$ skal peke rett mot den andre bredden, som på høyre side av bildet.

Til høyre ser du etter trekanten som den røde pilen, den grønne pilen og den stiplede linjen øverst danner. Den stiplede linjen er den motstående siden i parallellogrammet, så den er like lang som strømpilen og parallell med den. Med den grønne pilen danner den derfor en rett vinkel, akkurat som strømmen nede. Hypotenusen er farten til båten v₁, og mot vinkelen α ligger farten til strømmen v₂. Derfor er

$\sin α = \frac{v_{2}}{v_{1}} = \frac{1 m / s}{2 m / s} = \frac{1}{2} .$

Sinus er lik en halv for vinkelen 30°. Rormannen må dreie båten 30° fra normalen mot strømmen.

Til samme resultat kommer vi ved å splitte farten til båten i to vinkelrette komponenter. Den ene peker mot strømmen og har størrelsen v₁ · sin α, den andre peker tvers over og har størrelsen v₁ · cos α. Skal båten gå rett overfor, må komponenten mot strømmen nøyaktig utligne strømmen, det må gjelde v₁ · sin α = v₂. Etter å ha delt på farten v₁ får vi igjen $\sin α = \frac{1}{2}$ . Strømmen fører da ikke båten noe sted, og bare bevegelsen tvers over blir igjen.

Farten tvers over er den andre kateten, og den regner vi ut med Pytagoras' setning:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{v_{1}^{2} - v_{2}^{2}} = \sqrt{(2 m / s)^{2} - (1 m / s)^{2}} \\ = \sqrt{3 m^{2} {/ s}^{2}} \approx 1, 73 m / s \end{aligned}$

Det samme ville blitt v₁ · cos α = 2 m/s · cos 30°. Prinsippet om uavhengige bevegelser kommer her til nytte for andre gang. Tiden for overfarten bestemmes bare av farten tvers over, og den er nå mindre enn før, så overfarten varer lenger:

$t = \frac{d}{v} = \frac{60 m}{\sqrt{3 m^{2} {/ s}^{2}}} \approx 34, 6 s$

Den rette veien er kortere, og likevel tar den nesten fem sekunder lenger. Den som vil komme til den andre bredden så fort som mulig, for eksempel en svømmer i elva, bør sikte vinkelrett og finne seg i avdriften. Den som vil lande ved en kai rett overfor, må dreie mot strømmen og finne seg i en lengre overfart.

Det samme trikset kjenner pilotene fra sidevind. Flyet flyr med nesen litt mot vinden, så det i forhold til bakken beveger seg rett mot målet. Ved landing i kraftig sidevind nærmer det seg derfor rullebanen som om det gikk sidelengs, og retter seg først opp like over bakken.

Enda en felle. Hvis strømmen var raskere enn båten, ville sinus blitt større enn én, og en slik vinkel finnes ikke. Ved like rask strøm måtte båten peke rett mot strømmen og ville ikke beveget seg tvers over i det hele tatt. Strømmen ville alltid ført båten med seg, uansett hvordan den pekte. Allerede når strømmen bare er litt langsommere enn båten, må rormannen peke nesten rett mot strømmen, og tvers over beveger båten seg bare med sneglefart.

Skrått regn fra en bil i fart

Det pøsregner og det er vindstille, så dråpene faller loddrett, de store med omtrent 9 m/s. Når bilen står stille, ser du loddrette streker fra vinduet. Men knapt er du kommet i gang, før dråpene ved sidevinduet flyr på skrå bakover, og jo fortere du kjører, desto mer.

Vi beskriver det i referansesystemet knyttet til bilen. I forhold til bilen glir hele landskapet bakover, trær, hus og dråper. Hver dråpe utfører dermed to bevegelser: den faller nedover med farten 9 m/s og beveger seg samtidig bakover med farten til bilen. Den resulterende hastigheten er vektorsummen av dem og peker skrått nedover og bakover.

Når bilen også kjører 9 m/s, altså omtrent 32 km/h, er begge pilene like lange og vinkelrette. Den resulterende er diagonalen i et kvadrat, så dråpene faller under vinkelen 45°. På motorveien er den vannrette pilen mange ganger lengre enn den loddrette, og dråpene flyr nesten vannrett.

Resonnementet kan vi snu. Når du ved 32 km/h ser sporene av dråpene nøyaktig under vinkelen 45°, vet du at dråpene faller like fort som du kjører. Av fartsmåleren og helningen på sporene kan vi anslå farten til regnet uten å gå ut.

Frontruten blir mest våt når du kjører i regn, mens det treffer få dråper på bakruten. Av samme grunn heller alle som løper i regnet paraplyen framover. Dråpene faller nemlig skrått forfra på dem i referansesystemet til løperen. Den som står på bussholdeplassen, holder paraplyen loddrett, for dråpene faller ovenfra.

Også farten dråpene treffer frontruten med, settes sammen. Ved 32 km/h er det diagonalen i et kvadrat med siden 9 m/s, altså $\sqrt{2} \cdot 9 m / s \approx 12, 7 m / s$ . Nettopp derfor trommer dråpene så høyt mot ruten når man kjører fort i regn.

Båten, bilen og dråpene beveget seg her langs rette linjer. Hesten på en karusell eller spissen av en klokkeviser går derimot rundt og rundt. Hvordan vi beskriver en bevegelse langs en sirkel, hva periode, frekvens og radianer er, og hvorfor kanten av en karusell går fortere enn stedene nær sentrum, viser neste artikkel, Jevn sirkelbevegelse.

« Forrige: Fritt fall

Neste: Jevn sirkelbevegelse »