Събиране на движения

Когато вървиш по движещ се ескалатор, извършваш две движения едновременно: краката те носят по стъпалата, а стъпалата през това време те возят нагоре. Лодката на реката плава спрямо водата, а водата през цялото време я отнася. Резултантното движение получаваме, като отделните движения съберем, което означава да съберем скоростите им като вектори, като стрелки.

Ходене по ескалатор

Ескалаторът в метрото се движи нагоре със скорост v₂ = 0,5 m/s и ти пристъпваш по него със скорост v₁ = 1 m/s. Мериш я спрямо стъпалата, със същата скорост би тръгнал и по обикновено стълбище. Спрямо станцията напредваш по-бързо, защото стъпалата под теб се движат сами. И двете стрелки сочат в една и съща посока, така че големините им просто се събират:

$v = v_{1} + v_{2} = 1 m / s + 0, 5 m / s = 1, 5 m / s$

За всяка секунда изминаваш по стъпалата метър и стъпалата те возят още половин метър. Ако ескалаторът е дълъг s = 30 m, ще си горе след

$t = \frac{s}{v} = \frac{30 m}{1, 5 m / s} = 20 s .$

Ако просто стоеше на място, щеше да се возиш $\frac{30 m}{0, 5 m / s} = 60 s$ , цяла минута.

За разнообразие се качваш на ескалатор, който се движи надолу, и тръгваш по него нагоре със същата крачка. Стрелките сега сочат една срещу друга и големините затова се изваждат:

$v = v_{1} - v_{2} = 1 m / s - 0, 5 m / s = 0, 5 m / s$

Нагоре все пак ще стигнеш, но трийсетте метра ти отнемат пак цяла минута. Ако вървеше само с половин метър в секунда, щеше да ходиш на място. При още по-бавна крачка ескалаторът бавно, но сигурно би те отнесъл надолу.

С каква скорост всъщност вървиш? Верни са два отговора. Спрямо стъпалата 1 m/s, спрямо станцията 1,5 m/s или 0,5 m/s. Зависи от отправната система, тоест от това спрямо какво описваме движението.

При ескалатора и двете стрелки лежат на една права и затова стига да съберем или извадим големините. По-интересно става, когато две движения сочат на различни страни.

Лодка през река

Реката е широка d = 60 m и тече със скорост v₂ = 1 m/s. От брега се отблъсква лодка, която в спокойна вода плава със скорост v₁ = 2 m/s. Кормчията насочва носа ѝ перпендикулярно на отсрещния бряг и я държи така през цялото време. Ще свърши ли право срещу мястото, откъдето е тръгнала? Записваме условието:

$\begin{aligned} d & = 60 m \\ v_{1} & = 2 m / s \\ v_{2} & = 1 m / s \end{aligned}$

Лодката е насочена перпендикулярно на отсрещния бряг (сива прекъсната линия), но течението я отнася, така че плава косо по червената следа и спира по-надолу по течението. d е ширината на реката, x отнасянето

Няма да стигне. Докато лодката пресича реката, водата под нея тече и я носи със себе си. Носът ѝ сочи непрекъснато перпендикулярно на брега, но лодката се движи косо и пристига малко по-надолу по течението. В анимацията това се вижда добре: лодката не плава натам, накъдето сочи носът ѝ. Носът показва накъде лодката плава спрямо водата. И с колко метра течението ще я отнесе?

Движенията не си пречат

Ключът към изчислението е принципът за независимост на движенията: когато тялото извършва няколко движения едновременно, всяко от тях протича така, като че ли другите ги няма. Тялото свършва на същото място, както ако движенията бяха протекли едно след друго.

Да опитаме с лодката в две стъпки. Първо си представи, че водата стои и кормчията гребе половин минута. Лодката пресича право и спира точно отсреща. После спира да гребе и половин минута се оставя да бъде отнасяна от течението, което я премества покрай брега. Свършва точно на онова място, до което стига, когато прави и двете едновременно. В действителност двете движения протичат едновременно, лодката затова плава косо, но нито едното не забавя другото.

С лодката можем лесно да си го представим. Спрямо водата тя плава перпендикулярно, точно както по езеро. Течението само премества цялата тази вода заедно с лодката по течението, както ескалаторът премества стъпалата заедно с теб. Напряко лодката затова се движи само със собствената си скорост 2 m/s. Течението сочи покрай бреговете, така че с пресичането не помага, нито му пречи. Времето за пресичане затова зависи само от ширината на реката и от скоростта напряко:

$t = \frac{d}{v_{1}} = \frac{60 m}{2 m / s} = 30 s$

През цели трийсет секунди лодката се отнася от течението със скорост 1 m/s. Разстоянието, с което лодката ще стигне по-надолу по течението, наричаме отнасяне:

$x = v_{2} \cdot t = 1 m / s \cdot 30 s = 30 m$

Лодката стига на трийсет метра надолу по течението от мястото точно отсреща. На всеки два метра напряко течението я премества с метър покрай брега, така че следата ѝ е права. При два пъти по-бърза река лодката би била на другия бряг пак след половин минута, но на шейсет метра от целта.

Стрелки на скоростите. Вляво лодката е насочена перпендикулярно на брега: червената скорост на лодката v⃗_1, синята скорост на течението v⃗_2 и зелената резултантна v⃗. Вдясно лодката е насочена под ъгъл α срещу течението и резултантната скорост води право напряко

С каква скорост се движи лодката спрямо брега? Получената скорост е векторен сбор

$\vec{v} = {\vec{v}}_{1} + {\vec{v}}_{2} .$

Двете стрелки чертаем от една точка и ги допълваме до успоредник, получената скорост е диагоналът му. Стрелките са перпендикулярни една на друга, така че успоредникът тук е правоъгълник, както в лявата част на фигурата. Големината на получената скорост изчисляваме с Питагоровата теорема:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}} = \sqrt{(2 m / s)^{2} + (1 m / s)^{2}} \\ = \sqrt{5 m^{2} {/ s}^{2}} \approx 2, 24 m / s \end{aligned}$

Спрямо брега лодката е по-бърза, отколкото в спокойна вода, но тази допълнителна скорост я носи другаде, отколкото иска. Грешка би било да съберем скоростите като обикновени числа, 2 m/s + 1 m/s = 3 m/s. Така се събират само стрелки, сочещи в една и съща посока, както при ескалатора.

Резултата можем да проверим по друг път. За 30 s лодката със скорост $\sqrt{5 m^{2} {/ s}^{2}}$ изминава наклонен път от около 67,1 m. Със същата дължина е хипотенузата на триъгълника, който образуват ширината на реката и отнасянето:

$\sqrt{(60 m)^{2} + (30 m)^{2}} = \sqrt{4500 m^{2}} \approx 67, 1 m$

Вярно е. Лодката пресича реката за трийсет секунди, спрямо брега се движи със скорост около 2,24 m/s и стига на трийсет метра надолу по течението.

Как да стигнем точно отсреща

Ако кормчията иска да пристигне точно отсреща, трябва да насочи лодката косо срещу течението. Част от скоростта ѝ тогава преодолява течението, а останалата я тласка напряко. Получената скорост $\vec{v}$ трябва да сочи право към отсрещния бряг, както в дясната част на фигурата.

Вдясно потърси триъгълника, който образуват червената стрелка, зелената стрелка и прекъснатата отсечка горе. Прекъснатата отсечка е срещуположната страна на успоредника, така че е със същата дължина като стрелката на течението и е успоредна на нея. Със зелената стрелка затова сключва прав ъгъл, както течението долу. Хипотенуза е скоростта на лодката v₁, а срещу ъгъла α лежи скоростта на течението v₂. Затова

$\sin α = \frac{v_{2}}{v_{1}} = \frac{1 m / s}{2 m / s} = \frac{1}{2} .$

Синусът е равен на една втора за ъгъл 30°. Кормчията трябва да завърти лодката на 30° от перпендикуляра срещу течението.

До същия резултат води и разлагането на скоростта на лодката на две перпендикулярни съставящи. Едната сочи срещу течението и има големина v₁ · sin α, другата сочи напряко и има големина v₁ · cos α. Ако лодката трябва да плава право отсреща, съставящата срещу течението трябва точно да уравновеси течението, трябва да е изпълнено v₁ · sin α = v₂. След деление на скоростта v₁ получаваме отново $\sin α = \frac{1}{2}$ . Течението тогава никъде не отнася лодката и остава само движението напряко.

Скоростта напряко е другият катет, изчисляваме я с Питагоровата теорема:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{v_{1}^{2} - v_{2}^{2}} = \sqrt{(2 m / s)^{2} - (1 m / s)^{2}} \\ = \sqrt{3 m^{2} {/ s}^{2}} \approx 1, 73 m / s \end{aligned}$

Същото би излязло и от v₁ · cos α = 2 m/s · cos 30°. Принципът за независимост ни е полезен тук за втори път. Времето за пресичане се определя само от скоростта напряко, а тя е сега по-малка, отколкото преди, така че пресичането ще трае по-дълго:

$t = \frac{d}{v} = \frac{60 m}{\sqrt{3 m^{2} {/ s}^{2}}} \approx 34, 6 s$

Прекият път е по-кратък и въпреки това трае почти с пет секунди повече. Който иска да стигне на другия бряг колкото се може по-бързо, например плувец в реката, трябва да се насочи перпендикулярно и да се примири с отнасянето. Който иска да пристигне при кея точно отсреща, трябва да се завърти срещу течението и да се примири с по-дългото плаване.

Същия трик познават пилотите при страничен вятър. Самолетът лети с нос малко срещу вятъра, за да се движи спрямо земята право към целта. При кацане в силен страничен вятър затова се приближава към пистата като че ли настрани и се изправя едва съвсем близо до земята.

И още един капан. Ако течението беше по-бързо от лодката, синусът щеше да излезе по-голям от единица, а такъв ъгъл няма. При еднакво бързо течение лодката трябва да сочи право срещу течението и напряко изобщо няма да мръдне. Течението винаги би я отнасяло, накъдето и да се насочи. Още щом течението е само малко по-бавно от лодката, кормчията трябва да се насочи почти срещу течението и напряко се движи с темпото на охлюв.

Косият дъжд от движеща се кола

Навън вали, а вятър няма, така че капките падат вертикално, големите приблизително със скорост 9 m/s. Когато колата стои, през прозореца виждаш вертикални чертички. Щом обаче потеглиш, капките зад страничния прозорец летят косо назад, и колкото по-бързо караш, толкова повече.

Описваме го в отправна система, свързана с колата. Спрямо колата цялата околност се движи назад, дърветата, къщите и капките. Всяка капка така извършва две движения: пада надолу със скорост 9 m/s и същевременно се движи назад със скоростта на колата. Получената скорост е векторен сбор на двете и сочи косо надолу и назад.

Когато колата се движи също с 9 m/s, тоест приблизително 32 km/h, двете стрелки са еднакво дълги и перпендикулярни. Резултантната е диагоналът на квадрат и капките затова падат под ъгъл 45°. На магистралата хоризонталната стрелка е няколко пъти по-дълга от вертикалната и капките летят почти хоризонтално.

Разсъждението можем да обърнем. Когато при скорост 32 km/h виждаш следите на капките точно под ъгъл 45°, знаеш, че капките падат толкова бързо, колкото се движиш. От скоростомера и от наклона на следите оценяваме скоростта на дъжда, без да слизаме от колата.

Предното стъкло при каране в дъжд се залива най-много, докато на задното попадат малко капки. По същата причина накланя чадъра напред всеки, който тича под дъжда. Капките върху него в отправната система на бягащия падат косо отпред. Който стои на спирка, държи чадъра вертикално, защото капките падат отгоре.

И скоростта, с която капките удрят предното стъкло, се получава чрез събиране. При 32 km/h тя е диагоналът на квадрат със страна 9 m/s, тоест $\sqrt{2} \cdot 9 m / s \approx 12, 7 m / s$ . Точно затова капките при бързо каране в дъжд барабанят толкова силно по стъклото.

Лодката, колата и капките тук се движеха по прави. Конче на въртележка или връх на часовникова стрелка обаче обикалят в кръг. Как се описва движение по окръжност, какво са период, честота и радиани и защо краят на въртележката се движи по-бързо от местата близо до центъра, ще покаже следващата статия, Равномерно движение по окръжност.

« Предишна: Свободно падане

Следваща: Равномерно движение по окръжност »