Liikkeiden yhdistäminen

Kun kävelet liikkuvissa rullaportaissa, teet kaksi liikettä yhtä aikaa: jalat kantavat sinua portaita pitkin ja portaat vievät samalla sinua ylös. Joella vene kulkee veden suhteen ja vesi kuljettaa sitä koko ajan mukanaan. Tuloksena oleva liike saadaan yhdistämällä osaliikkeet, mikä tarkoittaa niiden nopeuksien laskemista yhteen vektoreina, nuolina.

Kävely rullaportaissa

Metron rullaportaat nousevat nopeudella v₂ = 0,5 m/s ja sinä lähdet kävelemään niissä nopeudella v₁ = 1 m/s. Mittaat sen portaiden suhteen, yhtä nopeasti lähtisit tavallisia portaita pitkin. Aseman suhteen etenet nopeammin, koska portaat liikkuvat itse altasi. Molemmat nuolet osoittavat samaan suuntaan, joten niiden suuruudet vain lasketaan yhteen:

$$v=v_1+v_2=1\mathrm{m}/\mathrm{s}+0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}=1,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Joka sekunti otat portailla metrin ja portaat kuljettavat sinua vielä puoli metriä. Jos rullaportaat ovat s = 30 m pitkät, olet ylhäällä ajassa

$$t=\frac{s}{v}=\frac{30\mathrm{m}}{1,5\mathrm{m}/\mathrm{s}}=20\mathrm{s}.$$

Jos vain seisoisit paikallasi, matka kestäisi $\frac{30\mathrm{m}}{0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}}=60\mathrm{s}$, koko minuutin.

Vaihteeksi astut alas meneviin rullaportaisiin ja lähdet niitä pitkin ylöspäin samalla askeleella. Nuolet osoittavat nyt toisiaan vastaan, ja suuruudet siksi vähennetään:

$$v=v_1-v_2=1\mathrm{m}/\mathrm{s}-0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}=0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Ylös kyllä pääset, mutta kolmenkymmenen metrin kulkemiseen menee taas koko minuutti. Jos kävelisit vain puoli metriä sekunnissa, tallaisit paikallasi. Vielä hitaammalla askeleella rullaportaat veisivät sinut hitaasti mutta varmasti alas.

Kuinka nopeasti oikeastaan kävelet? Oikeita vastauksia on kaksi. Portaiden suhteen 1 m/s, aseman suhteen 1,5 m/s tai 0,5 m/s. Se riippuu vertailujärjestelmästä, eli siitä, minkä suhteen liikettä kuvataan.

Rullaportaissa molemmat nuolet ovat samalla suoralla, ja siksi riittää laskea suuruudet yhteen tai vähentää. Mielenkiintoisempaa on, kun kaksi liikettä osoittaa kumpikin eri suuntaan.

Vene joen yli

Joki on d = 60 m leveä ja virtaa nopeudella v₂ = 1 m/s. Rannasta työntyy vene, joka seisovassa vedessä kulkee nopeudella v₁ = 2 m/s. Perämies kääntää sen keulan kohtisuoraan vastarantaa kohti ja pitää sen koko ajan siinä. Päätyykö se täsmälleen lähtöpaikkansa vastapäätä? Kirjoitetaan tehtävänanto:

$$\begin{array}{rl}d& =60\mathrm{m}\\ v_1& =2\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v_2& =1\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Ei pääty. Vene etenee poikki, ja sen alla vesi virtaa ja kuljettaa sitä mukanaan. Keula osoittaa koko ajan kohtisuoraan rantaan, mutta vene liukuu vinosti ja päätyy rantaan vähän kauemmas myötävirtaan. Animaatiossa se näkyy hyvin: vene ei kulje sinne, minne sen keula osoittaa. Keula näyttää, minne vene kulkee veden suhteen. Ja kuinka monta metriä virta sen vie?

Liikkeet eivät häiritse toisiaan

Laskun avain on liikkeiden riippumattomuuden periaate: kun kappale tekee useita liikkeitä samanaikaisesti, kukin niistä tapahtuu aivan kuin muita ei olisi. Kappale päätyy samaan paikkaan kuin jos liikkeet olisivat tapahtuneet peräkkäin.

Kokeillaan sitä veneellä kahdessa vaiheessa. Kuvittele ensin, että vesi seisoo ja perämies soutaa puoli minuuttia. Vene kulkee suoraan poikki ja pysähtyy täsmälleen vastapäätä. Sen jälkeen hän lakkaa soutamasta ja antaa virran kuljettaa venettä puoli minuuttia rantojen suuntaisesti. Vene päätyy täsmälleen siihen paikkaan, johon se päätyy tehdessään molempia yhtä aikaa. Todellisuudessa molemmat liikkeet tapahtuvat samanaikaisesti, vene kulkee siksi vinosti, mutta kumpikaan ei hidasta toista.

Veneen kohdalla sen on helppo kuvitella. Veden suhteen se kulkee kohtisuoraan poikki, aivan kuten lammella. Virta vain siirtää koko vesimassan veneineen myötävirtaan, kuten rullaportaat siirtävät portaita mukanasi. Poikki venettä siksi vie vain sen oma nopeus 2 m/s. Virta suuntautuu rantojen suuntaisesti, joten se ei auta ylitystä eikä estä sitä. Ylitykseen kuluva aika riippuu siksi vain joen leveydestä ja poikittaisnopeudesta:

$$t=\frac{d}{v_1}=\frac{60\mathrm{m}}{2\mathrm{m}/\mathrm{s}}=30\mathrm{s}$$

Koko kolmenkymmenen sekunnin ajan virta kuljettaa venettä nopeudella 1 m/s. Matkaa, jonka verran vene päätyy kauemmas myötävirtaan, sanotaan ajautumaksi:

$$x=v_2\cdot t=1\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 30\mathrm{s}=30\mathrm{m}$$

Vene päätyy kolmekymmentä metriä myötävirtaan suoraan vastapäisestä paikasta. Jokaista kahta poikittaista metriä kohti virta siirtää sitä metrin rannan suuntaisesti, joten sen jälki on suora. Jos joki virtaisi kaksinkertaisella nopeudella, vene olisi toisella rannalla taas puolessa minuutissa, mutta kuusikymmentä metriä kauempana kohteesta.

Kuinka nopeasti vene liikkuu rannan suhteen? Tuloksena oleva nopeus on vektorisumma

$$\overline{v}={\overline{v}}_1+{\overline{v}}_2.$$

Molemmat nuolet piirretään samasta pisteestä ja täydennetään suunnikkaaksi, tuloksena oleva nopeus on sen lävistäjä. Nuolet ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa, joten suunnikas on tässä suorakulmio, kuten kuvan vasemmalla puolella. Tuloksena olevan nopeuden suuruus lasketaan Pythagoraan lauseella:

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{v_1^2+v_2^2}=\sqrt{(2\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2+(1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}\\ & =\sqrt{5{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\approx 2,24\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Rannan suhteen vene on nopeampi kuin seisovassa vedessä, mutta tuo lisänopeus vie sitä muualle kuin se haluaa. Virhe olisi laskea nopeudet yhteen tavallisina lukuina, 2 m/s + 1 m/s = 3 m/s. Näin lasketaan yhteen vain samaan suuntaan osoittavat nuolet, kuten rullaportaissa.

Tuloksen voi tarkistaa toista tietä. Ajassa 30 s vene kulkee nopeudella $\sqrt{5{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}$ vinon matkan, joka on noin 67,1 m. Yhtä pitkä on joen leveyden ja ajautuman muodostaman kolmion hypotenuusa:

$$\sqrt{(60\mathrm{m}{)}^2+(30\mathrm{m}{)}^2}=\sqrt{4500{\mathrm{m}}^2}\approx 67,1\mathrm{m}$$

Täsmää. Vene ylittää joen kolmessakymmenessä sekunnissa, liikkuu sillä välin rannan suhteen nopeudella noin 2,24 m/s ja päätyy kolmekymmentä metriä myötävirtaan.

Miten päästä suoraan vastapäätä

Jos perämiehen on määrä päätyä täsmälleen vastapäätä, hänen täytyy kääntää vene vinosti virtaa vastaan. Osa sen nopeudesta voittaa silloin virran ja loppu vie sitä poikki. Tuloksena olevan nopeuden $\overline{v}$ täytyy osoittaa suoraan vastarantaa kohti, kuten kuvan oikealla puolella.

Etsi oikealta kolmio, jonka muodostavat punainen nuoli, vihreä nuoli ja ylhäällä oleva katkoviivajana. Katkoviivajana on suunnikkaan vastakkainen sivu, joten se on yhtä pitkä kuin virran nuoli ja sen suuntainen. Vihreän nuolen kanssa se muodostaa siksi suoran kulman, kuten virta alhaalla. Hypotenuusana on veneen nopeus v₁ ja kulman α vastapäätä on virran nopeus v₂. Siksi

$$\sin \alpha =\frac{v_2}{v_1}=\frac{1\mathrm{m}/\mathrm{s}}{2\mathrm{m}/\mathrm{s}}=\frac{1}{2}.$$

Sini on puolet, kun kulma on 30°. Perämiehen täytyy kääntää vene kulmaan 30° kohtisuorasta virtaa vastaan.

Samaan tulokseen johtaa myös veneen nopeuden jakaminen kahteen toisiaan vastaan kohtisuoraan komponenttiin. Toinen osoittaa virtaa vastaan ja sen suuruus on v₁ · sin α, toinen poikki ja sen suuruus on v₁ · cos α. Jotta vene kulkisi suoraan vastapäätä, virtaa vastaan osoittavan komponentin täytyy täsmälleen kumota virta, eli täytyy päteä v₁ · sin α = v₂. Jakamalla nopeudella v₁ saadaan taas $\sin \alpha =\frac{1}{2}$. Virta ei silloin ajauta venettä minnekään ja jäljelle jää vain poikittainen liike.

Poikittaisnopeus on toinen kateetti, ja se lasketaan Pythagoraan lauseella:

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{v_1^2-v_2^2}=\sqrt{(2\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2-(1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}\\ & =\sqrt{3{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\approx 1,73\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Samoin tulisi v₁ · cos α = 2 m/s · cos 30°. Riippumattomuuden periaate tulee tässä toisen kerran tarpeeseen. Ylitysaikaan vaikuttaa vain poikittaisnopeus, ja se on nyt pienempi kuin aiemmin, joten ylitys kestää kauemmin:

$$t=\frac{d}{v}=\frac{60\mathrm{m}}{\sqrt{3{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}}\approx 34,6\mathrm{s}$$

Suora tie on lyhyempi, ja silti se kestää lähes viisi sekuntia pidempään. Joka haluaa päästä toiselle rannalle mahdollisimman nopeasti, vaikka uimari joessa, suuntaa kohtisuoraan ja tyytyy ajautumaan. Joka haluaa rantautua laiturille suoraan vastapäätä, kääntyy virtaa vastaan ja tyytyy pidempään matkaan.

Saman kikan tuntevat lentäjät sivutuulessa. Lentokone lentää keula hieman tuulta vasten, jotta se liikkuisi maan suhteen suoraan kohti määränpäätä. Voimakkaassa sivutuulessa laskeutuessaan se lähestyy kiitotietä ikään kuin sivuttain ja suoristuu vasta aivan maan lähellä.

Vielä yksi ansa. Jos virta olisi nopeampi kuin vene, sini olisi suurempi kuin yksi, eikä sellaista kulmaa ole. Yhtä nopean virran kohdalla veneen täytyisi tähdätä suoraan virtaa vastaan, eikä se liikkuisi poikittain lainkaan. Virta ajaisi veneen aina mukanaan, miten päin se tähtäisikin. Jo silloin, kun virta on vain vähän hitaampi kuin vene, perämiehen täytyy tähdätä melkein virtaa vastaan ja poikittain liikutaan etanan vauhtia.

Vinosti satava sade ajavasta autosta

Ulkona sataa eikä tuule, joten pisarat putoavat pystysuoraan, isot noin nopeudella 9 m/s. Kun auto seisoo, näet ikkunasta pystysuoria viivoja. Kun lähdet liikkeelle, pisarat sivuikkunan takana lentävät vinosti taaksepäin, sitä enemmän mitä nopeammin ajat.

Kuvataan tilannetta autoon kiinnitetyssä vertailujärjestelmässä. Auton suhteen koko maisema liukuu taaksepäin, puut, talot ja pisarat. Jokainen pisara tekee siis kaksi liikettä: putoaa alas nopeudella 9 m/s ja liikkuu samalla taaksepäin auton nopeudella. Tuloksena oleva nopeus on niiden vektorisumma ja osoittaa vinosti alas ja taakse.

Kun auto ajaa myös nopeudella 9 m/s, eli noin 32 km/h, molemmat nuolet ovat yhtä pitkät ja kohtisuorassa. Tuloksena oleva on neliön lävistäjä, joten pisarat putoavat kulmassa 45°. Moottoritiellä vaakasuora nuoli on moninkertaisesti pidempi kuin pystysuora ja pisarat lentävät melkein vaakasuoraan.

Päättelyn voi kääntää. Kun ajaessasi nopeudella 32 km/h näet pisaroiden jäljet täsmälleen kulmassa 45°, tiedät, että pisarat putoavat yhtä nopeasti kuin ajat. Nopeusmittarista ja jälkien kulmasta voi arvioida sateen nopeuden nousematta autosta.

Tuulilasi kastuu sateessa ajettaessa eniten, kun taas takalasiin osuu pisaroita vähän. Samasta syystä sateessa juokseva kallistaa sateenvarjoa eteenpäin. Pisarat putoavat siihen juoksijan vertailujärjestelmässä vinosti edestä. Pysäkillä seisova pitää sateenvarjoa pystysuorassa, koska pisarat putoavat siihen ylhäältä.

Myös nopeus, jolla pisarat osuvat tuulilasiin, muodostuu yhdistämällä. Nopeudella 32 km/h se on neliön lävistäjä, jonka sivu on 9 m/s, eli $\sqrt{2}\cdot 9\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 12,7\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Juuri siksi pisarat rummuttavat lasia niin kovaa nopeassa ajossa sateessa.

Vene, auto ja pisarat liikkuivat tässä kaikki suoria pitkin. Karusellin hevonen tai kellon viisarin kärki kiertävät kuitenkin ympäri. Miten ympyrää pitkin tapahtuvaa liikettä kuvataan, mitä ovat jaksonaika, taajuus ja radiaanit ja miksi karusellin reuna kulkee nopeammin kuin keskuksen lähellä olevat paikat, näyttää seuraava artikkeli, Tasainen ympyräliike.