Composition des mouvements

Quand tu marches sur un escalator qui monte, tu effectues deux mouvements à la fois : tes jambes te portent le long des marches et les marches t’emportent en même temps vers le haut. Une barque sur la rivière avance par rapport à l’eau et l’eau l’emporte pendant tout ce temps. Nous obtenons le mouvement résultant en composant les mouvements partiels, ce qui veut dire additionner leurs vitesses comme des vecteurs, comme des flèches.

Marcher sur un escalator

L’escalator du métro monte à la vitesse v₂ = 0,5 m/s et tu avances dessus à la vitesse v₁ = 1 m/s. Tu la mesures par rapport aux marches : c’est l’allure à laquelle tu monterais un escalier ordinaire. Par rapport à la station, tu avances plus vite, car les marches défilent toutes seules sous tes pieds. Les deux flèches pointent dans le même sens, leurs valeurs s’additionnent donc simplement :

$$v=v_1+v_2=1\mathrm{m}/\mathrm{s}+0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}=1,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

À chaque seconde, tu fais un mètre sur les marches et les marches t’emportent en plus d’un demi-mètre. Si l’escalator mesure d = 30 m, tu seras en haut en

$$t=\frac{d}{v}=\frac{30\mathrm{m}}{1,5\mathrm{m}/\mathrm{s}}=20\mathrm{s}.$$

Si tu restais immobile, tu monterais pendant $\frac{30\mathrm{m}}{0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}}=60\mathrm{s}$, toute une minute.

Pour changer, tu montes sur un escalator qui descend et tu pars vers le haut du même pas. Les flèches pointent maintenant en sens opposés, et les valeurs se soustraient donc :

$$v=v_1-v_2=1\mathrm{m}/\mathrm{s}-0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}=0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Tu arriveras bien en haut, mais les trente mètres te prendront de nouveau toute une minute. Si tu n’allais qu’à un demi-mètre par seconde, tu marcherais sur place. À un pas encore plus lent, l’escalator t’emporterait lentement mais sûrement vers le bas.

À quelle vitesse marches-tu en fait ? Il y a deux bonnes réponses. Par rapport aux marches 1 m/s, par rapport à la station 1,5 m/s ou 0,5 m/s. Cela dépend du référentiel, donc de ce par rapport à quoi nous décrivons le mouvement.

Sur l’escalator, les deux flèches sont sur une même droite, et il suffit donc d’additionner ou de soustraire les valeurs. C’est plus intéressant quand deux mouvements vont chacun dans une direction différente.

La barque qui traverse la rivière

La rivière a une largeur d = 60 m et coule à la vitesse v₂ = 1 m/s. Une barque qui avance à v₁ = 2 m/s sur l’eau calme quitte la rive. Le barreur oriente la proue perpendiculairement à la rive opposée et la maintient ainsi tout le temps. Finira-t-elle exactement en face du point de départ ? Nous écrivons les données :

$$\begin{array}{rl}d& =60\mathrm{m}\\ v_1& =2\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v_2& =1\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Non, elle n’y arrive pas. Pendant que la barque fend l’eau en travers, l’eau coule sous elle et l’emporte avec elle. La proue pointe bien perpendiculairement à la rive tout le temps, mais la barque glisse en oblique et aborde un peu plus loin en aval. Dans l’animation, on le voit bien : la barque n’avance pas là où pointe sa proue. La proue indique où la barque avance par rapport à l’eau. Et de combien de mètres le courant la déportera-t-il ?

Les mouvements ne se gênent pas

La clé du calcul est le principe d’indépendance des mouvements : quand un corps effectue plusieurs mouvements en même temps, chacun d’eux se déroule comme si les autres n’existaient pas. Le corps finit au même endroit que si les mouvements s’étaient déroulés l’un après l’autre.

Essayons avec la barque en deux étapes. D’abord, imagine que l’eau est immobile et que le barreur rame pendant une demi-minute. La barque traverse tout droit en travers et s’arrête exactement en face. Ensuite, il cesse de ramer et laisse la barque dériver une demi-minute avec le courant, qui la déplace le long de la rive. Elle finit exactement à l’endroit où elle arrive quand elle fait les deux en même temps. En réalité, les deux mouvements ont lieu simultanément, la barque avance donc en oblique, mais aucun des deux ne retarde l’autre.

Pour la barque, c’est facile à imaginer. Par rapport à l’eau, elle avance perpendiculairement en travers, exactement comme sur un étang. Le courant ne fait que déplacer tout ce morceau d’eau avec la barque vers l’aval, comme l’escalator déplace les marches avec toi. En travers, la barque n’est donc poussée que par sa propre vitesse de 2 m/s. Le courant est dirigé le long des rives, il n’aide donc pas la traversée et ne la gêne pas non plus. Le temps de traversée ne dépend ainsi que de la largeur de la rivière et de la vitesse en travers :

$$t=\frac{d}{v_1}=\frac{60\mathrm{m}}{2\mathrm{m}/\mathrm{s}}=30\mathrm{s}$$

Pendant ces trente secondes, le courant emporte la barque à la vitesse de 1 m/s. La distance dont la barque est déportée en aval s’appelle la dérive :

$$x=v_2\cdot t=1\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 30\mathrm{s}=30\mathrm{m}$$

La barque aborde trente mètres en aval de l’endroit situé exactement en face. Pour deux mètres en travers, le courant la déplace d’un mètre le long de la rive, sa trace est donc une droite. Si la rivière coulait deux fois plus vite, la barque serait de nouveau sur l’autre rive au bout d’une demi-minute, mais à soixante mètres du but.

À quelle vitesse la barque se déplace-t-elle par rapport à la rive ? La vitesse résultante est la somme vectorielle

$$\overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}_1+{\overrightarrow{v}}_2.$$

Nous dessinons les deux flèches à partir d’un même point et nous les complétons en parallélogramme, la vitesse résultante est sa diagonale. Les flèches sont perpendiculaires, le parallélogramme est donc ici un rectangle, comme sur la partie gauche de la figure. Nous calculons la valeur de la vitesse résultante avec le théorème de Pythagore :

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{v_1^2+v_2^2}=\sqrt{(2\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2+(1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}\\ & =\sqrt{5{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\approx 2,24\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Par rapport à la rive, la barque est plus rapide que sur l’eau calme, mais cette vitesse en plus l’emporte ailleurs que là où elle veut aller. Ce serait une erreur d’additionner les vitesses comme de simples nombres, 2 m/s + 1 m/s = 3 m/s. Seules les flèches de même sens s’additionnent ainsi, comme sur l’escalator.

Nous pouvons contrôler le résultat par un autre chemin. En 30 s, la barque, à la vitesse $\sqrt{5{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}$, parcourt en oblique environ 67,1 m. L’hypoténuse du triangle formé par la largeur de la rivière et la dérive a la même longueur :

$$\sqrt{(60\mathrm{m}{)}^2+(30\mathrm{m}{)}^2}=\sqrt{4500{\mathrm{m}}^2}\approx 67,1\mathrm{m}$$

Ça concorde. La barque traverse la rivière en trente secondes, se déplace par rapport à la rive à la vitesse d’environ 2,24 m/s et aborde trente mètres en aval.

Comment arriver exactement en face

Pour aborder exactement en face, le barreur doit orienter la barque en oblique, contre le courant. Une partie de sa vitesse lutte alors contre le courant et le reste la pousse en travers. La vitesse résultante $\overrightarrow{v}$ doit pointer droit vers la rive opposée, comme sur la partie droite de la figure.

À droite, regarde le triangle formé par la flèche rouge, la flèche verte et le segment en pointillés en haut. Le segment en pointillés est le côté opposé du parallélogramme, il a donc la même longueur que la flèche du courant et lui est parallèle. Avec la flèche verte, il forme donc un angle droit, comme le courant en bas. L’hypoténuse est la vitesse de la barque v₁ et en face de l’angle α se trouve la vitesse du courant v₂. Donc

$$\sin \alpha =\frac{v_2}{v_1}=\frac{1\mathrm{m}/\mathrm{s}}{2\mathrm{m}/\mathrm{s}}=\frac{1}{2}.$$

Le sinus est égal à un demi pour un angle de 30°. Le barreur doit orienter la barque de 30° par rapport à la perpendiculaire, contre le courant.

La décomposition de la vitesse de la barque en deux composantes perpendiculaires mène au même résultat. L’une pointe contre le courant et a pour valeur v₁ · sin α, l’autre pointe en travers et a pour valeur v₁ · cos α. Pour que la barque avance droit en face, la composante contre le courant doit compenser exactement le courant, il faut que v₁ · sin α = v₂. Après division par la vitesse v₁, nous obtenons de nouveau $\sin \alpha =\frac{1}{2}$. Le courant ne déporte alors plus la barque nulle part et il ne reste que le mouvement en travers.

La vitesse en travers est l’autre côté de l’angle droit, nous la calculons avec le théorème de Pythagore :

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{v_1^2-v_2^2}=\sqrt{(2\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2-(1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}\\ & =\sqrt{3{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\approx 1,73\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

On obtiendrait la même chose avec v₁ · cos α = 2 m/s · cos 30°. Le principe d’indépendance sert ici une seconde fois. Le temps de traversée est déterminé seulement par la vitesse en travers, et celle-ci est maintenant plus petite qu’avant, la traversée dure donc plus longtemps :

$$t=\frac{d}{v}=\frac{60\mathrm{m}}{\sqrt{3{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}}\approx 34,6\mathrm{s}$$

Le chemin direct est plus court, et pourtant il dure presque cinq secondes de plus. Celui qui veut atteindre l’autre rive le plus vite possible, par exemple un nageur dans une rivière, doit viser perpendiculairement et accepter la dérive. Celui qui veut aborder au ponton exactement en face doit s’orienter contre le courant et accepter une traversée plus longue.

Les pilotes connaissent la même astuce avec le vent de travers. L’avion vole le nez un peu tourné contre le vent, pour se déplacer droit vers sa destination par rapport au sol. À l’atterrissage par vent de travers fort, il s’approche donc de la piste comme en crabe et ne s’aligne que juste au-dessus du sol.

Encore un piège. Si le courant était plus rapide que la barque, le sinus serait supérieur à un, et un tel angle n’existe pas. Avec un courant de même vitesse que la barque, il faudrait viser droit contre le courant et la barque ne bougerait pas du tout en travers. Le courant emporterait toujours la barque, quelle que soit la direction visée. Dès que le courant n’est que légèrement plus lent que la barque, le barreur doit viser presque contre le courant et la barque n’avance en travers qu’à une allure d’escargot.

La pluie oblique vue d’une voiture

Dehors, il pleut et le vent ne souffle pas, les gouttes tombent donc à la verticale, les grosses à environ 9 m/s. Quand la voiture est arrêtée, tu vois par la vitre des traits verticaux. Mais dès que tu démarres, les gouttes filent en oblique vers l’arrière derrière la vitre latérale, et d’autant plus que tu roules vite.

Nous le décrivons dans le référentiel lié à la voiture. Par rapport à la voiture, tout le paysage défile vers l’arrière, les arbres, les maisons et les gouttes. Chaque goutte effectue ainsi deux mouvements : elle tombe vers le bas à 9 m/s et se déplace en même temps vers l’arrière à la vitesse de la voiture. La vitesse résultante est leur somme vectorielle et pointe en oblique vers le bas et l’arrière.

Quand la voiture roule aussi à 9 m/s, donc à environ 32 km/h, les deux flèches ont la même longueur et sont perpendiculaires. La résultante est la diagonale d’un carré, les gouttes tombent donc à un angle de 45°. Sur l’autoroute, la flèche horizontale est plusieurs fois plus longue que la verticale et les gouttes filent presque à l’horizontale.

Nous pouvons retourner le raisonnement. Quand, en roulant à 32 km/h, tu vois les traces des gouttes exactement à 45°, tu sais que les gouttes tombent aussi vite que tu roules. À partir du compteur de vitesse et de l’inclinaison des traces, nous estimons la vitesse de la pluie sans descendre de voiture.

Le pare-brise est le plus arrosé quand on roule sous la pluie, alors que sur la lunette arrière il tombe peu de gouttes. Pour la même raison, tous ceux qui courent sous la pluie inclinent leur parapluie vers l’avant. Dans le référentiel du coureur, les gouttes lui tombent dessus en oblique par l’avant. Celui qui attend à l’arrêt de bus tient son parapluie à la verticale, parce que les gouttes lui tombent dessus d’en haut.

La vitesse à laquelle les gouttes frappent le pare-brise se compose aussi. À 32 km/h, c’est la diagonale d’un carré de côté 9 m/s, donc $\sqrt{2}\cdot 9\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 12,7\mathrm{m}/\mathrm{s}$. C’est justement pourquoi, quand on roule vite sous la pluie, les gouttes tambourinent si fort sur la vitre.

La barque, la voiture et les gouttes se déplaçaient ici sur des droites. Mais un cheval de manège ou la pointe de l’aiguille d’une horloge tournent en rond. Comment décrire un mouvement sur un cercle, ce que sont la période, la fréquence et les radians, et pourquoi le bord du manège va plus vite que les endroits près du centre, c’est ce que montrera l’article suivant, Mouvement circulaire uniforme.