Composición de movimientos

Cuando subes caminando por una escalera mecánica, realizas dos movimientos a la vez: tus piernas te llevan por los escalones y, al mismo tiempo, los escalones te llevan hacia arriba. Una barca que cruza un río navega respecto al agua, pero el agua la arrastra todo el rato. El movimiento resultante lo obtenemos componiendo los movimientos parciales, es decir, sumando sus velocidades como vectores, como flechas.

Caminar por una escalera mecánica

La escalera mecánica del metro sube con una velocidad v₂ = 0,5 m/s y tú echas a andar por ella con una velocidad v₁ = 1 m/s. La mides respecto a los escalones: con la misma rapidez arrancarías en una escalera normal. Respecto a la estación avanzas más deprisa, porque los escalones se desplazan solos bajo tus pies. Las dos flechas apuntan en el mismo sentido, así que sus módulos simplemente se suman:

$$v=v_1+v_2=1\mathrm{m}/\mathrm{s}+0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}=1,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Cada segundo avanzas un metro por los escalones y los escalones te llevan otro medio metro. Si la escalera mide s = 30 m de largo, llegarás arriba en

$$t=\frac{s}{v}=\frac{30\mathrm{m}}{1,5\mathrm{m}/\mathrm{s}}=20\mathrm{s}.$$

Si te quedaras quieto, subirías durante $\frac{30\mathrm{m}}{0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}}=60\mathrm{s}$, un minuto entero.

Ahora súbete a una escalera mecánica que baja e intenta subir por ella con el mismo paso. Las flechas apuntan en sentidos contrarios y, por eso, los módulos se restan:

$$v=v_1-v_2=1\mathrm{m}/\mathrm{s}-0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}=0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Llegarás arriba, pero los treinta metros te costarán otra vez un minuto entero. Si caminaras solo medio metro por segundo, andarías sin moverte del sitio. Con un paso aún más lento, la escalera te llevaría hacia abajo, despacio pero sin remedio.

¿A qué velocidad vas en realidad? Hay dos respuestas correctas. Respecto a los escalones, 1 m/s; respecto a la estación, 1,5 m/s o 0,5 m/s. Depende del sistema de referencia, es decir, de aquello respecto a lo cual describimos el movimiento.

En la escalera mecánica las dos flechas están sobre una misma recta, así que basta sumar o restar los módulos. Es más interesante cuando dos movimientos apuntan cada uno hacia un lado distinto.

Una barca que cruza el río

El río tiene una anchura d = 60 m y su corriente va a v₂ = 1 m/s. De la orilla sale una barca que en aguas tranquilas navega a v₁ = 2 m/s. El timonel orienta la proa perpendicularmente a la orilla opuesta y la mantiene así todo el tiempo. ¿Acabará justo enfrente del punto de salida? Anotamos los datos:

$$\begin{array}{rl}d& =60\mathrm{m}\\ v_1& =2\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v_2& =1\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

No llegará. Mientras la barca avanza hacia el otro lado, el agua que tiene debajo corre y se la lleva consigo. La proa apunta todo el rato perpendicularmente a la orilla, pero la barca se desliza en diagonal y llega a la otra orilla un poco más abajo, siguiendo la corriente. En la animación se ve bien: la barca no navega hacia donde apunta su proa. La proa indica hacia dónde navega la barca respecto al agua. ¿Y cuántos metros la arrastrará la corriente?

Los movimientos no se estorban

La clave del cálculo es el principio de independencia de los movimientos: si un cuerpo realiza varios movimientos a la vez, cada uno de ellos transcurre como si los demás no existieran. El cuerpo acaba en el mismo lugar que si los movimientos se hubieran realizado uno tras otro.

Probémoslo con la barca en dos pasos. Primero imagina que el agua está parada y que el timonel rema durante medio minuto. La barca cruza en línea recta y se detiene justo enfrente. Después deja de remar y durante medio minuto se deja llevar por la corriente, que la desplaza a lo largo de la orilla. Terminará exactamente en el mismo punto al que llega cuando hace las dos cosas a la vez. En realidad los dos movimientos transcurren simultáneamente, por eso la barca navega en diagonal, pero ninguno retrasa al otro.

Con la barca es fácil imaginarlo. Respecto al agua navega perpendicularmente a la orilla, igual que en un estanque. La corriente solo desplaza toda esa porción de agua con la barca incluida hacia abajo, igual que la escalera mecánica desplaza los escalones contigo encima. Por eso, para cruzar, la barca solo cuenta con su propia velocidad de 2 m/s. La corriente va a lo largo de las orillas, así que ni ayuda ni estorba a la travesía. El tiempo de la travesía depende, por tanto, solo de la anchura del río y de la velocidad transversal:

$$t=\frac{d}{v_1}=\frac{60\mathrm{m}}{2\mathrm{m}/\mathrm{s}}=30\mathrm{s}$$

Durante esos treinta segundos la corriente arrastra la barca a una velocidad de 1 m/s. La distancia que la barca se desvía aguas abajo se llama deriva:

$$x=v_2\cdot t=1\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 30\mathrm{s}=30\mathrm{m}$$

La barca llega treinta metros aguas abajo del punto situado justo enfrente. Por cada dos metros hacia el otro lado, la corriente la desplaza un metro a lo largo de la orilla, así que su trayectoria es una recta. Si la corriente fuera el doble de rápida, la barca llegaría a la otra orilla también en medio minuto, pero a sesenta metros del punto de destino.

¿A qué velocidad se mueve la barca respecto a la orilla? La velocidad resultante es la suma vectorial

$$\overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}_1+{\overrightarrow{v}}_2.$$

Dibujamos las dos flechas desde un mismo punto y las completamos hasta formar un paralelogramo; la velocidad resultante es su diagonal. Las flechas son perpendiculares entre sí, así que el paralelogramo es aquí un rectángulo, como en la parte izquierda de la figura. El módulo de la velocidad resultante lo calculamos con el teorema de Pitágoras:

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{v_1^2+v_2^2}=\sqrt{(2\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2+(1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}\\ & =\sqrt{5{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\approx 2,24\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Respecto a la orilla la barca es más rápida que en aguas tranquilas, pero esa velocidad extra la lleva a donde ella no quiere. Un error sería sumar las velocidades como números corrientes, 2 m/s + 1 m/s = 3 m/s. Así solo se suman las flechas que apuntan en el mismo sentido, como en la escalera mecánica.

El resultado podemos comprobarlo por otro camino. En 30 s, con la velocidad $\sqrt{5{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}$, la barca recorre una distancia en diagonal de unos 67,1 m. Esa es también la longitud de la hipotenusa del triángulo formado por la anchura del río y la deriva:

$$\sqrt{(60\mathrm{m}{)}^2+(30\mathrm{m}{)}^2}=\sqrt{4500{\mathrm{m}}^2}\approx 67,1\mathrm{m}$$

Coincide. La barca cruza el río en treinta segundos, se mueve respecto a la orilla a unos 2,24 m/s y llega treinta metros aguas abajo.

Cómo llegar justo enfrente

Si el timonel quiere llegar exactamente enfrente, tiene que orientar la barca en diagonal contra la corriente. Una parte de su velocidad vence entonces la corriente y el resto la empuja hacia el otro lado. La velocidad resultante $\overrightarrow{v}$ debe apuntar directamente a la orilla opuesta, como en la parte derecha de la figura.

A la derecha busca el triángulo formado por la flecha roja, la flecha verde y el segmento discontinuo de arriba. El segmento discontinuo es el lado opuesto del paralelogramo, así que tiene la misma longitud que la flecha de la corriente y es paralelo a ella. Con la flecha verde forma, por tanto, un ángulo recto, igual que la corriente de abajo. La hipotenusa es la velocidad de la barca v₁ y frente al ángulo α está la velocidad de la corriente v₂. Por eso

$$\mathrm{sen}\alpha =\frac{v_2}{v_1}=\frac{1\mathrm{m}/\mathrm{s}}{2\mathrm{m}/\mathrm{s}}=\frac{1}{2}.$$

El seno vale un medio para un ángulo de 30°. El timonel debe orientar la barca 30° respecto a la perpendicular, contra la corriente.

Al mismo resultado se llega con la descomposición de la velocidad de la barca en dos componentes perpendiculares. Una apunta contra la corriente y tiene módulo v₁ · senα; la otra apunta hacia el otro lado y tiene módulo v₁ · cos α. Para que la barca llegue justo enfrente, la componente contra la corriente debe compensar exactamente la corriente, es decir, debe cumplirse v₁ · senα = v₂. Dividiendo entre la velocidad v₁ obtenemos de nuevo $\mathrm{sen}\alpha =\frac{1}{2}$. La corriente ya no arrastra la barca a ninguna parte y solo queda el movimiento transversal.

La velocidad transversal es el otro cateto y la calculamos con el teorema de Pitágoras:

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{v_1^2-v_2^2}=\sqrt{(2\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2-(1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}\\ & =\sqrt{3{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\approx 1,73\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Lo mismo saldría con v₁ · cos α = 2 m/s · cos 30°. Aquí el principio de independencia resulta útil por segunda vez. El tiempo de la travesía lo determina solo la velocidad transversal, que ahora es menor que antes, así que la travesía dura más:

$$t=\frac{d}{v}=\frac{60\mathrm{m}}{\sqrt{3{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}}\approx 34,6\mathrm{s}$$

El camino directo es más corto y, aun así, dura casi cinco segundos más. Quien quiera llegar a la otra orilla lo antes posible, por ejemplo un nadador en un río, debe apuntar perpendicularmente y resignarse a la deriva. Quien quiera llegar a un embarcadero justo enfrente debe orientarse contra la corriente y resignarse a una travesía más larga.

El mismo truco lo conocen los pilotos con viento lateral. El avión vuela con el morro algo girado hacia el viento para moverse respecto al suelo directamente hacia su destino. Al aterrizar con un fuerte viento lateral, por eso, se acerca a la pista como de lado y se alinea solo justo antes de tocar el suelo.

Una trampa más. Si la corriente fuera más rápida que la barca, el seno saldría mayor que uno, y ese ángulo no existe. Con una corriente igual de rápida tendría que apuntar directamente contra la corriente y no avanzaría nada hacia el otro lado. La corriente siempre la arrastraría, apuntase donde apuntase. Y cuando la corriente es solo un poco más lenta que la barca, el timonel tiene que apuntar casi contra la corriente y el avance transversal es a paso de caracol.

La lluvia inclinada vista desde un coche

Fuera llueve y no hay viento, así que las gotas caen verticalmente, las grandes a unos 9 m/s. Cuando el coche está parado, desde la ventanilla ves rayitas verticales. Pero en cuanto arrancas, las gotas junto a la ventanilla lateral van inclinadas hacia atrás, y cuanto más deprisa vas, más inclinadas.

Lo describimos en el sistema de referencia ligado al coche. Respecto al coche todo el paisaje se desplaza hacia atrás: árboles, casas y gotas. Cada gota realiza así dos movimientos: cae hacia abajo a 9 m/s y, a la vez, se mueve hacia atrás con la velocidad del coche. La velocidad resultante es su suma vectorial y apunta en diagonal hacia abajo y hacia atrás.

Cuando el coche va también a 9 m/s, es decir, a unos 32 km/h, las dos flechas tienen la misma longitud y son perpendiculares. La resultante es la diagonal de un cuadrado, así que las gotas caen con un ángulo de 45°. En la autopista la flecha horizontal es varias veces más larga que la vertical y las gotas vuelan casi horizontales.

Podemos darle la vuelta al razonamiento. Si al ir a 32 km/h ves las trazas de las gotas exactamente a 45°, sabes que las gotas caen igual de rápido que tú avanzas. Con el velocímetro y la inclinación de las trazas podemos estimar la velocidad de la lluvia sin bajarnos del coche.

Al circular bajo la lluvia, el parabrisas es el que más se moja, mientras que a la luna trasera llegan pocas gotas. Por la misma razón inclina el paraguas hacia delante cualquiera que corre bajo la lluvia: en su sistema de referencia las gotas le caen en diagonal desde delante. Quien espera en la parada sujeta el paraguas vertical, porque las gotas le caen desde arriba.

También la velocidad con que las gotas golpean el parabrisas se compone. A 32 km/h es la diagonal de un cuadrado de lado 9 m/s, es decir, $\sqrt{2}\cdot 9\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 12,7\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Justo por eso, al circular deprisa bajo la lluvia, las gotas tamborilean tan fuerte sobre el cristal.

La barca, el coche y las gotas se movían aquí por rectas. Pero el caballito de un tiovivo o la punta de la manecilla de las horas giran en círculo. Cómo describir un movimiento circular, qué son el periodo, la frecuencia y los radianes, y por qué el borde del tiovivo va más deprisa que las zonas cercanas al centro, lo mostrará el siguiente artículo, Movimiento circular uniforme.