Sammensætning af bevægelser

Når du går op ad en rulletrappe, udfører du to bevægelser på én gang: Dine ben bærer dig op ad trinene, og trinene kører dig samtidig opad. En lille båd på en å sejler i forhold til vandet, og vandet fører den hele tiden med sig. Den resulterende bevægelse får vi ved at sammensætte de enkelte bevægelser, det vil sige lægge deres hastigheder sammen som vektorer, som pile.

At gå på en rulletrappe

Rulletrappen i metroen kører opad med hastigheden v₂ = 0,5 m/s, og du går op ad den med v₁ = 1 m/s. Den måler du i forhold til trinene, lige så hurtigt ville du gå op ad en almindelig trappe. I forhold til stationen kommer du hurtigere frem, for trinene kører af sig selv under dig. Begge pile peger i samme retning, så deres størrelser lægges simpelthen sammen:

$v = v_{1} + v_{2} = 1 m / s + 0, 5 m / s = 1, 5 m / s$

Hvert sekund går du en meter op ad trinene, og trinene kører dig yderligere en halv meter. Hvis rulletrappen er s = 30 m lang, er du oppe efter

$t = \frac{s}{v} = \frac{30 m}{1, 5 m / s} = 20 s .$

Hvis du bare stod stille, ville du køre $\frac{30 m}{0, 5 m / s} = 60 s$ , et helt minut.

For en afveksling stiger du på en rulletrappe, der kører nedad, og går opad i samme tempo. Pilene peger nu mod hinanden, og størrelserne trækkes derfor fra hinanden:

$v = v_{1} - v_{2} = 1 m / s - 0, 5 m / s = 0, 5 m / s$

Du kommer rigtignok op, men de tredive meter tager igen et helt minut. Hvis du kun gik en halv meter i sekundet, ville du gå på stedet. Gik du endnu langsommere, ville rulletrappen langsomt men sikkert køre dig nedad.

Hvor hurtigt går du egentlig? Der er to rigtige svar. I forhold til trinene 1 m/s, i forhold til stationen 1,5 m/s eller 0,5 m/s. Det afhænger af henførelsessystemet, altså af, hvad vi beskriver bevægelsen i forhold til.

På rulletrappen ligger begge pile på én linje, så det er nok at lægge størrelserne sammen eller trække dem fra hinanden. Mere interessant bliver det, når to bevægelser peger hver sin vej.

En lille båd over åen

Åen er d = 60 m bred og strømmer med hastigheden v₂ = 1 m/s. Fra bredden sætter en lille båd af sted, der på stille vand sejler med v₁ = 2 m/s. Rorsmanden retter stævnen vinkelret mod den modsatte bred og holder den sådan hele tiden. Ender den lige over for det sted, hvor den startede? Vi skriver opgaven op:

$\begin{aligned} d & = 60 m \\ v_{1} & = 2 m / s \\ v_{2} & = 1 m / s \end{aligned}$

Båden sigter vinkelret mod den modsatte bred (grå stiplet linje), men strømmen fører den med sig, så den sejler skråt langs det røde spor og lander længere nedstrøms. d er åens bredde, x afdriften

Det gør den ikke. Mens båden arbejder sig på tværs, strømmer vandet under den og tager den med sig. Stævnen peger ganske vist hele tiden vinkelret på bredden, men båden glider skråt og lander et stykke længere nedstrøms. I animationen kan man se det tydeligt: Båden sejler ikke derhen, hvor stævnen peger. Stævnen viser, hvor båden sejler i forhold til vandet. Og hvor mange meter fører strømmen den?

Bevægelserne er ikke i vejen for hinanden

Nøglen til beregningen er princippet om bevægelsernes uafhængighed: Udfører et legeme flere bevægelser samtidig, forløber hver af dem, som om de andre ikke fandtes. Legemet ender samme sted, som hvis bevægelserne var forløbet efter hinanden.

Lad os prøve det med båden i to trin. Først forestiller du dig, at vandet står stille, og at rorsmanden ror i et halvt minut. Båden sejler lige på tværs og standser lige overfor. Derefter holder han op med at ro og lader sig føre af strømmen i et halvt minut, så den rykker båden langs bredden. Den ender præcis samme sted, som når den gør begge dele på én gang. I virkeligheden forløber begge bevægelser samtidig, og båden sejler derfor skråt, men ingen af dem forsinker den anden.

Ved båden er det let at forestille sig. I forhold til vandet sejler den vinkelret på tværs, ligesom på en sø. Strømmen flytter bare hele vandmassen med båden i, ligesom rulletrappen flytter trinene med dig. På tværs drives båden derfor kun frem af sin egen fart på 2 m/s. Strømmen går langs bredderne, så den hverken hjælper eller hindrer overfarten. Overfartstiden afhænger derfor kun af åens bredde og af farten på tværs:

$t = \frac{d}{v_{1}} = \frac{60 m}{2 m / s} = 30 s$

I alle de tredive sekunder fører strømmen båden med farten 1 m/s. Den afstand, båden lander længere nedstrøms, kalder vi afdriften:

$x = v_{2} \cdot t = 1 m / s \cdot 30 s = 30 m$

Båden lander tredive meter nedstrøms fra stedet lige overfor. For hver to meter på tværs fører strømmen den en meter langs bredden, så dens spor er en ret linje. Ved dobbelt så hurtig strøm ville båden igen være på den anden bred efter et halvt minut, men tres meter fra målet.

Hastighedspile. Til venstre sigter båden vinkelret mod bredden: rød bådens hastighed v⃗_1, blå strømmens hastighed v⃗_2 og grøn den resulterende v⃗. Til højre sigter båden en vinkel α mod strømmen, og den resulterende hastighed går lige på tværs

Hvor hurtigt bevæger båden sig i forhold til bredden? Den resulterende hastighed er vektorsummen

$\vec{v} = {\vec{v}}_{1} + {\vec{v}}_{2} .$

Vi tegner begge pile fra samme punkt og supplerer dem til et parallelogram, den resulterende hastighed er dets diagonal. Pilene står vinkelret på hinanden, så parallelogrammet er her et rektangel, som til venstre på figuren. Størrelsen af den resulterende hastighed beregner vi med Pythagoras' sætning:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}} = \sqrt{(2 m / s)^{2} + (1 m / s)^{2}} \\ = \sqrt{5 m^{2} {/ s}^{2}} \approx 2, 24 m / s \end{aligned}$

I forhold til bredden er båden hurtigere end på stille vand, men den ekstra hastighed fører den et andet sted hen, end den vil. Det ville være en fejl at lægge hastighederne sammen som almindelige tal, 2 m/s + 1 m/s = 3 m/s. Sådan lægger man kun pile sammen, der peger i samme retning, som på rulletrappen.

Resultatet kan vi kontrollere på en anden måde. På 30 s sejler båden med farten $\sqrt{5 m^{2} {/ s}^{2}}$ en skrå strækning på cirka 67,1 m. Lige så lang er hypotenusen i den trekant, som åens bredde og afdriften danner:

$\sqrt{(60 m)^{2} + (30 m)^{2}} = \sqrt{4500 m^{2}} \approx 67, 1 m$

Det passer. Båden sejler over åen på tredive sekunder, bevæger sig i forhold til bredden med cirka 2,24 m/s og lander tredive meter nedstrøms.

Sådan når du lige overfor

Skal rorsmanden lande præcis overfor, må han dreje båden skråt mod strømmen. En del af dens hastighed overvinder så strømmen, og resten driver den på tværs. Den resulterende hastighed $\vec{v}$ skal pege lige mod den modsatte bred, som til højre på figuren.

Find til højre den trekant, som den røde pil, den grønne pil og den stiplede streg øverst danner. Den stiplede streg er parallelogrammets modstående side, så den er lige så lang som strømmens pil og parallel med den. Med den grønne pil danner den derfor en ret vinkel, ligesom strømmen nederst. Hypotenusen er bådens hastighed v₁, og over for vinklen α ligger strømmens hastighed v₂. Derfor er

$\sin α = \frac{v_{2}}{v_{1}} = \frac{1 m / s}{2 m / s} = \frac{1}{2} .$

Sinus er lig med en halv for vinklen 30°. Rorsmanden må dreje båden 30° fra vinkelret mod strømmen.

Til samme resultat kommer man ved at opløse bådens hastighed i to vinkelrette komposanter. Den ene peger mod strømmen og har størrelsen v₁ · sin α, den anden peger på tværs og har størrelsen v₁ · cos α. Skal båden sejle lige overfor, skal komposanten mod strømmen præcis opveje strømmen, der skal gælde v₁ · sin α = v₂. Efter division med farten v₁ får vi igen $\sin α = \frac{1}{2}$ . Strømmen fører så ikke båden nogen steder hen, og kun bevægelsen på tværs er tilbage.

Farten på tværs er den anden katete, den beregner vi med Pythagoras' sætning:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{v_{1}^{2} - v_{2}^{2}} = \sqrt{(2 m / s)^{2} - (1 m / s)^{2}} \\ = \sqrt{3 m^{2} {/ s}^{2}} \approx 1, 73 m / s \end{aligned}$

Det samme ville man få af v₁ · cos α = 2 m/s · cos 30°. Princippet om uafhængighed er her nyttigt for anden gang. Overfartstiden bestemmes kun af farten på tværs, og den er nu mindre end før, så overfarten varer længere:

$t = \frac{d}{v} = \frac{60 m}{\sqrt{3 m^{2} {/ s}^{2}}} \approx 34, 6 s$

Den direkte vej er kortere og tager alligevel næsten fem sekunder længere. Den, der vil nå den anden bred så hurtigt som muligt, for eksempel en svømmer i åen, skal sigte vinkelret og affinde sig med afdriften. Den, der vil lægge til ved anløbsbroen lige overfor, må dreje mod strømmen og affinde sig med en længere sejltur.

Det samme trick kender piloter i sidevind. Flyet flyver med næsen lidt mod vinden, så det bevæger sig lige mod målet i forhold til jorden. Ved landing i kraftig sidevind nærmer det sig derfor landingsbanen på skrå og retter sig først lige over jorden.

Endnu en fælde. Hvis strømmen var hurtigere end båden, ville sinus blive større end en, og sådan en vinkel findes ikke. Ved lige så hurtig strøm skulle den sigte lige mod strømmen og ville slet ikke bevæge sig på tværs. Strømmen ville altid føre båden med sig, uanset hvordan den sigtede. Allerede når strømmen kun er lidt langsommere end båden, må rorsmanden sigte næsten mod strømmen, og på tværs bevæger båden sig kun i sneglefart.

Skråt regnvejr fra en kørende bil

Det regner udenfor, og der er ingen vind, så dråberne falder lodret, de store med en hastighed på cirka 9 m/s. Når bilen holder stille, ser du lodrette streger ud af vinduet. Men så snart du kører, flyver dråberne ved sidevinduet skråt bagud, og jo hurtigere du kører, desto mere.

Vi beskriver det i det henførelsessystem, der er knyttet til bilen. I forhold til bilen glider hele landskabet bagud, træer, huse og dråber. Hver dråbe udfører således to bevægelser: Den falder nedad med hastigheden 9 m/s og bevæger sig samtidig bagud med bilens hastighed. Den resulterende hastighed er deres vektorsum og peger skråt nedad og bagud.

Når bilen også kører 9 m/s, altså cirka 32 km/h, er begge pile lige lange og vinkelrette. Den resulterende er diagonalen i et kvadrat, så dråberne falder med vinklen 45°. På motorvejen er den vandrette pil flere gange længere end den lodrette, og dråberne flyver næsten vandret.

Betragtningen kan vendes om. Når du ved 32 km/h ser dråbernes spor præcis i vinklen 45°, ved du, at dråberne falder lige så hurtigt, som du kører. Ud fra speedometeret og sporenes hældning kan vi vurdere regndråbernes fart uden at stige ud.

Forruden bliver mest våd, når man kører i regn, mens der kommer få dråber på bagruden. Af samme grund holder alle, der løber i regnvejr, paraplyen skråt fremad. Dråberne falder nemlig skråt forfra på den i løberens henførelsessystem. Den, der står ved stoppestedet, holder paraplyen lodret, for dråberne falder oppefra.

Også den hastighed, hvormed dråberne rammer forruden, er sammensat. Ved 32 km/h er det diagonalen i et kvadrat med siden 9 m/s, altså $\sqrt{2} \cdot 9 m / s \approx 12, 7 m / s$ . Netop derfor trommer dråberne så højlydt på ruden ved hurtig kørsel i regn.

Båden, bilen og dråberne bevægede sig her langs rette linjer. Men en hest på en karrusel eller spidsen af en urviser går rundt i ring. Hvordan man beskriver bevægelse langs en cirkel, hvad omløbstid, frekvens og radianer er, og hvorfor karrusellens kant kører hurtigere end stederne nær midten, viser den næste artikel, Jævn cirkelbevægelse.

« Forrige: Frit fald

Næste: Jævn cirkelbevægelse »