整数

整数は、小数部分のない数です。自然数と、その反数（符号を変えた負の数）と、0からなります。

性質

飛びかう数字

整数は、…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …という数からなる集合をつくります。この集合は、ふつう斜めの線を二重にした文字Zを使って ℤ と書きます。ドイツ語の Zahlen（数）からきています。整数の集合は無限集合で、可算集合です。

整数には、たとえば次のような性質があります。

自然数と同じく、たし算とかけ算について閉じています。つまり、2つの整数をたすと、また整数になります。
自然数とちがって、整数はひき算についても閉じています。自然数は閉じていませんでした。2つの自然数の差が負の数になることがあるからです。整数には負の数も含まれているので、問題ありません。
自然数と同じく、割り算については閉じていません。割り算の結果が整数にならないことがあるのは、整数でも同じです。
どの整数 c にも、反数 −c があります。10 の反数は −10、55 の反数は −55 です。負の数でも同じで、−13 の反数は 13 です。整数 c とその反数 −c をたすと、0になります。c + (−c) = 0 です。そのため、0の反数は0です。

整数は、偶数と奇数に分けられます。偶数は2で割り切れる数で、2、−4、−8、40、124 などです。奇数は2で割ると1余る数で、−1、1、5、19、−41 などです。負の数でも偶数と奇数を区別すること（つまり −5 はちゃんと奇数です）と、0は偶数であることに注意しましょう。

たし算についての性質を見てみましょう。2つの偶数をたすと、また偶数になります。ほかの場合は、次の表のとおりです。

$\begin{array}{rcl} 偶数 + 偶数 & = & 偶数 \\ 偶数 + 奇数 & = & 奇数 \\ 奇数 + 奇数 & = & 偶数 \end{array}$

かけ算についても、同じような表がつくれます。

$\begin{array}{rcl} 偶数 \cdot 偶数 & = & 偶数 \\ 偶数 \cdot 奇数 & = & 偶数 \\ 奇数 \cdot 奇数 & = & 奇数 \end{array}$

整数の集合でも、自然数と同じように余りのある割り算を定義できます。ただし、負の数をどうあつかうかを決めておく必要があります。そこで、基本的な定義は次のようになります。

$a = q \cdot b + r, a, q \in Z, b \in Z - {0}, 0 ≦ r < | b |$

この式は割り算 $a \div b$ を表していて、q が商、r が余りです。0で割ることはできないので、b は0であってはいけません。余りは0以上で、b の絶対値より小さくなければなりません。こうすることで、商と余りがただ1通りに決まります。

このような割り算は、実際にはどうなるでしょうか。 $- 21 \div 4$ を計算してみましょう。次のようになります。

$- 21 = - 6 \cdot 4 + 3$

商は −6、余りは 3 です。すべての数が正の場合とは結果がちがうので、驚くかもしれません。すべて正の数なら、次のようになります。

$21 = 5 \cdot 4 + 1$

こちらの商は5、余りは 1 です。ちがいは、まさに負の数にあります。正の数では、最初に、21以下で4で割り切れる最大の整数を探します。それは20です。そこで $20 \div 4 = 5$ を計算して、5が得られます。余りは差 21 − 20 で求めます。

負の数でも、やり方は同じです。−21 以下で 4 で割り切れる最大の数を探します。ところが、−20 は −21 より大きい数です。したがって、−21 以下で 4 で割り切れる最大の数は −24 です。余りは、やはり差 −21 − (−24) = −21 + 24 = 3 で求めます。

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