Επιμεριστική ιδιότητα

Η επιμεριστική ιδιότητα είναι ιδιότητα δύο διμελών πράξεων, όπως για παράδειγμα η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός. Η επιμεριστική ιδιότητα μάς λέει, στην περίπτωση του πολλαπλασιασμού και της πρόσθεσης, ότι μπορούμε να «βγάλουμε την παρένθεση» κάνοντας επιμερισμό. Για παράδειγμα, αν έχουμε την παράσταση

$$2\cdot (3+4)$$

τότε ξέρουμε ότι μπορούμε να κάνουμε επιμερισμό και να βγάλουμε την παρένθεση, οπότε παίρνουμε μια άλλη παράσταση

$$2\cdot (3+4)=2\cdot 3+2\cdot 4$$

Και οι δύο παραστάσεις οδηγούν στο ίδιο αποτέλεσμα, στον αριθμό 14. Αυτόν τον επιμερισμό μπορέσαμε να τον κάνουμε επειδή η πράξη του πολλαπλασιασμού στο σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι επιμεριστική ως προς την πράξη της πρόσθεσης. Γενικά λοιπόν, αν έχουμε δύο πράξεις · και +, τότε λέμε ότι η πράξη · είναι στο σύνολο M επιμεριστική ως προς την πράξη +, αν ισχύει

$$\begin{array}{rcl}a\cdot (b+c)& =& (a\cdot b)+(a\cdot c)\\ (b+c)\cdot a& =& (b\cdot a)+(c\cdot a)\end{array}$$

για όλα τα a, b, c ∈ M. Ένα ακόμα παράδειγμα επιμεριστικών πράξεων είναι οι πράξεις του προτασιακού λογισμού, η σύζευξη ∧ και η διάζευξη ∨. Ας φανταστούμε ότι έχουμε τις προτάσεις A, B και C. Αν πούμε «το A και ταυτόχρονα (το B ή το C)», το γράφουμε ως

$$A\wedge (B\vee C)$$

Και επειδή η σύζευξη είναι επιμεριστική ως προς τη διάζευξη, ισχύει επίσης

$$(A\wedge B)\vee (A\wedge C)$$

Δηλαδή, με λόγια: «(το A και ταυτόχρονα το B) ή (το A και ταυτόχρονα το C)». Για να έχουμε και ένα παράδειγμα πράξεων που δεν είναι επιμεριστικές, ας πάρουμε την πρόσθεση και την αφαίρεση:

$$10-(5+3)$$

Το σωστό αποτέλεσμα είναι φυσικά 2, επειδή μετά την πρόσθεση στην παρένθεση παίρνουμε 10 − 8, που είναι 2. Αν εφαρμόζαμε σε αυτόν τον υπολογισμό τον κανόνα της επιμεριστικής ιδιότητας, θα παίρναμε την παράσταση:

$$(10-5)+(10-3)$$

Αφού υπολογίσουμε τις παρενθέσεις, θα είχαμε 5 + 7, που είναι 12. Βλέπουμε ότι πήραμε λάθος αποτέλεσμα, άρα η πρόσθεση και η αφαίρεση δεν είναι επιμεριστικές.

Περισσότερα παραδείγματα: ορισμένες πράξεις με πίνακες ικανοποιούν την επιμεριστική ιδιότητα. Το ίδιο και τα διανύσματα σε έναν διανυσματικό χώρο. Οι πράξεις σε ένα σώμα πρέπει να είναι επιμεριστικές.