0.999…が1に等しい理由

小数点のあとに9が限りなく続く数 0.999… は、1に等しくなります。だいたい等しいのでも、「ほとんど」等しいのでもなく、ちょうど等しいのです。ほとんどの人は、はじめはこれを信じません。この1つの数をめぐる言い争いは、インターネットで数学について最もよく起こる論争の1つです。ここでは証明をいくつか紹介し、最後に、なぜ直感がいつまでも反対のことをささやくのかを考えます。

ほかの循環小数と同じように、この数も、くり返す数字の上に線を引いて書けます。

$0, \overset{―}{9} = 1$

3分の1を使う方法

だれもが知っている分数から始めましょう。1を3で割ると、循環小数になります。

$\frac{1}{3} = 0.333 \dots$

ここで、等式の両辺に3をかけます。左辺は次のようになります。

$3 \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1.$

右辺では、3の1つ1つに3をかけます。3 · 3 = 9 で、上の位へのくり上がりはないので、次のようになります。

$3 \cdot 0.333 \dots = 0.999 \dots$

左辺どうしが等しいので、右辺どうしも等しくなければなりません。1 = 0.999… です。0.333… を3分の1だと認めるなら、これも認めないわけにはいきません。

10倍する方法

この方法は、有理数の記事ですでに出てきました。そこでは、同じ方法で循環小数を分数に直しています。この数を a とします。

$a = 0, \overset{―}{9}$

10をかけます。小数点が1けた右に移り、そのあとにはやはり9が限りなく続きます。

$10 a = 9, \overset{―}{9}$

ここから a をひくと、小数点のあとの9はすべて打ち消しあいます。

$9 a = 9$

あとは9で割るだけです。

$a = 1$

差はいくつか

0.999… と 1 がちがう数なら、その差はある正の数になるはずです。それを探してみましょう。まず、9が有限個の場合を考えます。

$\begin{array}{rcl} 1 - 0.9 & = & 0.1 \\ 1 - 0.99 & = & 0.01 \\ 1 - 0.999 & = & 0.001 \end{array}$

9が1つ増えるごとに、差は10分の1になります。図のいちばん上は0から1までの数直線で、青い点が 0.9 にあり、1まで足りない部分を赤で示しています。その下の数直線は、1つ上の数直線の赤い部分を10倍に拡大したものなので、青い点は順に 0.9、0.99、0.999 にあります。

9が1個、2個、3個の数で、1まで足りない部分。それぞれ10倍に拡大

どんなに小さな正の数、たとえば10億分の1を選んでも、9を十分たくさんならべれば、差はそれより小さくなります。ところが、0.999… には9が一度に全部、限りなくならんでいます。そのため、差はどんな正の数よりも小さくなければなりません。しかし、すべての正の数より小さい正の数はありません。もしあったら、自分自身の半分よりも小さくなければならないからです。したがって、差は0しかありえません。

よくある反論は、差は 0.000…01、つまり0が限りなく続いて最後に1がある数だ、というものです。しかし、限りなく続く0のならびには終わりがないので、その1を書く場所がありません。

2つの数の間には何も入らない

異なる2つの実数の間には、かならず別の数が見つかります。たとえば、2つの数の平均です。0.5 と 0.6 の間には 0.55 があり、0.5 と 0.55 の間には 0.525 があります。これは、どんなに近い2つの数でも、異なる数の組なら成り立ちます。2つの数の平均は、かならずその間に入るのです。

では、0.999… と 1 の間には、どんな数があるでしょうか。その数は 0.999… より大きく、しかも1より小さくなければならないので、0と小数点から始まるはずです。すると、小数点のあとの数字の少なくとも1つは、9より大きくなければなりません。そんな数字はありません。2つの数の間には何も入らないので、2つの数は等しいのです。

無限級数の和として

小数の書き方は、じつは和を表しています。0.999… は、10分の9たす100分の9たす1000分の9たす…という意味です。

$0.999 \dots = \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \frac{9}{1000} + \dots$

各項は前の項の10分の1なので、初項 $a_{1} = \frac{9}{10}$ 、公比 $r = \frac{1}{10}$ の等比数列の項をたしていることになります。公比の絶対値が1より小さいので、無限等比級数は収束し、その和は次の公式で求められます。

$S = \frac{a_{1}}{1 - r} .$

代入します。

$S = \frac{\frac{9}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{\frac{9}{10}}{\frac{9}{10}} = 1$

正確に言うと、無限級数の和とは、初項から順に有限個の項をたした和（部分和）がつくる数列、つまり 0.9、0.99、0.999、…の極限のことです。この数列は1に近づいていき、0.999… という書き方は、まさにこの極限を表しています。ここまでの証明も、じつはこのことにもとづいています。

なぜ信じたくないのか

直感は、「9がたくさん」と「9が限りなく」を取りちがえます。9が3つの数 0.999 は、たしかに1より小さい数です。9が100万個ならんだ数も同じです。印刷すれば数百ページになりますが、それでも1までは何かが足りません。しかし、 $0, \overset{―}{9}$ は、どこかで終わるたくさんの9ではありません。けっして終わらないので、足りないものは何もないのです。

また、0.999… を、9がどんどん書き足されて、数が1に少しずつ近づいていく動きのように思い描きがちです。しかし、数はどこにも動きません。9ははじめから全部そろっていて、値は変わらないのです。

もう1つのつまずきは、1つの数に2つのちがう書き方があるということです。しかし、これは分数でもおなじみです。

$\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{50}{100} = 0.5$

半分をいろいろな分数で書けるのと同じように、0.5 には小数での書き方がもう1つあります。

$0.5 = 0.4999 \dots$

0以外の、有限小数で表せる数（整数も含む）は、どれも2通りに書けます。たとえば 0.25 = 0.24999… や 7 = 6.999… です。2つの数があるのではなく、1つの数が2通りの姿をしているだけなのです。

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