Дистрибутивност

Дистрибутивността (разпределителният закон) е свойство на две двуместни операции, например събирането и умножението. При умножението и събирането дистрибутивността ни казва, че можем да „разкрием скобата“. За пример, ако имаме израза

$$2\cdot (3+4)$$

знаем, че можем да разкрием скобата, с което получаваме друг израз

$$2\cdot (3+4)=2\cdot 3+2\cdot 4$$

И двата израза водят до един и същ резултат, до числото 14. Това разкриване на скобата можахме да направим, защото операцията умножение е в множеството на реалните числа дистрибутивна спрямо операцията събиране. В общия случай, ако имаме две операции · и +, казваме, че операцията · е в множеството M дистрибутивна спрямо операцията +, ако е изпълнено

$$\begin{array}{rcl}a\cdot (b+c)& =& (a\cdot b)+(a\cdot c)\\ (b+c)\cdot a& =& (b\cdot a)+(c\cdot a)\end{array}$$

за всички a, b, c ∈ M. Друг пример за дистрибутивни операции са например операциите от съждителната логика, конюнкцията ∧ и дизюнкцията ∨. Нека си представим, че имаме съждения A, B и C. Ако кажем „A и (B или C)“, записваме това като

$$A\wedge (B\vee C)$$

А тъй като операцията конюнкция е дистрибутивна спрямо операцията дизюнкция, е в сила и

$$(A\wedge B)\vee (A\wedge C)$$

Т.е., с думи: „(A и B) или (A и C)“. За да имаме и пример за операции, които не са дистрибутивни, да вземем например събирането и изваждането:

$$10-(5+3)$$

Правилният резултат е, разбира се, 2, защото след като пресметнем скобата, получаваме 10 − 8, което е 2. Ако приложим към това пресмятане правилото за дистрибутивност, получаваме израза:

$$(10-5)+(10-3)$$

След пресмятане на скобите имаме 5 + 7, което е 12. Виждаме, че получихме грешен резултат, операциите събиране и изваждане следователно не са дистрибутивни.

Още примери: някои операции с матрици удовлетворяват разпределителния закон. Векторите във векторно пространство също. Операциите над поле трябва да са дистрибутивни.