ネイピア数はどこから来たのか

ネイピア数は、円周率 π などと並んで、最もよく知られた数学の定数の1つです。日本ではネイピア数と呼びますが、英語などではオイラーにちなんでEuler's numberと呼ばれています。ここでは、この数がどのようにして見つかったのか、何を意味するのかを見ていきましょう。

17世紀、スイスの数学者ヤコブ・ベルヌーイは、複利に興味をもっていました。1円を、年利100%の銀行に預けるとします。銀行としてはまったくむちゃな話ですが、数学のためなら何でもしてくれるのでしょう。ちょうど1年後、口座にはいくらあるでしょうか。2円です。

では、銀行が「利率は50%で、そのかわり半年ごとに利息をつけます」といってきたらどうなるでしょうか。こちらのほうが得でしょうか、それとも損でしょうか。

最初の半年がたつと、お金は半分増えます。「半分増える」は、数学では $x\cdot (1+\frac{1}{2})$ と書きます。x に預けた金額、つまり1円を代入して計算します。

$$1\cdot (1+\frac{1}{2})=1.5$$

半年後、口座には1.5円あります。次の半年がたつと、さらに半分だけ増えます。同じ式を使い、x に新しい残高 1.5 を代入します。

$$1.5\cdot (1+\frac{1}{2})=2.25$$

こうして、1年後には口座に2.25円あります。利率が低くても、より頻繁に利息がつくほうが得なのです。

毎月利息がつく場合

銀行が毎月利息をつけるかわりに、利率をもとの12分の1に下げたらどうでしょうか。ふう、少し計算が大変になります。最初の1か月後の残高はいくらでしょうか。「12分の1だけ増える」ので、$x\cdot (1+\frac{1}{12})$ と書けます。最初の1か月後には、次のようになります。

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})=1.0833333\dots$$

2か月後には、次のようになります。

$$1.0833333\cdot (1+\frac{1}{12})=1.17361111\dots$$

ここで、1.0833333のかわりに $1\cdot (1+\frac{1}{12})$ と書けることに注目しましょう。この2つは等しいからです。

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})=1.17361111\dots$$

3か月後には、口座の残高は次のようになります。

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})=1.27141203$$

計算に、あるパターンがあることがわかります。かっこの中の式が、何か月目を計算しているかと同じ回数だけくり返されています。そこで、3つの同じかっこを書くかわりに、1つのかっこを3乗して、式を簡単にできます。

$$1\cdot {(1+\frac{1}{12})}^3=1.27141203$$

最初の1をかけるのも必要ないので、取りのぞきます。

$${(1+\frac{1}{12})}^3=1.27141203$$

12か月後の残高を計算したいなら、指数の3のかわりに12を使うだけです。

$${(1+\frac{1}{12})}^{12}=2.6130352$$

12か月後、口座にはおよそ2.6130352円あります。悪くありません。年利100%のときよりずっと得です。

連続複利

月ごとで止める必要はありません。毎週、もとの利率の $\frac{1}{52}$ の利率で利息をつけたらどうでしょうか。式はもうわかっているので、代入するだけです。

$${(1+\frac{1}{52})}^{52}=2.6925969$$

毎日なら？

$${(1+\frac{1}{365})}^{365}=2.7145674$$

1時間ごとなら？（1年は8,760時間です）

$${(1+\frac{1}{8760})}^{8760}=2.718126$$

利率を下げて、そのぶん頻繁に利息をつけるほど、最後に口座にあるお金は少しずつ増えます。しかし、増え方はもうあまり大きくありません。このまま限りなく続けることもできます。いや、これはじつは悪くない考えです。毎分、毎秒、1ミリ秒ごと、1ナノ秒ごと…と利息をつけていけば、ついには絶えず利息をつけている状態になります。ほんのわずかな利息が、残高にあらゆる瞬間に連続してつくのです。この場合、1年後に口座にはいくらあるでしょうか。

ネイピア数にもどる

これこそ、ヤコブ・ベルヌーイが求めようとした問題です。残念ながら彼は答えを出せず、答えを出したのは18世紀の有名な数学者レオンハルト・オイラーでした。オイラーは、1年後の口座の残高が次の金額（円）になることを計算しました。

$$2.71828182845904523536028747135\dots$$

1時間ごとに利息をつけた場合と比べて、それほど多くないことがわかります。この残高、つまりこの数は、数学のさまざまな分野でとても重要であることがわかり、ネイピア数と呼ばれて、文字 e で表すようになりました。ネイピア数は無理数、つまり循環しない無限小数です。円周率 π と同じです。そのため、すべての桁を見ることはけっしてできません。それでも、関数の極限を使って、ネイピア数を正確に定義できます。

$$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n$$

参考リンク

• 英語のチャンネルNumberphileの、ネイピア数についてのすばらしい回。
• 住宅ローンの利息の計算のしかた