複素数
複素数は、実数を広げたものです。実数の範囲では、たし算、ひき算、かけ算、割り算（0で割ることを除く）など、ふつうの計算のほとんどができます。実数の範囲で平方根もとれますが、とれるのは0以上の数だけです。ここに穴があります。たとえば、2次方程式を解いていて判別式が負になったときに困ります。この穴をうめるのが複素数です。
複素数とは
複素数がふつうの数とちがうのは、おもに、実部と虚部の2つの部分をもつことです。複素数は順序のついた数の組 (x, y) で、x が実部、y が虚部を表します。実部が0のときは、純虚数といいます。x と y そのものは実数です。
複素数の集合は、大文字のCを使って ℂ と書きます。
複素数の相等：ふつうの数とちがって、複素数には2つの成分があります。そのため、2つの複素数が等しいためには、両方の成分が等しくなければなりません。たとえば、次の複素数はたがいに異なります。(2, 3) ≠ (0, 3) ≠ (2, 0)。複素数 z1 = (1, 2) と z2 = (1, 2) は等しく、z1 = z2 です。
a + bi の形と虚数単位
複素数は、次のような形で書くことのほうが多いです。複素数 (x, y) は x + yi の形に書け、i を虚数単位といいます。虚数単位の2乗については、とても大切な関係が成り立ちます。
この式は、このあとほかの累乗を計算するときにもよく使います。これがわかれば、もっと大きな累乗はふつうの方法で計算できるからです。たとえば i3 を簡単にしたいなら、累乗の計算のきまりにしたがって、i2 · i に分けられます。i2 はマイナス1に等しいことがわかっています。もう1つの因数はこれ以上分けられないので、i3 = −i となります。
i4 も同じように考えます。これは i2 · i2 に分けられ、i2 = −1 なので、−1 · − 1 = 1 となります。
つまり、i4 = 1 です。このことは、虚数単位のもっと大きな累乗を計算するときに使えます。たとえば i7 を計算するときは、i4 · i3 に分けられます。i4 = 1 なので、1 · i3 となります。そして i3 = −i なので、答えは 1 · (−i) = −i です。
たし算とかけ算
複素数は、たしたりかけたりできます。2つの複素数 z1 と z2 のたし算では、実部どうし、虚部どうしを別々にたすだけです。
例：z1 = 3 + 7i、z2 = 5 + 8i とします。和は z1 + z2 = (3 + 5) + (7 + 8)i = 8 + 15i となります。
2つの複素数の積は少し複雑ですが、ふつうのかっこの展開のように計算できます。基本的な公式は次のとおりです。
この公式は、どうやって導いたのでしょうか。z1 · z2 を、ふつうのかっこと同じように展開してみます。
i2 = −1 なので、最後の項を変形すると次のようになります。
あとは、虚数単位のない項とある項をまとめるだけです。
例を見てみましょう。5 + 6i と 4 + 7i をかけてみます。
符号を変えた数、逆数、共役複素数
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複素数 x + yi の符号を変えた数（反数）は −x − yi です。実数の場合と同じように、もとの複素数にマイナス1をかければ得られます。例：2 + 7i の反数は −2 − 7i、−5 + 8i の反数は 5 − 8i などです。
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複素数 x + yi の逆数は
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複素数 x + yi の共役複素数は x − yi です。ふつうは
ひき算と割り算
反数と逆数を定義したので、ひき算と割り算も定義できます。2つの複素数のひき算 z1 − z2 をするには、z1 に z2 の反数をたします。実際には、次の簡単な公式になります。
同じように、割り算 z1 / z2 は、z1 · z2′ というかけ算に直します。ここで z2′ は z2 の逆数です。
絶対値
複素数 z の絶対値は、次の公式で計算します。
（2つ目の平方根の中の、上に線のある z は、z の共役複素数です。）この公式の意味は、複素数平面を見るとよくわかります。
絶対値が1である複素数を、単位複素数といいます。単位複素数の例：1、i、
絶対値の性質：
- 複素数の絶対値は実数です。
- |z| = |−z| = |z*|。ここで z* は共役複素数です。