Distributiviteit
Distributiviteit is een eigenschap van twee binaire bewerkingen, zoals optellen en vermenigvuldigen. Bij vermenigvuldigen en optellen zegt distributiviteit ons dat we “haakjes mogen uitwerken”. Als we bijvoorbeeld de uitdrukking
hebben, weten we dat we de haakjes kunnen uitwerken, waardoor we een andere uitdrukking krijgen
Beide uitdrukkingen leiden tot dezelfde uitkomst, het getal 14. Dat uitwerken konden we doen omdat de bewerking vermenigvuldigen op de verzameling van de reële getallen distributief is over de bewerking optellen. In het algemeen geldt dus: als we twee bewerkingen · en + hebben, zeggen we dat de bewerking · op de verzameling M distributief is over de bewerking + als geldt
voor alle a, b, c ∈ M. Een ander voorbeeld van distributieve bewerkingen zijn de bewerkingen uit de propositielogica, de conjunctie ∧ en de disjunctie ∨. Stel dat we de uitspraken A, B en C hebben. Als we zeggen “A en tegelijk (B of C)”, schrijven we dat op als
En omdat de conjunctie distributief is over de disjunctie, geldt tegelijk
In woorden dus: “(A en tegelijk B) of (A en tegelijk C)”. Om ook een voorbeeld te hebben van bewerkingen die niet distributief zijn, nemen we bijvoorbeeld aftrekken en optellen:
De juiste uitkomst is natuurlijk 2, want als we de getallen in het haakje optellen, krijgen we 10 − 8, en dat is 2. Als we op deze berekening de regel van de distributiviteit zouden toepassen, kregen we de uitdrukking:
Na het uitrekenen van de haakjes hadden we 5 + 7, en dat is 12. We zien dat we een verkeerde uitkomst hebben gekregen: aftrekken is dus niet distributief over optellen.
Nog enkele voorbeelden: sommige bewerkingen met matrices voldoen aan de distributieve wet. Vectoren in een vectorruimte ook. De bewerkingen in een lichaam (in de algebra) moeten distributief zijn.
Hoofdstukken: Commutativiteit, Associativiteit, Distributiviteit
