指数方程式

指数に変数を含む方程式を、指数方程式といいます。一般には、指数方程式は a^f(x) = b^g(x)（ただし a, b>0）と書けます。典型的な例は 2^x = 8 です。2の3乗は8なので、答えが3になることはすぐわかります。ここからは、もう少し数学らしい解き方を見ていきましょう。

簡単な指数方程式

指数方程式を解くときは、方程式を a^f(x) = b^g(x) で a = b の形、つまり底がそろった形に直せるととても便利です。底が同じなら、累乗どうしが等しくなるのは指数も等しいときだからです。そうなれば、あとは方程式 f(x) = g(x) を解くだけです。先ほどの例は次のように変形できます。8を2の累乗で表すと 2^x = 2³ となり、底がそろいます。そこで2つの指数を等号で結べば、そのまま答え x = 3 が得られます。例を少し難しくして 2^2x = 8 としても、変形すると 2^2x = 2³ となり、2x = 3 を解けば答えは1.5です。

もう一つ簡単なのは、方程式の一方の辺が1の場合です。次の例を考えましょう。

$$5^{3x-2}=1$$

複雑に見えますが、累乗の基本的な性質を知っていれば、1になるのは2通りしかないことがわかります。底が1の場合（1は何乗しても1です）と、指数が0の場合（どんな数も0乗すると1です）です。ここではもちろん後者を使い、方程式を 5^{3x − 2} = 5⁰ と書きかえます。これで、すでに解ける形（前の段落を参照）になりました。あとは指数を比べるだけです。方程式は 3x − 2 = 0 となり、これは簡単な1次方程式です。

両辺の対数をとる

方程式を底がそろった形に直せないときは、両辺の対数をとる方法を試します。数学の先生はいつも「どうしていいかわからなくなったら、とにかく対数をとりなさい！」と言っていましたが、そのとおりでした。底の異なる指数方程式で、底をそろえるのが無理な（または効率が悪い）ときは、両辺の対数をとりましょう。元の方程式

$$a^{f(x)}=b^{g(x)}$$

から、次の式が得られます。

$${\log }_{10}{a}^{f(x)}={\log }_{10}{b}^{g(x)}$$

対数の公式を使うと、次のようになります。

$$f(x)\cdot {\log }_{10}a=g(x)\cdot {\log }_{10}b.$$

では、次の例を考えましょう。

$$2^x\cdot 5^{2x}=3^{x-2}$$

底は同じではなく、そろえることもできないので、両辺の対数をとります。

$${\log }_{10}(2^x\cdot 5^{2x})={\log }_{10}(3^{x-2})$$

ここで対数の性質を使い、左辺の積を和に「ばらし」ます。

$${\log }_{10}{2}^x+{\log }_{10}{5}^{2x}={\log }_{10}{3}^{x-2}$$

さらに対数の性質を使い、指数を対数の前に「移します」。

$$x\cdot {\log }_{10}2+2x\cdot {\log }_{10}5=(x-2){\log }_{10}3$$

右辺のかっこをはずします。

$$x\cdot {\log }_{10}2+2x\cdot {\log }_{10}5=x{\log }_{10}3-2{\log }_{10}3$$

未知数を含む項を左辺に移します。

$$x\cdot {\log }_{10}2+2x\cdot {\log }_{10}5-x\cdot {\log }_{10}3=-2{\log }_{10}3$$

x をくくり出します。

$$x({\log }_{10}2+2{\log }_{10}5-{\log }_{10}3)=-2{\log }_{10}3$$

x について解きます。

$$x=\frac{-2{\log }_{10}3}{{\log }_{10}2+2{\log }_{10}5-{\log }_{10}3}$$

これで事実上答えが出ました。さらに対数の性質を使って 2log₁₀ 5 を log₁₀ 5² = log₁₀ 25 にすることもできますが、答えに対してできるのは本当にそれくらいです。

置き換え

指数方程式は置き換えを使って解くこともできます。例で見てみましょう。

$$7^{2x}+7^x-6=0.$$

ここで a = 7^x とおきます。元の方程式の 7^x を a に置き換えると、次の方程式（もう指数方程式ではありません）ができます。

$$a^2+a-6=0.$$

これはただの2次方程式です。解は 2 と −3 です。

この解を置き換えの式 a = 7^x に戻します。つまり 2 = 7^x です。両辺の対数をとると、

$${\log }_{10}2=x\cdot {\log }_{10}7$$

となり、これを解くと次のようになります。

$$x=\frac{{\log }_{10}2}{{\log }_{10}7}$$

もう一つの解は負なので、戻す必要はありません。代入すると負の数の対数をとることになってしまいますが、負の数の対数は存在しないからです。これで指数方程式の答えが求まりました。

例題

次の指数方程式を解きなさい。

$$2^{3x-4}=8^{2x+1}.$$

一見すると、両辺の底は等しくありません。残念です。しかし、よく見れば底をそろえる変形がわかるはずです。8の代わりに、8に等しい 2³ を使えばよいのです。累乗の累乗の公式を使うと、次のようになります。

$$\begin{array}{rcl}{2}^{3x-4}& =& 8^{2x+1}\\ 2^{3x-4}& =& 2^{3\cdot (2x+1)}\\ 2^{3x-4}& =& 2^{6x+3}\end{array}$$

これで底がそろったので、簡単な1次方程式 3x − 4 = 6x + 3 を解けばよいのです。

$$\begin{array}{rcl}3x-4& =& 6x+3\\ -3x& =& 7\\ x& =& -\frac{7}{3}\end{array}$$

次の指数方程式を解きなさい。

$$5^x\cdot 2^x={100}^{x-1}.$$

ここでもいつものように底は同じではありません。しかし、なんとか変形できそうなことは見当がつくでしょう。左辺には指数が同じ累乗の積の公式を使い、右辺には先ほどと同じ公式を使って 100^{x − 1} を 10^{2(x − 1)} にします。

$$\begin{array}{rcl}{5}^x\cdot 2^x& =& {100}^{x-1}\\ {10}^x& =& {10}^{2(x-1)}\\ {10}^x& =& {10}^{2x-2}\end{array}$$

これでまた底がそろったので、ふつうの1次方程式を解きます。

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2x-2\\ -x& =& -2\\ x& =& 2\end{array}$$

次の指数方程式を解きなさい。

$$3^x+3^{x+1}=108.$$

いつものように、まず底をそろえる必要があります。ここではくくり出しを使い、左辺の式から 3^x をくくり出します。そのあとかっこの中を足すと、簡単な方程式になります。

$$\begin{array}{rcl}{3}^x+3^{x+1}& =& 108\\ 3^x(1+3^1)& =& 108\\ 4\cdot 3^x& =& 108\\ 3^x& =& 27\end{array}$$

左辺は整理できたので、次は右辺です。27が3の3乗であることはすぐわかります。

$$\begin{array}{rcl}{3}^x& =& 27\\ 3^x& =& 3^3\end{array}$$

残るは最後の一歩だけです。底がそろったので、指数を等号で結びます。

$$x=3$$

次の指数方程式を解きなさい。

$$4^{2x}-6\cdot 4^x+8=0.$$

この場合は、指数方程式からふつうの2次方程式をつくってみます。いちばんよいのは、置き換え 4^x = a を使うことです。

$$a^2-6a+8=0$$

これでふつうの2次方程式になったので、判別式と解を計算します。

$$\begin{array}{rcl}D& =& 36-4\cdot 8\\ a_{1,2}& =& \frac{(6\pm 2)}{2}\\ a_1& =& 4\\ a_2& =& 2\end{array}$$

得られた値を、置き換えの式に戻す必要があります。1つ目の値の場合です。

$$\begin{array}{rcl}{4}^x& =& 4\\ x& =& 1\end{array}$$

2つ目の値の場合です。

$$\begin{array}{rcl}{4}^x& =& 2\\ 4^x& =& 4^{\frac{1}{2}}\\ x& =& \frac{1}{2}\end{array}$$