Eksponentiallikninger

En vanlig likning blir en eksponentiallikning hvis den inneholder variabelen i eksponenten. Generelt kunne vi skrive en eksponentiallikning slik: a^f(x) = b^g(x), der a, b>0. Et typisk eksempel på en eksponentiallikning kan være 2^x = 8. Her er det ganske åpenbart at svaret blir tallet tre, for to i tredje er åtte. Og nå følger en litt mer matematisk framgangsmåte.

Enkel eksponentiallikning

Hvis vi vil løse en eksponentiallikning, er det veldig praktisk om vi kan skrive om likningen til formen a^f(x) = b^g(x), der a = b. Det er nemlig klart at hvis vi har like grunntall, er potensene like når eksponentene også er like. Da regner vi altså bare på likningen f(x) = g(x). Det forrige eksempelet kan vi skrive om slik: Åtte skriver vi som en potens av to, 2^x = 2³, og så har vi like grunntall, så vi setter bare de to eksponentene lik hverandre, og får samtidig løsningen x = 3. Vi kan gjøre eksempelet vanskeligere, for eksempel slik: 2^2x = 8, og etter omformingen får vi igjen 2^2x = 2³, og vi regner 2x = 3, svaret er 1,5.

Et annet enkelt tilfelle oppstår hvis det står en ener på den ene siden av likningen. La oss ta dette eksempelet:

$$5^{3x-2}=1$$

Det ser vanskelig ut, men hvis du kjenner de grunnleggende sammenhengene mellom potenser, vet du at du bare kan få en ener på to måter — enten er grunntallet én, og da gir én opphøyd i hva som helst igjen én, eller så er eksponenten lik null — hva som helst opphøyd i null er igjen én. Vi bruker selvfølgelig den andre egenskapen og skriver om den forrige likningen slik: 5^{3x − 2} = 5⁰. Nå har vi fått likningen på en form vi allerede kan løse (se forrige avsnitt). Det holder å sammenligne eksponentene. Her får vi likningen 3x − 2 = 0. Det er en triviell lineær likning.

Å ta logaritmen av en eksponentiallikning

Hvis vi ikke kan skrive om likningen til en form med like grunntall, kan vi prøve metoden med å ta logaritmen. Læreren vår sa alltid: «Hør her, når du ikke vet hvordan du skal komme videre, så ta bare logaritmen!» og hun hadde rett. Hvis du har en eksponentiallikning med ulike grunntall, og det ikke er mulig (eller ikke er effektivt) å skrive dem om til samme grunntall, tar du logaritmen av hele likningen. Fra den opprinnelige likningen

$$a^{f(x)}=b^{g(x)}$$

får vi

$$\lg a^{f(x)}=\lg b^{g(x)}$$

og ifølge regelen for regning med logaritmer får vi

$$f(x)\cdot \lg a=g(x)\cdot \lg b.$$

La oss ta dette eksempelet

$$2^x\cdot 5^{2x}=3^{x-2}$$

Grunntallene er ikke like og kan ikke skrives om, så vi tar logaritmen av hele likningen:

$$\lg (2^x\cdot 5^{2x})=\lg (3^{x-2})$$

Nå bruker vi logaritmesetningene og «ganger ut» den første parentesen

$$\lg 2^x+\lg 5^{2x}=\lg 3^{x-2}$$

Nå bruker vi igjen setningene om logaritmer og «flytter» eksponenten foran logaritmen.

$$x\cdot \lg 2+2x\cdot \lg 5=(x-2)\lg 3$$

Vi ganger ut høyre del av likningen:

$$x\cdot \lg 2+2x\cdot \lg 5=x\lg 3-2\lg 3$$

Uttrykkene med den ukjente kaster vi over på venstre del av likningen:

$$x\cdot \lg 2+2x\cdot \lg 5-x\cdot \lg 3=-2\lg 3$$

Videre setter vi x utenfor parentes:

$$x(\lg 2+2\lg 5-\lg 3)=-2\lg 3$$

Vi isolerer x:

$$x=\frac{-2\lg 3}{\lg 2+2\lg 5-\lg 3}$$

Dette er egentlig svaret. Vi kunne bruke logaritmesetningene en gang til og gjøre 2lg 5 om til lg 5² = lg 25, men det er virkelig det siste vi kan gjøre med resultatet.

Substitusjon

Eksponentiallikninger kan vi også løse ved hjelp av substitusjon. Vi viser det med et eksempel:

$$7^{2x}+7^x-6=0.$$

La oss for eksempel innføre a = 7^x. Nå omformer vi den opprinnelige likningen slik at vi setter inn a for 7^x. Det oppstår denne (ikke lenger eksponential-) likningen:

$$a^2+a-6=0.$$

Dette er en enkel andregradslikning. Løsningene er tallene 2 og −3.

Disse løsningene setter vi nå inn i substitusjonen a = 7^x. Altså 2 = 7^x. Vi tar logaritmen:

$$\lg 2=x\cdot \lg 7$$

og isolerer:

$$x=\frac{\lg 2}{\lg 7}$$

Den andre løsningen trenger vi ikke sette inn, fordi den er negativ — ved innsetting ville vi fått logaritmen av et negativt tall, noe som ikke er mulig. Og løsningen av eksponentiallikningen er klar.

Eksempler

Regn ut følgende eksponentiallikning:

$$2^{3x-4}=8^{2x+1}.$$

Ved første øyekast ser vi at grunntallene på de to sidene ikke er like. Trist. Men ved andre øyekast ser vi sikkert hvilken omforming vi kan gjøre for å få de samme grunntallene. I stedet for åtte regner vi rett og slett med 2³, som er lik åtte. Ved å bruke regelen for potens av potens får vi:

$$\begin{array}{rcl}{2}^{3x-4}& =& 8^{2x+1}\\ 2^{3x-4}& =& 2^{3\cdot (2x+1)}\\ 2^{3x-4}& =& 2^{6x+3}\end{array}$$

Nå er grunntallene like, og vi kan regne ut den enkle lineære likningen 3x − 4 = 6x + 3:

$$\begin{array}{rcl}3x-4& =& 6x+3\\ -3x& =& 7\\ x& =& -\frac{7}{3}\end{array}$$

Regn ut følgende eksponentiallikning:

$$5^x\cdot 2^x={100}^{x-1}.$$

Her ser vi som vanlig at grunntallene ikke er like. Men vi aner nok alle at vi på en eller annen måte kan få dem like. På venstre side bruker vi regelen for multiplikasjon av potenser med samme eksponent, og på høyre side bruker vi den samme regelen som nettopp og gjør 100^{x − 1} om til 10^{2(x − 1)}:

$$\begin{array}{rcl}{5}^x\cdot 2^x& =& {100}^{x-1}\\ {10}^x& =& {10}^{2(x-1)}\\ {10}^x& =& {10}^{2x-2}\end{array}$$

Og nå har vi igjen like grunntall og kan regne på en klassisk lineær likning:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2x-2\\ -x& =& -2\\ x& =& 2\end{array}$$

Regn ut eksponentiallikningen:

$$3^x+3^{x+1}=108.$$

Som alltid må vi først komme fram til samme grunntall. Her setter vi 3^x utenfor parentes i uttrykket på venstre side. Så trekker vi sammen uttrykket i parentesen og får en enkel likning.

$$\begin{array}{rcl}{3}^x+3^{x+1}& =& 108\\ 3^x(1+3^1)& =& 108\\ 4\cdot 3^x& =& 108\\ 3^x& =& 27\end{array}$$

Nå har vi omformet venstre side, og det er på tide å omforme høyre side. Vi ser ganske tydelig at det er tre i tredje:

$$\begin{array}{rcl}{3}^x& =& 27\\ 3^x& =& 3^3\end{array}$$

Og så gjenstår bare det siste trinnet — grunntallene er like, så vi setter eksponentene lik hverandre:

$$x=3$$

Regn ut følgende eksponentiallikning:

$$4^{2x}-6\cdot 4^x+8=0.$$

I dette tilfellet prøver vi å få en vanlig andregradslikning ut av eksponentiallikningen. Den kommer vi best fram til ved hjelp av substitusjonen 4^x = a:

$$a^2-6a+8=0$$

Nå har vi en standard andregradslikning, så vi regner ut diskriminanten og løsningene:

$$\begin{array}{rcl}D& =& 36-4\cdot 8\\ a_{1,2}& =& \frac{(6\pm 2)}{2}\\ a_1& =& 4\\ a_2& =& 2\end{array}$$

Disse delresultatene må vi fortsatt sette tilbake i substitusjonen. Første resultat:

$$\begin{array}{rcl}{4}^x& =& 4\\ x& =& 1\end{array}$$

Andre resultat:

$$\begin{array}{rcl}{4}^x& =& 2\\ 4^x& =& 4^{\frac{1}{2}}\\ x& =& \frac{1}{2}\end{array}$$