Equações exponenciais

Uma equação comum se torna exponencial quando contém a variável no expoente. Em geral, poderíamos escrever uma equação exponencial assim: a^f(x) = b^g(x), em que a, b>0. Um exemplo típico de equação exponencial pode ser 2^x = 8. Aqui é bastante evidente que o resultado será o número três, porque dois elevado a três é oito. E agora vem um procedimento um pouco mais matemático.

Equação exponencial simples

Se queremos resolver uma equação exponencial, é muito vantajoso poder transformá-la na forma a^f(x) = b^g(x), em que a = b. É óbvio que, se temos bases iguais, as potências serão iguais quando os expoentes também forem iguais. Calculamos, então, apenas a equação f(x) = g(x). Podemos transformar o exemplo anterior assim: escrevemos o oito como potência de dois, 2^x = 2³, e obtemos bases iguais, de modo que apenas igualamos os dois expoentes e já chegamos ao resultado x = 3. Podemos dificultar o exemplo assim: 2^2x = 8 e, depois da transformação, de novo obtemos 2^2x = 2³ e calculamos 2x = 3; o resultado é 1,5.

Outro caso simples ocorre quando em um dos membros da equação aparece o um. Tomemos este exemplo:

$$5^{3x-2}=1$$

Parece complicado, mas, se você conhece as relações básicas entre potências, sabe que só pode obter o um de duas maneiras: ou a base é um e, então, um elevado a qualquer expoente dá de novo um, ou o expoente é igual a zero, pois qualquer número elevado a zero é de novo um. Nós, naturalmente, usamos a segunda propriedade e reescrevemos a equação anterior assim: 5^{3x − 2} = 5⁰. Agora levamos a equação a uma forma que já sabemos resolver (veja o parágrafo anterior). Basta comparar os expoentes. Aqui resulta a equação 3x − 2 = 0. Essa já é uma equação do 1º grau trivial.

Aplicando logaritmo à equação exponencial

No caso em que não conseguimos transformar a equação em uma forma com bases iguais, podemos tentar o método de aplicar logaritmo. Minha professora sempre dizia “Pessoal, quando não souberem como continuar, é só aplicar logaritmo!”, e ela tinha razão. Se você tem uma equação exponencial com bases diferentes e não é possível (ou não é eficiente) reduzi-las à mesma base, aplique logaritmo à equação inteira. Da equação original

$$a^{f(x)}=b^{g(x)}$$

obtemos

$$\log a^{f(x)}=\log b^{g(x)}$$

e, pela fórmula para operar com logaritmos, obtemos

$$f(x)\cdot \log a=g(x)\cdot \log b.$$

Então tomemos este exemplo

$$2^x\cdot 5^{2x}=3^{x-2}$$

As bases não são iguais e não podem ser transformadas, por isso aplicamos logaritmo à equação inteira:

$$\log (2^x\cdot 5^{2x})=\log (3^{x-2})$$

Agora usamos as propriedades dos logaritmos e “desenvolvemos” o primeiro parêntese

$$\log 2^x+\log 5^{2x}=\log 3^{x-2}$$

Agora de novo usamos as propriedades dos logaritmos e “passamos” o expoente para a frente do logaritmo.

$$x\cdot \log 2+2x\cdot \log 5=(x-2)\log 3$$

Desenvolvemos o segundo membro da equação:

$$x\cdot \log 2+2x\cdot \log 5=x\log 3-2\log 3$$

Jogamos as expressões com a incógnita para o primeiro membro da equação:

$$x\cdot \log 2+2x\cdot \log 5-x\cdot \log 3=-2\log 3$$

Em seguida colocamos em evidência o x:

$$x(\log 2+2\log 5-\log 3)=-2\log 3$$

Isolamos x:

$$x=\frac{-2\log 3}{\log 2+2\log 5-\log 3}$$

Esse já é, de fato, o resultado. Ainda podemos aplicar de novo as propriedades dos logaritmos e transformar 2log 5 em log 5² = log 25, mas essa é realmente a última coisa que podemos fazer com o resultado.

Mudança de variável

Também podemos resolver equações exponenciais com o auxílio de uma mudança de variável. Vamos mostrar num exemplo:

$$7^{2x}+7^x-6=0.$$

Agora fazemos, por exemplo, a = 7^x. Em seguida transformamos a equação original, substituindo 7^x por a. Surge esta equação (já não exponencial):

$$a^2+a-6=0.$$

Essa é uma equação do 2º grau simples. Suas raízes são os números 2 e −3.

Agora substituímos essas raízes na mudança de variável a = 7^x. Ou seja, 2 = 7^x. Aplicamos logaritmo:

$$\log 2=x\cdot \log 7$$

e isolamos:

$$x=\frac{\log 2}{\log 7}$$

Não precisamos substituir a segunda raiz, porque ela é negativa: depois de substituir, teríamos o logaritmo de um número negativo, o que não é possível. E o resultado da equação exponencial está pronto.

Exemplos

Resolva a seguinte equação exponencial:

$$2^{3x-4}=8^{2x+1}.$$

À primeira vista vemos que as bases dos dois membros não são iguais. Que pena. Mas, olhando de novo, certamente já vemos a transformação que podemos fazer para obter bases iguais. No lugar do oito, simplesmente vamos trabalhar com 2³, que é igual a oito. Usando a fórmula da potência de potência, obtemos:

$$\begin{array}{rcl}{2}^{3x-4}& =& 8^{2x+1}\\ 2^{3x-4}& =& 2^{3\cdot (2x+1)}\\ 2^{3x-4}& =& 2^{6x+3}\end{array}$$

Agora as bases já são iguais e podemos resolver a simples equação do 1º grau 3x − 4 = 6x + 3:

$$\begin{array}{rcl}3x-4& =& 6x+3\\ -3x& =& 7\\ x& =& -\frac{7}{3}\end{array}$$

Resolva a seguinte equação exponencial:

$$5^x\cdot 2^x={100}^{x-1}.$$

Aqui, como de costume, vemos que as bases não são iguais. Mas provavelmente todos imaginamos que dá para convertê-las de algum modo. No primeiro membro aplicamos a fórmula da multiplicação de potências de mesmo expoente e, no segundo membro, aplicamos a mesma fórmula de há pouco e transformamos 100^{x − 1} em 10^{2(x − 1)}:

$$\begin{array}{rcl}{5}^x\cdot 2^x& =& {100}^{x-1}\\ {10}^x& =& {10}^{2(x-1)}\\ {10}^x& =& {10}^{2x-2}\end{array}$$

E já temos de novo bases iguais e podemos resolver a equação do 1º grau de sempre:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2x-2\\ -x& =& -2\\ x& =& 2\end{array}$$

Resolva a equação exponencial:

$$3^x+3^{x+1}=108.$$

Como sempre, primeiro precisamos chegar à mesma base. Aqui nos ajuda a colocação em evidência: colocamos 3^x em evidência na expressão do primeiro membro. Depois somamos a expressão do parêntese e obtemos uma equação simples.

$$\begin{array}{rcl}{3}^x+3^{x+1}& =& 108\\ 3^x(1+3^1)& =& 108\\ 4\cdot 3^x& =& 108\\ 3^x& =& 27\end{array}$$

Já transformamos o primeiro membro; agora é hora de transformar o segundo. Vemos com bastante clareza que se trata da terceira potência de três:

$$\begin{array}{rcl}{3}^x& =& 27\\ 3^x& =& 3^3\end{array}$$

E já resta apenas o último passo: as bases são iguais, então igualamos os expoentes:

$$x=3$$

Resolva a seguinte equação exponencial:

$$4^{2x}-6\cdot 4^x+8=0.$$

Neste caso vamos tentar obter, a partir da equação exponencial, uma equação do 2º grau comum. O melhor jeito de chegar a ela é com a mudança de variável 4^x = a:

$$a^2-6a+8=0$$

Agora já temos uma equação do 2º grau padrão, então calculamos o discriminante e as raízes:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\Delta }& =& 36-4\cdot 8\\ a_{1,2}& =& \frac{(6\pm 2)}{2}\\ a_1& =& 4\\ a_2& =& 2\end{array}$$

Ainda precisamos substituir esses resultados parciais de volta na mudança de variável. Primeiro resultado:

$$\begin{array}{rcl}{4}^x& =& 4\\ x& =& 1\end{array}$$

Segundo resultado:

$$\begin{array}{rcl}{4}^x& =& 2\\ 4^x& =& 4^{\frac{1}{2}}\\ x& =& \frac{1}{2}\end{array}$$