複2次方程式

複2次方程式とは、たとえば方程式 3x⁴ + 7x² + 5 = 0 のようなものです。一般に、同値変形によって次の形に直せる方程式を複2次方程式といいます。

$$a{x}^4+b{x}^2+c=0$$

ここで a、b、c は実数で、係数 a は0ではありません。この方程式は2次方程式に少し似ていますが、指数がそれぞれ2倍になっています。このような方程式はどう解けばよいでしょうか。ちょっとした工夫で、2次方程式に直してしまうのです。その工夫を置き換えといいます。t = x² とおき、元の方程式で x² があったところをすべて t に書きかえます。例として、次の複2次方程式を考えましょう。

$$x^4-2x^2-15=0$$

x² をすべて t に置き換えます。このとき、x⁴ は実は x² · x² なので、x⁴ = t² になることを忘れないようにしましょう。

$$t^2-2t-15=0$$

これで、なぜ置き換えをしたのかがわかります。ふつうの2次方程式になったからです。この方程式は、たとえば判別式を計算したり、平方完成を使ったりして解けます。判別式は次のようになります。

$$D=b^2-4ac=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-15)=64$$

したがって、方程式の解は次のとおりです。

$$t_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{2\pm \sqrt{64}}{2}=\frac{2\pm 8}{2}$$

方程式の解は2つです。

$$t_1=5,t_2=-3$$

これで2次方程式 t² − 2t − 15 = 0 の解がわかりました。残るのは、元の複2次方程式の解を求めることです。t が5かマイナス3のときに方程式が成り立つことはわかっています。しかし、知りたいのは t ではなく x の値です。置き換えで t = x² とおいたので、次の方程式を解けば

$$x^2=5\text{と}{x}^2=-3$$

元の方程式の x の解が得られます。1つ目の方程式は簡単です。x² = 5 なら、

$$x_1=\sqrt{5},x_2=-\sqrt{5}$$

です。2つ目の方程式は少し複雑です。x² = −3 は実数の範囲では解をもたないので、解は複素数の範囲で探す必要があります。実数の範囲の解だけを求めるなら、元の複2次方程式の実数解は $x_1=\sqrt{5}$ と $x_2=-\sqrt{5}$ の2つだといえます。