二項方程式

二項方程式は代数方程式の一種です。日本の高校の教科書ではこの名前は使わず、「xⁿ = a の形の方程式」として扱います。

定義

二項方程式の一般の形は次のとおりです。

$a x^{n} + b = 0,$

ここで a, b は任意の実数または複素数です。さらに、a, b ≠ 0 で、n は自然数とします。

二項方程式の特別な場合は次のとおりです。

n = 1：方程式は ax + b = 0 の形になり、1次方程式です。
n = 2：方程式は ax² + b = 0 の形になり、2次方程式です。

どんな二項方程式も、両辺を a で割れば xⁿ の係数が1の形に直せます。すると方程式は次の形になります。

$x^{n} + \frac{b}{a} = 0$

さらに置き換えをして、分数 b/a の代わりに c と書くこともできます。つまり c = b/a とおくと、方程式は次の形になります。

$x^{n} + c = 0$

二項方程式の解き方

まず方程式を xⁿ の係数が1の形に直し、次に c を右辺に移項すると、方程式は次の形になります。

$x^{n} = - c$

次に、両辺の n 乗根をとります（累乗根）。

$x = \sqrt[n]{- c}$

この先は、複素数の累乗根を求める公式を使って解きます。公式は次のとおりです。

$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{| z |} [\cos (\frac{α}{n} + \frac{2 k π}{n}) + i \sin (\frac{α}{n} + \frac{2 k π}{n})]$

ここで

$z = | z | (\cos α + i \sin α)$

で、公式全体は k = 0, 1, …, n − 1 に対して成り立ちます。

例：方程式 x³ − 4 = 0 の解を求めなさい。係数を1にして累乗根をとると、方程式は次の形になります。

$x = \sqrt[3]{4}$

−c = 4 には虚部がないので、偏角 α は0になり、公式から省くことができます。k 番目の解は次の形になります。

$x_{k} = \sqrt[3]{4} [\cos (\frac{2 k π}{3}) + i \sin (\frac{2 k π}{3})]$

この公式を k = 0, 1, 2 にあてはめます。k = 0 のときは次のようになります。

$x_{0} = \sqrt[3]{4} (\cos 0 + i \sin 0) = \sqrt[3]{4}$

k = 1 のとき：

$\begin{array}{rcl} x_{1} & = & \sqrt[3]{4} (\cos \frac{2 π}{3} + i \sin \frac{2 π}{3}) \\ = & \sqrt[3]{4} (- \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) \\ = & \frac{1}{2} \sqrt[3]{4} (- 1 + i \sqrt{3}) \end{array}$

k = 2 のとき：

$\begin{array}{rcl} x_{2} & = & \sqrt[3]{4} (\cos \frac{4 π}{3} + i \sin \frac{4 π}{3}) \\ = & \sqrt[3]{4} (- \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) \\ = & - \frac{1}{2} \sqrt[3]{4} (1 + i \sqrt{3}) \end{array}$

これで終わりです。3つの解 x₀、x₁、x₂ が求まりました。

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