Eksponentialligninger

En almindelig ligning bliver en eksponentialligning, hvis den indeholder den ubekendte i eksponenten. Generelt kunne vi skrive en eksponentialligning sådan: a^f(x) = b^g(x), hvor a, b>0. Et typisk eksempel på en eksponentialligning er for eksempel 2^x = 8. Her er det ret tydeligt, at resultatet bliver tallet tre, fordi to i tredje er otte. Og nu følger en lidt mere matematisk fremgangsmåde.

Simpel eksponentialligning

Hvis vi vil løse en eksponentialligning, er det meget belejligt, hvis vi kan omforme ligningen til formen a^f(x) = b^g(x), hvor a = b. Det er nemlig åbenlyst, at når vi har samme grundtal, er potenserne ens, netop når eksponenterne også er ens. Vi regner derfor kun ligningen f(x) = g(x). Det foregående eksempel kan vi omforme på følgende måde: otte skriver vi som en potens af to, 2^x = 2³, og så har vi samme grundtal, så vi sætter blot de to eksponenter lig med hinanden, og resultatet bliver samtidig x = 3. Eksemplet kan vi gøre sværere for eksempel sådan: 2^2x = 8, og efter omskrivning får vi igen 2^2x = 2³ og regner 2x = 3, resultatet er 1,5.

Et andet simpelt tilfælde opstår, hvis der på den ene side af ligningen står et ettal. Tag dette eksempel:

$5^{3 x - 2} = 1$

Det ser indviklet ud, men hvis du kender de grundlæggende sammenhænge mellem potenser, ved du, at du kun kan få et ettal på to måder – enten er grundtallet 1, og så giver 1 opløftet i en hvilken som helst eksponent igen 1, eller også er eksponenten lig med nul – alt opløftet i nul er igen 1. Vi udnytter naturligvis den anden egenskab og omskriver den foregående ligning sådan: 5^{3x − 2} = 5⁰. Nu har vi ligningen på en form, som vi allerede kan løse (se det foregående afsnit). Det er nok at sammenligne eksponenterne. Her fås ligningen 3x − 2 = 0. Det er allerede en triviel lineær ligning.

At tage logaritmen af en eksponentialligning

Hvis vi ikke kan omforme ligningen til en form med samme grundtal, kan vi prøve metoden med at tage logaritmen. Vores matematiklærer sagde altid: »Børn, hvis I ikke ved, hvordan I skal komme videre, så tag bare logaritmen!«, og hun havde ret. Hvis du har en eksponentialligning med forskellige grundtal, hvor det ikke er muligt (eller ikke er effektivt) at omskrive dem til samme grundtal, så tag logaritmen på begge sider af hele ligningen. Fra den oprindelige ligning

$a^{f (x)} = b^{g (x)}$

får vi

$\log a^{f (x)} = \log b^{g (x)}$

og ifølge formlen til regning med logaritmer får vi

$f (x) \cdot \log a = g (x) \cdot \log b .$

Så lad os tage dette eksempel

$2^{x} \cdot 5^{2 x} = 3^{x - 2}$

Grundtallene er ikke ens og kan ikke omskrives, derfor tager vi logaritmen på begge sider af hele ligningen:

$\log (2^{x} \cdot 5^{2 x}) = \log (3^{x - 2})$

Nu bruger vi reglerne for logaritmer og »ganger« den første parentes »ud«

$\log 2^{x} + \log 5^{2 x} = \log 3^{x - 2}$

Nu bruger vi igen reglerne for logaritmer og »flytter« eksponenten foran logaritmen.

$x \cdot \log 2 + 2 x \cdot \log 5 = (x - 2) \log 3$

Vi ganger højre side af ligningen ud:

$x \cdot \log 2 + 2 x \cdot \log 5 = x \log 3 - 2 \log 3$

Udtrykkene med den ubekendte smider vi over på venstre side af ligningen:

$x \cdot \log 2 + 2 x \cdot \log 5 - x \cdot \log 3 = - 2 \log 3$

Dernæst sætter vi x uden for parentes:

$x (\log 2 + 2 \log 5 - \log 3) = - 2 \log 3$

Vi isolerer x:

$x = \frac{- 2 \log 3}{\log 2 + 2 \log 5 - \log 3}$

Det er faktisk allerede resultatet. Vi kan endnu en gang anvende reglerne for logaritmer og lave 2log 5 om til log 5² = log 25, men det er virkelig det sidste, vi kan gøre med resultatet.

Substitution

Eksponentialligninger kan vi også løse ved hjælp af substitution. Vi viser det på et eksempel:

$7^{2 x} + 7^{x} - 6 = 0.$

Vi sætter nu for eksempel a = 7^x. Så omskriver vi den oprindelige ligning ved at indsætte a for 7^x. Der opstår en ligning som denne (der ikke længere er eksponentiel):

$a^{2} + a - 6 = 0.$

Det er en simpel andengradsligning. Dens løsninger er tallene 2 og −3.

Disse løsninger indsætter vi nu i substitutionen a = 7^x. Altså 2 = 7^x. Vi tager logaritmen:

$\log 2 = x \cdot \log 7$

og isolerer:

$x = \frac{\log 2}{\log 7}$

Den anden løsning behøver vi ikke indsætte, fordi den er negativ – ved indsættelse ville vi få logaritmen af et negativt tal, og det er ikke muligt. Og dermed er resultatet af eksponentialligningen klar.

Eksempler

Løs følgende eksponentialligning:

$2^{3 x - 4} = 8^{2 x + 1} .$

Ved første øjekast kan vi se, at grundtallene på de to sider ikke er ens. Ærgerligt. Men ved andet øjekast ser vi sikkert, hvilken omskrivning vi kan lave for at få de samme grundtal. I stedet for otte regner vi simpelthen med 2³, som er lig med otte. Ved at bruge formlen for potens af en potens får vi:

$\begin{array}{rcl} 2^{3 x - 4} & = & 8^{2 x + 1} \\ 2^{3 x - 4} & = & 2^{3 \cdot (2 x + 1)} \\ 2^{3 x - 4} & = & 2^{6 x + 3} \end{array}$

Nu er grundtallene ens, og vi kan regne den simple lineære ligning 3x − 4 = 6x + 3:

$\begin{array}{rcl} 3 x - 4 & = & 6 x + 3 \\ - 3 x & = & 7 \\ x & = & - \frac{7}{3} \end{array}$

Løs følgende eksponentialligning:

$5^{x} \cdot 2^{x} = 100^{x - 1} .$

Her er grundtallene som sædvanlig ikke ens. Men vi ved nok alle, at de på en eller anden måde kan omskrives. På venstre side anvender vi reglen for multiplikation af potenser med samme eksponent, og på højre side anvender vi samme regel som før og laver 100^{x − 1} om til 10^{2(x − 1)}:

$\begin{array}{rcl} 5^{x} \cdot 2^{x} & = & 100^{x - 1} \\ 10^{x} & = & 10^{2 (x - 1)} \\ 10^{x} & = & 10^{2 x - 2} \end{array}$

Og nu har vi igen samme grundtal og kan regne en klassisk lineær ligning:

$\begin{array}{rcl} x & = & 2 x - 2 \\ - x & = & - 2 \\ x & = & 2 \end{array}$

Løs eksponentialligningen:

$3^{x} + 3^{x + 1} = 108.$

Som altid må vi først nå frem til samme grundtal. Her hjælper det at sætte uden for parentes: vi sætter 3^x uden for parentes i udtrykket på venstre side. Så lægger vi udtrykket i parentesen sammen og får en simpel ligning.

$\begin{array}{rcl} 3^{x} + 3^{x + 1} & = & 108 \\ 3^{x} (1 + 3^{1}) & = & 108 \\ 4 \cdot 3^{x} & = & 108 \\ 3^{x} & = & 27 \end{array}$

Nu har vi omformet venstre side, og det er tid til at omforme højre side. Vi kan ret tydeligt se, at det er tredje potens af tre:

$\begin{array}{rcl} 3^{x} & = & 27 \\ 3^{x} & = & 3^{3} \end{array}$

Og så er der kun det sidste trin tilbage — grundtallene er ens, så vi sætter eksponenterne lig med hinanden:

$x = 3$

Løs følgende eksponentialligning:

$4^{2 x} - 6 \cdot 4^{x} + 8 = 0.$

I dette tilfælde forsøger vi at få en almindelig andengradsligning ud af eksponentialligningen. Det klarer vi bedst ved hjælp af substitutionen 4^x = a:

$a^{2} - 6 a + 8 = 0$

Nu har vi en almindelig andengradsligning, så vi beregner diskriminanten og løsningerne:

$\begin{array}{rcl} d & = & 36 - 4 \cdot 8 \\ a_{1, 2} & = & \frac{(6 \pm 2)}{2} \\ a_{1} & = & 4 \\ a_{2} & = & 2 \end{array}$

Disse delresultater skal vi stadig indsætte tilbage i substitutionen. Første resultat:

$\begin{array}{rcl} 4^{x} & = & 4 \\ x & = & 1 \end{array}$

Andet resultat:

$\begin{array}{rcl} 4^{x} & = & 2 \\ 4^{x} & = & 4^{\frac{1}{2}} \\ x & = & \frac{1}{2} \end{array}$

« Forrige: Eksponentielle og logaritmiske uligheder

Næste: Logaritmiske ligninger »