方程式とは

方程式は数学のもっとも基本的な概念の一つで、数学全体を支える道具の一つでもあります。

簡単な例

方程式には左辺、等号、右辺があります。ごく簡単な方程式は、たとえば次のような形です。

$x = 2$

左辺には変数 x、続いて等号、右辺には数 2 があります。この方程式は単純で、変数 x の値が2に等しいことを表しています。変数 x は、ふつう求めたいものを表します。たとえばシャツのボタンの数や、社員の給料などです。

ただし、この形の方程式は、問題で与えられるものというより、最後に求めたい答えの形です。実際にはもっと複雑な方程式が出てきます。たとえば、社員5人の給料の合計がわかっていて、1人あたりの給料を求めるような場合です（全員の給料は同じとします）。

たとえば、先生5人の給料の合計が月120万円だとします。先生1人の給料はいくらでしょうか。先生1人の給料を x とおくと、次の方程式ができます。

$5 x = 1,200,000$

この方程式は、「先生5人の給料の合計は 1,200,000 円」という条件を数式で表したものです。目標は先生1人の給料、つまり x = ? を求めることです。少し先取りして方程式の同値変形を使い、両辺を5で割ります。先生5人で 1,200,000 円なら、1人分はその5分の1です。こうして次の式が得られます。

$x = 1,200,000 / 5$

割り算をすると、

$x = 240,000$

となります。

方程式の定義

方程式を定義するには、関数とは何かを知っておく必要があります。関数を知っていれば、方程式は2つの関数が等しいことを表す式だと考えられます。

$f (x) = g (x)$

これが未知数が1つの方程式の一般的な形です。左辺には関数 f、右辺には関数 g があります。求めたいのは方程式の解、つまり関数 f と g が同じ値をとる x の値です。

つまり、次の式が成り立つような具体的な x の値（これを x₁ とします）を求めます。

$f (x_{1}) = g (x_{1})$

例として方程式 2x = −4x + 6 を考えます。このとき f(x) = 2x、g(x) = −4x + 6 です。関数 f の値と関数 g の値が等しくなる x を探します。同値変形で方程式を解くと、次のようになります。

$\begin{array}{rcl} 2 x & = & - 4 x + 6 \\ 2 x + 4 x & = & - 4 x + 4 x + 6 \\ 6 x & = & 6 \\ x & = & 1 \end{array}$

方程式の解は x = 1 です。この値を代入すると、2つの関数は同じ値をとるはずです。関数 f に1を代入すると、

$f (1) = 2 \cdot 1 = 2$

となり、1における関数 f の値は2です。関数 g はどうでしょうか。1を代入してみます。

$g (1) = - 4 \cdot 1 + 6 = - 4 + 6 = 2$

やはり2になりました。したがって、1はこの方程式の解です。これは実数の範囲でこの方程式のただ一つの解でもあります。ほかの値を代入すると、2つの関数の値は異なります。たとえば5を代入すると、次のようになります。

$\begin{array}{rcl} f (5) & = & 2 \cdot 5 = 10 \\ g (5) & = & - 4 \cdot 5 + 6 = - 20 + 6 = - 14 \end{array}$

グラフでの意味

方程式の解には、わかりやすいグラフでの意味があります。方程式の左辺と右辺にある関数のグラフをかくと、2つのグラフはちょうど方程式の解のところで交わります。

方程式 2x = −4x + 6 に戻りましょう。左辺の関数は f(x) = 2x、右辺の関数は g(x) = −4x + 6 です。この方程式の解は x = 1 なので、2つの関数のグラフは1のところで交わるはずです。2つの関数のグラフは次のとおりです。

関数 f(x)=2x（増加）と g(x)=-4x+6（減少）のグラフ

2本の直線は1点で交わり、その点の座標は (1, 2) です。1つ目の座標は x の値で、方程式の解です。2つ目の座標は y の値で、1を代入したときの2つの関数の値です。

このように、方程式の解は、左辺の関数と右辺の関数のグラフが交わる点すべてです。方程式は、右辺が0になるように、つまり右辺が定数関数 g(x) = 0 になるように変形することがよくあります。そうすると、左辺の関数のグラフが x 軸と交わる点を求めることになります。先ほどの方程式 2x = −4x + 6 は、右辺が0になるように次のように変形できます。

$\begin{array}{rcl} 2 x & = & - 4 x + 6 \\ 6 x & = & 6 \\ 6 x - 6 & = & 0 \end{array}$

左辺の関数のグラフをかくと……

関数 f(x)=6x-6 のグラフ

……グラフは x 軸と1で交わることがわかります。右辺が0になるように方程式を変形しても、結果は同じく1になります。

方程式の解の個数

方程式をグラフで考えると、方程式がいくつの異なる解をもちうるかがわかります。たとえば、どんな方程式にも解があるのか、解が2つ以上ある方程式はあるのか、解が無数にある方程式はあるのか、といった問いに簡単に答えられます。

解がない場合

順番に見ていきましょう。解のない方程式はあるでしょうか。これは、決して交わらない2つの関数のグラフがあるか、という問いに言いかえられます。もちろんあります。グラフが直線になる1次方程式なら、平行な2本の直線を考えれば十分です。たとえば次の方程式です。

$x + 1 = x + 2$

x + 1 と x + 2 が等しくなることはないと、常識で考えてもわかります。グラフをかくと次のようになります。

関数 y=x+1 と y=x+2 のグラフ

2つの関数のグラフは平行な直線なので、決して交わりません。したがって、この2つの関数からつくった方程式には解がありません。方程式は次のように変形できます。

$\begin{array}{rcl} x + 1 & = & x + 2 \\ x - x & = & 2 - 1 \\ 0 x & = & 1 \\ 0 & \neq & 1 \end{array}$

たしかに、この方程式には解がありません。

解をもたない方程式はほかにもたくさんつくれます。たとえば方程式 x² = x − 1 です。2つの関数のグラフは決して交わりません。

2次関数 y=x^2 と1次関数 y=x-1 のグラフ

解が複数ある場合

解が2つ以上ある方程式はあるでしょうか（ただし無数ではない場合です）。これも、共有点が有限個で、しかも2個以上あるような2つの関数のグラフがあるか、という問いに言いかえられます。

もちろんあります。前の節の最後の例は、2次関数と1次関数の方程式でした。前のグラフの直線を平行移動して、2次関数のグラフとちょうど2点で交わるようにすればよいのです。y = x − 1 の代わりに関数 y = x を考えます。

2次関数 y=x^2 と1次関数 y=x のグラフ

グラフは2点で交わっています。方程式は次のように解けます。

$\begin{array}{rcl} x^{2} & = & x \\ x^{2} - x & = & 0 \\ x \cdot (x - 1) & = & 0 \\ x_{1} & = & 0 \\ x_{2} & = & 1 \end{array}$

解が無数にある場合

解が無数にある方程式はあるでしょうか。つまり、無数の点で交わる2つのグラフはあるでしょうか。はい、あります。周期関数を選び、それにうまく直線を交わらせればよいのです。代表的な周期関数はサインです。サインの値域は区間 [−1, 1] で、この範囲の値を周期的にくり返します。

そこで、a を値域の中の数として sin(x) = a とおけば十分です。具体例は sin(x) = 0.5 です。2つの関数のグラフは次のとおりです。

三角関数 y=sin(x) と1次関数 y=0,5 のグラフ。共有点を緑で示しています

図では、直線がサインのグラフと何点かで交わっています。サインのグラフは右にも左にも波のように続くので、直線は右側でも左側でもサインのグラフと無数に交わります。

両辺が同じ関数の場合

関数の定義域のどんな値を x に代入しても、方程式が成り立つことはあるでしょうか。それは、両辺の関数が同じ場合か、一方の関数を変形してもう一方にできる場合だけです。例を見てみましょう。

$2 x + 4 = 2 \cdot (x + 2)$

一見すると両辺は異なる関数ですが、右辺のかっこをはずすと同じ関数になります。

$2 x + 4 = 2 x + 4$

このような方程式の解の集合は関数の定義域と等しく、ここでは実数全体です。このような方程式は 0 = 0 の形に変形できます（このように、すべての x で成り立つ等式を恒等式といいます）。

$\begin{array}{rcl} 2 x + 4 & = & 2 x + 4 / - 2 x \\ 4 & = & 4 / - 4 \\ 0 & = & 0 \end{array}$

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