2次不等式

2次不等式は、一般に ax² + bx + c > 0 または ax² + bx + c < 0 の形で書けます。ここで a, b, c は任意の実数で、a ≠ 0 です。もちろん、>、< の代わりに $\geqq$、$\leqq$ を使うこともできます。

係数 a が正の場合

このような不等式は、ふつうの2次方程式と同じように解きます。まず判別式を計算し、その結果によって次の手順が決まります。判別式が正なら、対応する方程式は異なる2つの実数解をもちます。方程式の解は、関数 ax² + bx + c のグラフが x 軸と交わる点の x 座標です。この2つの交点によって、x 軸は3つの区間に分かれます。

不等式 2x² − 7x + 3 < 0 を解いてみましょう。関数 2x² − 7x + 3 のグラフをかくと、次のようになります。

グラフは x 軸と2点 $x_1=\frac{1}{2}$ と x₂ = 3 で交わっています。ふつうの2次方程式として計算しても、同じ解が得られます。この方程式の判別式は次のとおりだからです。

$$D=b^2-4ac=(-7{)}^2-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25$$

解は次のように計算できます。

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{7-5}{4}=\frac{1}{2}\\ x_2& =& \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{7+5}{4}=3\end{array}$$

この2つの解によって、関数 2x² − 7x + 3 のグラフは3つの区間に分かれます。

• $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{2})$：この区間では値は正です（グラフは x 軸の「上」にあり、グラフの青い部分です）。
• $(\frac{1}{2},3)$：この区間では値は負です（グラフは x 軸の「下」にあり、グラフの赤い部分です）。
• (3, ∞)：この区間ではまた値は正で、グラフの残りの青い部分です。

区間には丸かっこを使っていることに注目しましょう。丸かっこは開区間を表します。つまり、3も $\frac{1}{2}$ も区間 $(\frac{1}{2},3)$ には含まれません。x = 3 では関数の値が0になり、ここで書き出したいのは値が0より小さい区間だからです。

これで、不等式 2x² − 7x + 3 < 0 の答えを出すのに必要な情報がそろいました。関数 2x² − 7x + 3 の値が0より小さくなるのはどんなときでしょうか。区間 $(\frac{1}{2},3)$、つまりグラフの赤い部分で0より小さくなります。

次の不等式も解いてみましょう。

• $2x^2-7x+3\leqq 0$：この不等式は、< の代わりに $\leqq$ になっている点が前の不等式と違います。答えは前の場合と同じですが、開区間の代わりに閉区間を使います。したがって、答えは区間 $[\frac{1}{2},3]$ です。$\frac{1}{2}$ と 3 では関数 2x² − 7x + 3 の値が0になり、いまは関数の値が0より小さいか0に等しいところを探しているからです。不等号が $\leqq$ であることを忘れないようにしましょう。

• 2x² − 7x +3 > 0：答えは関数のグラフの「青い部分」です。関数は区間 $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{2})$ でも区間 (3, ∞) でも正なので、答えの区間の和集合をとる必要があります。答えの集合は $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{2})\cup (3,\mathrm{\infty })$ です。

• $2x^2-7x+3\geqq 0$：ここでも > を $\geqq$ に変えただけです。答えは同じ集合ですが、$\frac{1}{2}$ と3も含めます。そのため、端を含むかっこを使って $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{2}]\cup [3,\mathrm{\infty })$ と書きます。

（日本の教科書では、答えを区間ではなく不等式で書くのがふつうです。たとえば最初の不等式の答えは $\frac{1}{2}<x<3$ と書きます。）

係数 a が負の場合

前の不等式を −x² + x + 2 < 0 に変えたらどうなるでしょうか。いちばん大きな変化は係数 a で、今度は a = −1 です。前の不等式は 2x² で x² の係数が正でしたが、ここでは負です。グラフを見るのがいちばんわかりやすいでしょう。

グラフの形は大きく変わり、「U」の字ではなく山の形（上に凸）になっています。しかし、手順は何も変わりません。ここでも3つの区間ができます。

• (−∞, −1)：値は負です。
• (−1, 2)：値は正です。
• (2, ∞)：値は負です。

したがって、不等式 −x² + x + 2 < 0 の答えは、区間の和集合 (−∞, −1) ∪ (2, ∞) です。

グラフをいちいちかかずに解く方法

グラフをかかなくても大丈夫です！ここまでの解き方はどれも、グラフをかいて x 軸との交点を読み取り、さらにそれぞれの区間で値が正か負かを読み取るものでした。しかし、別の方法もあります。

2次不等式 3x² − 4x + 1 < 0 があるとき、2次方程式 3x² − 4x + 1 = 0 をふつうの方法で解くだけでよいのです。まず判別式を計算します。

$$D=b^2-4ac=(-4{)}^2-4\cdot 3\cdot 1=4$$

次に、2次方程式の解を計算します。

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{4-2}{6}=\frac{1}{3}\\ x_2& =& \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{4+2}{6}=1\end{array}$$

グラフは x 軸と $x_1=\frac{1}{3}$ と x₂ = 1 で交わることがわかります。区間は $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{3})$、$(\frac{1}{3},1)$、(1, ∞) の3つです。問題は、それぞれの区間で関数 f(x) = 3x² − 4x + 1 の値が正か負かをどう調べるかです。

これは、関数 f(x) = 3x² − 4x + 1 にその区間の数を1つ代入すればわかります。関数の値が正なら、その区間全体で関数は正です。負の場合も同じです。

• 区間 $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{3})$ から好きな数を選びます。たとえば計算しやすい0にしましょう。関数 f に0を代入すると、f(0) = 3 · 0² − 4 · 0 + 1 = 1 です。1は正なので、この区間では値は正です。

• 区間 $(\frac{1}{3},1)$ から数を選びます。$\frac{1}{2}$ がよいでしょう。

  $$f(\frac{1}{2})=3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2-4\cdot \frac{1}{2}+1=3\cdot \frac{1}{4}-2+1=-\frac{1}{4}$$

  $-\frac{1}{4}$ は負なので、この区間ではすべての値が負です。

• 最後の区間では、最初の区間と同じく値は正になります。符号はいつも「正・負・正」または「負・正・負」と交互に変わるからです。もちろん計算して確かめてもかまいません。区間 (1, ∞) から数、たとえば10を選びます。

  $$f(10)=3\cdot {10}^2-4\cdot 10+1=300-40+1=261$$

  これは正の数なので、この区間ではすべての値が正です。

残るのは不等式を最後まで解くことです。不等式は 3x² − 4x + 1 < 0 でした。ここまでの結果から、関数 3x² − 4x + 1 は区間 $(\frac{1}{3},1)$ で負の値をとることがわかります。確かめのために、グラフも見ておきましょう。

判別式が0の場合

2次方程式を解いていると、判別式が0になることがあります。これは、関数のグラフが x 軸に1点で接するときです。不等式 $3x^2+6x+3\geqq 0$ で見てみましょう。判別式は0です。

$$D=b^2-4ac=6^2-4\cdot 3\cdot 3=36-36=0$$

グラフは次のようになります。

グラフは x 軸にただ1点 x₁ = −1 で接し、それ以外の部分は x 軸より上、つまり正の値のところにあります。したがって、不等式 $3x^2+6x+3\geqq 0$ の解は実数全体です。x にどんな実数を代入しても、値はいつも0以上になるからです。

判別式が負の場合

判別式が負になるのは、グラフが x 軸と決して交わらないときです。これは不等式にどう表れるでしょうか。グラフ全体が x 軸より上にあるか、全体が x 軸より下にあるということです。前の不等式を 3x² + 6x + 4 > 0 に変えると（記号を $\geqq$ から > に、定数項の3を4に変えました）、判別式は次のようになります。

$$D=6^2-4\cdot 3\cdot 4=-12$$

グラフは次のようになります。

グラフは完全に x 軸より上にあり、x にどんな実数を代入しても値はいつも正です。したがって、この不等式の解も実数全体です。