Equazioni esponenziali

Un’equazione diventa esponenziale quando contiene l’incognita nell’esponente. In generale potremmo scrivere un’equazione esponenziale così: a^f(x) = b^g(x), con a, b>0. Un esempio tipico è 2^x = 8. Qui è abbastanza evidente che il risultato sarà tre, perché due alla terza fa otto. E ora segue un procedimento un po’ più matematico.

Equazione esponenziale semplice

Per risolvere un’equazione esponenziale è molto comodo poterla ridurre alla forma a^f(x) = b^g(x) con a = b. È infatti chiaro che, se le basi sono uguali, le potenze sono uguali quando sono uguali anche gli esponenti. Resta quindi da risolvere soltanto l’equazione f(x) = g(x). L’esempio precedente possiamo trasformarlo così: l’otto lo scriviamo come potenza di due, 2^x = 2³, e otteniamo basi uguali, quindi basta uguagliare i due esponenti e troviamo subito il risultato x = 3. L’esempio si può rendere più difficile, per esempio così: 2^2x = 8; dopo la trasformazione otteniamo di nuovo 2^2x = 2³ e risolviamo 2x = 3, il risultato è 1,5.

Un altro caso semplice si presenta quando da una parte dell’equazione compare l’uno. Prendiamo questo esempio:

$$5^{3x-2}=1$$

Sembra complicato, ma se conosci le relazioni fondamentali tra le potenze, sai che puoi ottenere uno soltanto in due modi: o la base è uno, e allora uno elevato a qualsiasi esponente dà ancora uno, oppure l’esponente è zero, perché qualsiasi numero elevato a zero dà di nuovo uno. Noi sfrutteremo naturalmente la seconda proprietà e riscriveremo l’equazione precedente così: 5^{3x − 2} = 5⁰. Ora abbiamo portato l’equazione in una forma che sappiamo già risolvere (vedi il paragrafo precedente). Basta confrontare gli esponenti. Qui ne esce l’equazione 3x − 2 = 0, che è ormai una banale equazione di primo grado.

Passaggio ai logaritmi in un’equazione esponenziale

Se non riusciamo a ridurre l’equazione a una forma con basi uguali, possiamo provare il metodo dei logaritmi. La mia insegnante diceva sempre «Quando non sai come andare avanti, passa ai logaritmi!», e aveva ragione. Se hai un’equazione esponenziale con basi diverse e non è possibile (o non conviene) ridurle alla stessa base, applica il logaritmo a entrambi i membri. Dall’equazione di partenza

$$a^{f(x)}=b^{g(x)}$$

otteniamo

$${\log }_{10}{a}^{f(x)}={\log }_{10}{b}^{g(x)}$$

e, secondo la formula per lavorare con i logaritmi, arriviamo a

$$f(x)\cdot {\log }_{10}a=g(x)\cdot {\log }_{10}b.$$

Prendiamo allora questo esempio

$$2^x\cdot 5^{2x}=3^{x-2}$$

Le basi non sono uguali e non si possono ridurre alla stessa base, perciò applichiamo il logaritmo a tutta l’equazione:

$${\log }_{10}(2^x\cdot 5^{2x})={\log }_{10}(3^{x-2})$$

Ora usiamo le proprietà dei logaritmi e «sviluppiamo» la prima parentesi

$${\log }_{10}{2}^x+{\log }_{10}{5}^{2x}={\log }_{10}{3}^{x-2}$$

Usiamo di nuovo le proprietà dei logaritmi e «portiamo» l’esponente davanti al logaritmo.

$$x\cdot {\log }_{10}2+2x\cdot {\log }_{10}5=(x-2){\log }_{10}3$$

Sviluppiamo il secondo membro dell’equazione:

$$x\cdot {\log }_{10}2+2x\cdot {\log }_{10}5=x{\log }_{10}3-2{\log }_{10}3$$

I termini con l’incognita li portiamo al primo membro:

$$x\cdot {\log }_{10}2+2x\cdot {\log }_{10}5-x\cdot {\log }_{10}3=-2{\log }_{10}3$$

Poi raccogliamo x:

$$x({\log }_{10}2+2{\log }_{10}5-{\log }_{10}3)=-2{\log }_{10}3$$

Isoliamo x:

$$x=\frac{-2{\log }_{10}3}{{\log }_{10}2+2{\log }_{10}5-{\log }_{10}3}$$

Questo è di fatto il risultato. Potremmo ancora applicare le proprietà dei logaritmi e trasformare 2log₁₀ 5 in log₁₀ 5² = log₁₀ 25, ma è davvero l’ultima cosa che possiamo fare con il risultato.

Sostituzione

Le equazioni esponenziali si possono risolvere anche con una sostituzione. Lo vediamo su un esempio:

$$7^{2x}+7^x-6=0.$$

Ora poniamo, per esempio, a = 7^x. Riscriviamo l’equazione di partenza sostituendo a al posto di 7^x. Si ottiene questa equazione (ormai non più esponenziale):

$$a^2+a-6=0.$$

È una semplice equazione di secondo grado. Le sue soluzioni sono i numeri 2 e −3.

Ora sostituiamo queste soluzioni in a = 7^x. Quindi 2 = 7^x. Passiamo ai logaritmi:

$${\log }_{10}2=x\cdot {\log }_{10}7$$

e isoliamo l’incognita:

$$x=\frac{{\log }_{10}2}{{\log }_{10}7}$$

La seconda soluzione non occorre nemmeno sostituirla, perché è negativa: sostituendola otterremmo il logaritmo di un numero negativo, e questo non esiste. Ed ecco il risultato dell’equazione esponenziale.

Esercizi svolti

Risolvi la seguente equazione esponenziale:

$$2^{3x-4}=8^{2x+1}.$$

A prima vista le basi dei due membri non sono uguali. Che peccato. Ma a una seconda occhiata vediamo sicuramente la trasformazione che ci permette di ottenere basi uguali. Al posto di otto useremo semplicemente 2³, che è uguale a otto. Usando la formula della potenza di potenza otteniamo:

$$\begin{array}{rcl}{2}^{3x-4}& =& 8^{2x+1}\\ 2^{3x-4}& =& 2^{3\cdot (2x+1)}\\ 2^{3x-4}& =& 2^{6x+3}\end{array}$$

A questo punto le basi sono uguali e possiamo risolvere la semplice equazione di primo grado 3x − 4 = 6x + 3:

$$\begin{array}{rcl}3x-4& =& 6x+3\\ -3x& =& 7\\ x& =& -\frac{7}{3}\end{array}$$

Risolvi la seguente equazione esponenziale:

$$5^x\cdot 2^x={100}^{x-1}.$$

Anche qui, come al solito, vediamo che le basi non sono uguali. Ma probabilmente tutti intuiamo che in qualche modo si possono trasformare. Al primo membro applichiamo la formula per la moltiplicazione di potenze con lo stesso esponente, mentre al secondo membro applichiamo la stessa formula di poco fa e da 100^{x − 1} ricaviamo 10^{2(x − 1)}:

$$\begin{array}{rcl}{5}^x\cdot 2^x& =& {100}^{x-1}\\ {10}^x& =& {10}^{2(x-1)}\\ {10}^x& =& {10}^{2x-2}\end{array}$$

Ed ecco di nuovo basi uguali, per cui possiamo risolvere una classica equazione di primo grado:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2x-2\\ -x& =& -2\\ x& =& 2\end{array}$$

Risolvi la seguente equazione esponenziale:

$$3^x+3^{x+1}=108.$$

Come sempre, prima dobbiamo arrivare a una base comune. Qui ci aiuta il raccoglimento: dall’espressione al primo membro raccogliamo 3^x. Poi sommiamo l’espressione tra parentesi e otteniamo una semplice equazione.

$$\begin{array}{rcl}{3}^x+3^{x+1}& =& 108\\ 3^x(1+3^1)& =& 108\\ 4\cdot 3^x& =& 108\\ 3^x& =& 27\end{array}$$

Ora abbiamo sistemato il primo membro ed è il momento di sistemare il secondo. Vediamo abbastanza chiaramente che si tratta della terza potenza di tre:

$$\begin{array}{rcl}{3}^x& =& 27\\ 3^x& =& 3^3\end{array}$$

E ora resta solo l’ultimo passo: le basi sono uguali, quindi uguagliamo gli esponenti:

$$x=3$$

Risolvi la seguente equazione esponenziale:

$$4^{2x}-6\cdot 4^x+8=0.$$

In questo caso cercheremo di trasformare l’equazione esponenziale in una comune equazione di secondo grado. Ci arriviamo meglio con la sostituzione 4^x = a:

$$a^2-6a+8=0$$

Ora abbiamo una normale equazione di secondo grado, quindi calcoliamo il discriminante e le soluzioni:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\Delta }& =& 36-4\cdot 8\\ a_{1,2}& =& \frac{(6\pm 2)}{2}\\ a_1& =& 4\\ a_2& =& 2\end{array}$$

Con questi risultati parziali dobbiamo ancora tornare alla variabile originaria. Primo risultato:

$$\begin{array}{rcl}{4}^x& =& 4\\ x& =& 1\end{array}$$

Secondo risultato:

$$\begin{array}{rcl}{4}^x& =& 2\\ 4^x& =& 4^{\frac{1}{2}}\\ x& =& \frac{1}{2}\end{array}$$