Exponenciális egyenletek

A közönséges egyenlet akkor válik exponenciálissá, ha az ismeretlen a kitevőben szerepel. Általánosan így írhatnánk fel az exponenciális egyenletet: a^f(x) = b^g(x), ahol a, b>0. Az exponenciális egyenlet tipikus példája lehet a 2^x = 8. Itt elég nyilvánvaló, hogy az eredmény a három, mert kettő a harmadikon nyolc. Most következik egy kicsit matematikaibb eljárás.

Egyszerű exponenciális egyenlet

Ha exponenciális egyenletet akarunk megoldani, nagyon előnyös, ha az egyenletet át tudjuk alakítani a^f(x) = b^g(x) alakúra, ahol a = b. Az ugyanis nyilvánvaló, hogy ha az alapok azonosak, akkor a hatványok pontosan akkor egyenlők, ha a kitevők is egyenlők. Így már csak az f(x) = g(x) egyenletet kell megoldanunk. Az előző példát így alakíthatjuk át: a nyolcat felírjuk a kettő hatványaként, 2^x = 2³, és így azonos alapokat kapunk, tehát egyszerűen egyenlővé tesszük a két kitevőt, és rögtön kijön az eredmény: x = 3. A példát megnehezíthetjük például így: 2^2x = 8, átalakítás után ismét 2^2x = 2³ adódik, és a 2x = 3 egyenletet oldjuk meg, az eredmény 1,5.

Egy másik egyszerű eset az, amikor az egyenlet egyik oldalán 1 áll. Vegyük ezt a példát:

$5^{3 x - 2} = 1$

Bonyolultnak látszik, de ha ismered a hatványok közötti alapvető összefüggéseket, tudod, hogy egyet csak kétféleképpen kaphatsz: vagy az alap egy, és akkor az egy bármilyen kitevőre szintén egyet ad, vagy a kitevő nulla – bármi a nulladikon ismét egy. Mi természetesen a második tulajdonságot használjuk ki, és az előző egyenletet így írjuk át: 5^{3x − 2} = 5⁰. Az egyenletet így olyan alakra hoztuk, amelyet már meg tudunk oldani (lásd az előző bekezdést). Elég összehasonlítani a kitevőket. Itt a 3x − 2 = 0 egyenlet adódik. Ez már triviális elsőfokú egyenlet.

Exponenciális egyenlet logaritmálása

Ha az egyenletet nem tudjuk azonos alapokra átalakítani, megpróbálhatjuk a logaritmálás módszerét. A tanárnőnk mindig azt mondta: „Gyerekek, ha nem tudjátok, hogyan tovább, egyszerűen vegyetek logaritmust!” És igaza volt. Ha különböző alapú exponenciális egyenleted van, és az alapokat nem lehet (vagy nem érdemes) azonos alapra hozni, az egész egyenletnek vedd a logaritmusát. Az eredeti

$a^{f (x)} = b^{g (x)}$

egyenletből ezt kapjuk:

$\lg a^{f (x)} = \lg b^{g (x)}$

a logaritmusokra vonatkozó azonosság szerint pedig ezt:

$f (x) \cdot \lg a = g (x) \cdot \lg b .$

Nézzük ezt a példát:

$2^{x} \cdot 5^{2 x} = 3^{x - 2}$

Az alapok nem azonosak, és nem is hozhatók azonos alapra, ezért az egész egyenletnek vesszük a logaritmusát:

$\lg (2^{x} \cdot 5^{2 x}) = \lg (3^{x - 2})$

Most felhasználjuk a logaritmus azonosságait, és az első zárójelet „felbontjuk”:

$\lg 2^{x} + \lg 5^{2 x} = \lg 3^{x - 2}$

Most ismét felhasználjuk a logaritmus azonosságait, és a kitevőt „áthelyezzük” a logaritmus elé:

$x \cdot \lg 2 + 2 x \cdot \lg 5 = (x - 2) \lg 3$

Felbontjuk az egyenlet jobb oldalán a zárójelet:

$x \cdot \lg 2 + 2 x \cdot \lg 5 = x \lg 3 - 2 \lg 3$

Az ismeretlent tartalmazó kifejezéseket átdobjuk az egyenlet bal oldalára:

$x \cdot \lg 2 + 2 x \cdot \lg 5 - x \cdot \lg 3 = - 2 \lg 3$

Ezután kiemeljük az x-et:

$x (\lg 2 + 2 \lg 5 - \lg 3) = - 2 \lg 3$

Kifejezzük az x-et:

$x = \frac{- 2 \lg 3}{\lg 2 + 2 \lg 5 - \lg 3}$

Ez gyakorlatilag már az eredmény. Még egyszer alkalmazhatjuk a logaritmus azonosságait, és a 2lg 5 kifejezésből csinálhatunk lg 5² = lg 25 értéket, de ez tényleg az utolsó dolog, amit az eredménnyel tehetünk.

Új ismeretlen bevezetése

Az exponenciális egyenleteket új ismeretlen bevezetésével is megoldhatjuk. Mutassuk meg egy példán:

$7^{2 x} + 7^{x} - 6 = 0.$

Most például bevezetjük az a = 7^x jelölést. Átalakítjuk az eredeti egyenletet úgy, hogy a 7^x helyére a-t írunk. Ilyen (már nem exponenciális) egyenlet keletkezik:

$a^{2} + a - 6 = 0.$

Ez egy egyszerű másodfokú egyenlet. Gyökei a 2 és a −3.

Ezeket a gyököket most behelyettesítjük az a = 7^x jelölésbe. Tehát 2 = 7^x. Vesszük a logaritmusát:

$\lg 2 = x \cdot \lg 7$

és kifejezzük az ismeretlent:

$x = \frac{\lg 2}{\lg 7}$

A második gyököt már nem kell behelyettesítenünk, mert negatív – a behelyettesítés után negatív szám logaritmusát kapnánk, ami nem lehetséges. És megvan az exponenciális egyenlet eredménye.

Példák

Oldd meg a következő exponenciális egyenletet:

$2^{3 x - 4} = 8^{2 x + 1} .$

Első pillantásra látjuk, hogy az alapok a két oldalon nem egyenlők. Szomorú. De második pillantásra már biztosan észrevesszük, milyen átalakítást végezhetünk, hogy azonos alapokat kapjunk. A nyolc helyett egyszerűen a 2³ értékkel számolunk, ami nyolccal egyenlő. A hatvány hatványára vonatkozó azonosságot alkalmazva ezt kapjuk:

$\begin{array}{rcl} 2^{3 x - 4} & = & 8^{2 x + 1} \\ 2^{3 x - 4} & = & 2^{3 \cdot (2 x + 1)} \\ 2^{3 x - 4} & = & 2^{6 x + 3} \end{array}$

Ebben a pillanatban az alapok egyenlők, és megoldhatjuk az egyszerű 3x − 4 = 6x + 3 elsőfokú egyenletet:

$\begin{array}{rcl} 3 x - 4 & = & 6 x + 3 \\ - 3 x & = & 7 \\ x & = & - \frac{7}{3} \end{array}$

Oldd meg a következő exponenciális egyenletet:

$5^{x} \cdot 2^{x} = 100^{x - 1} .$

Itt szokás szerint látjuk, hogy az alapok nem egyenlők. De valószínűleg mindannyian sejtjük, hogy valahogy át lehet őket alakítani. A bal oldalra alkalmazzuk az azonos kitevőjű hatványok szorzására vonatkozó azonosságot, a jobb oldalra ugyanazt az azonosságot, mint az imént, és a 100^{x − 1} kifejezésből 10^{2(x − 1)} lesz:

$\begin{array}{rcl} 5^{x} \cdot 2^{x} & = & 100^{x - 1} \\ 10^{x} & = & 10^{2 (x - 1)} \\ 10^{x} & = & 10^{2 x - 2} \end{array}$

És már megint azonosak az alapok, megoldhatjuk a megszokott elsőfokú egyenletet:

$\begin{array}{rcl} x & = & 2 x - 2 \\ - x & = & - 2 \\ x & = & 2 \end{array}$

Oldd meg az exponenciális egyenletet:

$3^{x} + 3^{x + 1} = 108.$

Mint mindig, először el kell jutnunk az azonos alapig. Itt segít a kiemelés: a bal oldali kifejezésből kiemeljük a 3^x tagot. Aztán összeadjuk a zárójelben álló kifejezést, és egy egyszerű egyenletet kapunk.

$\begin{array}{rcl} 3^{x} + 3^{x + 1} & = & 108 \\ 3^{x} (1 + 3^{1}) & = & 108 \\ 4 \cdot 3^{x} & = & 108 \\ 3^{x} & = & 27 \end{array}$

Ebben a pillanatban átalakítottuk a bal oldalt, és itt az ideje, hogy átalakítsuk a jobb oldalt. Elég egyértelműen látjuk, hogy ez a három harmadik hatványa:

$\begin{array}{rcl} 3^{x} & = & 27 \\ 3^{x} & = & 3^{3} \end{array}$

Végül már csak az utolsó lépés van hátra – az alapok egyenlők, ezért egyenlővé tesszük a kitevőket:

$x = 3$

Oldd meg a következő exponenciális egyenletet:

$4^{2 x} - 6 \cdot 4^{x} + 8 = 0.$

Ebben az esetben az exponenciális egyenletből megpróbálunk közönséges másodfokú egyenletet kapni. Ehhez a legjobban a 4^x = a új ismeretlen bevezetésével juthatunk el:

$a^{2} - 6 a + 8 = 0$

Most már szokásos másodfokú egyenletünk van, tehát kiszámítjuk a diszkriminánst és a gyököket:

$\begin{array}{rcl} D & = & 36 - 4 \cdot 8 \\ a_{1, 2} & = & \frac{(6 \pm 2)}{2} \\ a_{1} & = & 4 \\ a_{2} & = & 2 \end{array}$

Ezeket a részeredményeket még vissza kell helyettesítenünk. Az első eredmény:

$\begin{array}{rcl} 4^{x} & = & 4 \\ x & = & 1 \end{array}$

A második eredmény:

$\begin{array}{rcl} 4^{x} & = & 2 \\ 4^{x} & = & 4^{\frac{1}{2}} \\ x & = & \frac{1}{2} \end{array}$

« Előző: Exponenciális és logaritmikus egyenlőtlenségek

Következő: Logaritmikus egyenletek »