Ecuaciones exponenciales

Una ecuación corriente se convierte en exponencial si contiene la variable en el exponente. En general, podríamos escribir una ecuación exponencial así: a^f(x) = b^g(x), donde a, b>0. Un ejemplo típico de ecuación exponencial puede ser 2^x = 8. Aquí es bastante evidente que el resultado será el número tres, porque dos elevado a tres es ocho. Y ahora sigue un procedimiento un poco más matemático.

Ecuación exponencial sencilla

Si queremos resolver una ecuación exponencial, es muy ventajoso poder transformarla a la forma a^f(x) = b^g(x), donde a = b. Es evidente que si tenemos bases iguales, las potencias serán iguales cuando también sean iguales los exponentes. Resolvemos entonces solo la ecuación f(x) = g(x). El ejemplo anterior podemos transformarlo así: el ocho lo escribimos como potencia de dos, 2^x = 2³, y a continuación obtenemos bases iguales, por lo que simplemente igualamos los dos exponentes y obtenemos a la vez el resultado x = 3. El ejemplo podemos complicarlo, por ejemplo, así: 2^2x = 8 y tras la transformación obtenemos de nuevo 2^2x = 2³ y resolvemos 2x = 3, el resultado es 1,5.

Otro caso sencillo se da si en uno de los miembros de la ecuación aparece un uno. Tomemos este ejemplo:

$$5^{3x-2}=1$$

Parece complicado, pero si conoces las relaciones básicas entre las potencias, sabes que el uno solo se puede obtener de dos maneras: o bien la base es uno y entonces uno elevado a cualquier exponente da de nuevo uno, o bien el exponente es igual a cero: cualquier número elevado a cero es de nuevo uno. Nosotros usamos, naturalmente, la segunda propiedad y reescribimos la ecuación anterior así: 5^{3x − 2} = 5⁰. Ahora hemos llevado la ecuación a una forma que ya sabemos resolver (véase el párrafo anterior). Basta comparar los exponentes. Aquí sale la ecuación 3x − 2 = 0. Esa ya es una ecuación lineal trivial.

Tomar logaritmos en una ecuación exponencial

En caso de que no podamos transformar la ecuación a una forma con bases iguales, podemos probar el método de tomar logaritmos. Nuestra profe siempre decía: «Cuando no se sabe cómo seguir, ¡se toman logaritmos!», y tenía razón. Si tienes una ecuación exponencial con bases distintas y no es posible (o no es eficaz) reducirlas a la misma base, toma logaritmos en toda la ecuación. De la ecuación original

$$a^{f(x)}=b^{g(x)}$$

obtenemos

$$\log a^{f(x)}=\log b^{g(x)}$$

y según la fórmula para trabajar con logaritmos obtenemos

$$f(x)\cdot \log a=g(x)\cdot \log b.$$

Tomemos, pues, este ejemplo

$$2^x\cdot 5^{2x}=3^{x-2}$$

Las bases no son iguales y no se pueden igualar, por eso tomamos logaritmos en toda la ecuación:

$$\log (2^x\cdot 5^{2x})=\log (3^{x-2})$$

Ahora usamos las propiedades de los logaritmos y «repartimos» el primer paréntesis

$$\log 2^x+\log 5^{2x}=\log 3^{x-2}$$

Ahora de nuevo usamos las propiedades de los logaritmos y «pasamos» el exponente delante del logaritmo.

$$x\cdot \log 2+2x\cdot \log 5=(x-2)\log 3$$

Desarrollamos el segundo miembro de la ecuación:

$$x\cdot \log 2+2x\cdot \log 5=x\log 3-2\log 3$$

Los términos con la incógnita los pasamos al primer miembro de la ecuación:

$$x\cdot \log 2+2x\cdot \log 5-x\cdot \log 3=-2\log 3$$

Después sacamos factor común x:

$$x(\log 2+2\log 5-\log 3)=-2\log 3$$

Despejamos x:

$$x=\frac{-2\log 3}{\log 2+2\log 5-\log 3}$$

Ese ya es, de hecho, el resultado. Podemos aplicar todavía de nuevo las propiedades de los logaritmos y convertir 2log 5 en log 5² = log 25, pero es ya de verdad lo último que podemos hacer con el resultado.

Cambio de variable

Las ecuaciones exponenciales también podemos resolverlas con ayuda de un cambio de variable. Lo mostraremos con un ejemplo:

$$7^{2x}+7^x-6=0.$$

Ahora, por ejemplo, hacemos el cambio a = 7^x. Transformamos la ecuación original sustituyendo 7^x por a. Surge una ecuación como esta (ya no exponencial):

$$a^2+a-6=0.$$

Esta es una simple ecuación de segundo grado. Sus raíces son los números 2 y −3.

Con estas raíces deshacemos ahora el cambio a = 7^x. Es decir, 2 = 7^x. Tomamos logaritmos:

$$\log 2=x\cdot \log 7$$

y despejamos:

$$x=\frac{\log 2}{\log 7}$$

Con la segunda raíz ya no hace falta deshacer el cambio, porque es negativa: al sustituirla nos saldría el logaritmo de un número negativo, lo cual no es posible. Y el resultado de la ecuación exponencial está listo.

Ejemplos

Resuelve la siguiente ecuación exponencial:

$$2^{3x-4}=8^{2x+1}.$$

A primera vista vemos que las bases de ambos miembros no son iguales. Qué pena. Pero a segunda vista seguro que ya vemos la transformación que podemos hacer para obtener esas bases iguales. En lugar del ocho trabajaremos simplemente con 2³, que es igual a ocho. Usando la fórmula de la potencia de una potencia obtenemos:

$$\begin{array}{rcl}{2}^{3x-4}& =& 8^{2x+1}\\ 2^{3x-4}& =& 2^{3\cdot (2x+1)}\\ 2^{3x-4}& =& 2^{6x+3}\end{array}$$

En este momento las bases ya son iguales y podemos resolver la sencilla ecuación lineal 3x − 4 = 6x + 3:

$$\begin{array}{rcl}3x-4& =& 6x+3\\ -3x& =& 7\\ x& =& -\frac{7}{3}\end{array}$$

Resuelve la siguiente ecuación exponencial:

$$5^x\cdot 2^x={100}^{x-1}.$$

Aquí, como de costumbre, vemos que las bases no son iguales. Pero seguramente todos intuimos que se podrán convertir. En el primer miembro aplicamos la fórmula del producto de potencias con el mismo exponente y en el segundo aplicamos la misma fórmula que hace un momento y de 100^{x − 1} hacemos 10^{2(x − 1)}:

$$\begin{array}{rcl}{5}^x\cdot 2^x& =& {100}^{x-1}\\ {10}^x& =& {10}^{2(x-1)}\\ {10}^x& =& {10}^{2x-2}\end{array}$$

Y ya tenemos de nuevo las mismas bases y podemos resolver la clásica ecuación lineal:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2x-2\\ -x& =& -2\\ x& =& 2\end{array}$$

Resuelve la ecuación exponencial:

$$3^x+3^{x+1}=108.$$

Como siempre, primero tenemos que llegar a la misma base. Aquí nos ayudamos sacando factor común 3^x en la expresión del primer miembro. Después sumamos lo que hay dentro del paréntesis y obtenemos una ecuación sencilla.

$$\begin{array}{rcl}{3}^x+3^{x+1}& =& 108\\ 3^x(1+3^1)& =& 108\\ 4\cdot 3^x& =& 108\\ 3^x& =& 27\end{array}$$

En este momento hemos transformado el primer miembro y es hora de transformar el segundo. Vemos con bastante claridad que se trata de la tercera potencia de tres:

$$\begin{array}{rcl}{3}^x& =& 27\\ 3^x& =& 3^3\end{array}$$

Y ya solo queda el último paso: las bases son iguales, así que igualamos los exponentes:

$$x=3$$

Resuelve la siguiente ecuación exponencial:

$$4^{2x}-6\cdot 4^x+8=0.$$

En este caso intentaremos obtener de la ecuación exponencial una ecuación de segundo grado corriente. Lo mejor es llegar a ella con el cambio de variable 4^x = a:

$$a^2-6a+8=0$$

Ahora ya tenemos una ecuación de segundo grado estándar, así que calculamos el discriminante y las raíces:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\Delta }& =& 36-4\cdot 8\\ a_{1,2}& =& \frac{(6\pm 2)}{2}\\ a_1& =& 4\\ a_2& =& 2\end{array}$$

Con estos resultados parciales todavía debemos deshacer el cambio de variable. El primer resultado:

$$\begin{array}{rcl}{4}^x& =& 4\\ x& =& 1\end{array}$$

El segundo resultado:

$$\begin{array}{rcl}{4}^x& =& 2\\ 4^x& =& 4^{\frac{1}{2}}\\ x& =& \frac{1}{2}\end{array}$$