指数不等式と対数不等式

指数不等式とは、指数方程式の等号の代わりに不等号がある式のことです。たとえば次の不等式です。

$$2^x>8$$

解き方の始まりは方程式と同じです。8を2の累乗で表します。

$$2^x>2^3$$

方程式 2^x = 2³ なら、ここで指数を比べて x = 3 となるところです。なぜそうしてよいのでしょうか。関数 2^x は増加関数で、指数が大きいほど累乗も大きくなります。そのため同じ値を2回とることはなく、2の累乗どうしが等しくなるのは指数が等しいときだけです。不等式でも同じ考え方が使えますが、さらにどちら向きかを決める必要があります。2の何乗かが2の3乗より大きくなるのは、ちょうどその指数が3より大きいときです。

$$x>3$$

解は区間 (3, ∞) です。確かめると、2⁴ = 16 は8より大きいですが、2² = 4 は大きくありません。図では、赤いグラフが緑の直線より上にある部分の x 軸がこれにあたります。

底が1より小さい不等式、たとえば ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>8$ では結果が変わります。関数 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ は減少関数です。指数が大きいほど2分の1を何回もかけることになり、小さい数になるからです。図では青で示しています。

グラフが直線 y = 8 より上に出るのは −3 より左だけなので、不等式 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>8$ の解は x < −3 です。不等号の向きが逆になりました。指数不等式のポイントは、次の規則にすべて詰まっています。

• 底が1より大きい場合： 関数は増加し、不等号の向きはそのままです。
• 底が0と1の間の場合： 関数は減少し、不等号の向きが逆になります。

底が1より小さい場合

次の不等式に取り組みましょう。

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\geqq 9.$$

9を3分の1の累乗で表す必要があります。3分の1のマイナス1乗は3、マイナス2乗は9です。

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\geqq {\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}$$

底はそろいましたが、底 $\frac{1}{3}$ は1より小さい数です。したがって、指数を比べるときに不等号の向きを逆にします。

$$x\leqq -2$$

解は区間 (−∞, −2] です。x = −3 で確かめると、${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}=3^3=27$ で、たしかに9より大きくなります。

この種の問題でいちばん多い間違いは、不等号の向きを変え忘れることです。$x\geqq -2$ と書いてしまうと、たとえば0も解になってしまいます。しかし ${\left(\frac{1}{3}\right)}^0=1$ で、1は9より小さいのです。

底が分数で扱いにくければ、$\frac{1}{3}$ を 3⁻¹ と書きかえてもかまいません。すると不等式は $3^{-x}\geqq 3^2$、つまり $-x\geqq 2$ になります。今度は底が1より大きいので不等号の向きはそのままですが、両辺をマイナス1で割るときに、不等式の変形の規則によって向きが逆になります。結果はやはり $x\leqq -2$ です。どちらの方法でも、不等号の向きはどこかで逆になります。

底をそろえられない場合

不等式 3^x < 5 では、5を3の整数乗で表すことはできません。この場合も方程式と同じように、両辺の対数をとります。今回は3を底とする対数です。3を底とする対数関数は増加関数なので、不等号の向きは変わりません。log₃ 3^x < log₃ 5、つまり x < log₃ 5 です。答えはこのままでかまいません。この数のおおよその位置は不等式 3 < 5 < 9 からわかり、log₃ 5 は log₃ 3 = 1 と log₃ 9 = 2 の間にあります。

対数不等式

対数不等式でも底についての規則は同じですが、条件が1つ加わります。対数方程式で見たように、対数の真数は正でなければなりません。次の不等式で試してみましょう。

$${\log }_2(x-1)<3.$$

まず真数の条件です。x − 1>0、つまり x>1 です。次に、2³ = 8 なので、3を、底が2の対数で表します。

$${\log }_2(x-1)<{\log }_{2}8$$

底2は1より大きいので、この対数関数は増加関数で、不等号の向きはそのままです。

$$\begin{array}{rcl}x-1& <& 8/+1\\ x& <& 9\end{array}$$

最後に、結果を真数の条件と合わせます。x>1 かつ x<9 でなければならないので、解は区間 (1, 9) です。確かめとして x = 5 をとると、log₂ 4 = 2 で、たしかに3より小さくなります。

図で解がわかります。1から9までのすべての x で、赤いグラフは緑の直線より下にあります。1より左にはグラフがまったくありません。そこでは対数が存在しないからです。これが条件 x>1 です。

ここでの間違い方は、指数不等式とは違います。真数の条件を忘れると、答えを x<9 と書いてしまいます。しかし、そこには0も含まれ、log₂(0 − 1) = log₂(−1) は存在しません。方程式なら、忘れた条件は解の確かめで見つかりますが、不等式では解が無数にあり、すべてを代入することはできません。そのため、真数の条件はいつも最初に書いておきます。

最後の例では、2つの落とし穴が同時に出てきます。

$${\log }_{\frac{1}{2}}x>2$$

真数の条件は x>0 です。${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$ なので、2を、底が2分の1の対数で表します。

$${\log }_{\frac{1}{2}}x>{\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}$$

底は1より小さいので、ここで2つ目の落とし穴として不等号の向きが逆になります。

$$x<\frac{1}{4}$$

真数の条件 x>0 と合わせると、解は $(0,\frac{1}{4})$ です。たとえば $x=\frac{1}{8}$ で確かめましょう。2分の1の3乗は8分の1なので ${\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{8}=3$ で、たしかに2より大きくなります。