方程式の同値変形

方程式を変形するときは同値変形を使います。同値変形とは、方程式の解を変えない変形のことです。同値変形の目的は、方程式をもっと簡単な形にして、そこから解を計算できるようにすることです。

方程式とは

まず、方程式とは何か、どう書くかを簡単に確認しておきます。2つの関数 f(x) と g(x) があるとき、それらを等号で結ぶと方程式ができます。

$f (x) = g (x)$

このとき、f(x) を方程式の左辺、g(x) を右辺といいます。抽象的な関数 f(x) と g(x) の代わりに、具体的な関数、たとえば f(x) = 3x と g(x) = x + 2 を考えることもできます。すると方程式は次のようになります。

$3 x = x + 2$

方程式の解は集合（たとえば S）で表せます。集合 S のどの x を方程式に代入しても、方程式が成り立ちます。この例の方程式の解は、次の集合になります。

$S = {1} .$

方程式に代入すると、次のようになります。

$3 \cdot 1 = 1 + 2$

方程式の同値変形とは、方程式の解を変えない変形のことです。つまり、関数 f(x) から関数 f₁(x) を得て、同じ変形で関数 g(x) から g₁(x) を得たとき、やはり次の等式が成り立つような変形です。

$f_{1} (x) = g_{1} (x) .$

方程式（不等式ではありません！）のいちばん簡単な同値変形は、左辺と右辺を入れかえることです。次の等式が成り立つなら、

$f (x) = g (x),$

左辺と右辺を入れかえた次の式も成り立つことは明らかでしょう。

$g (x) = f (x) .$

方程式については、記事方程式とはで詳しく説明しています。

足し算

いちばん簡単な例は、方程式の両辺に同じ式を足すことです。同値変形はいつも両辺に対して行います。次の方程式を考えましょう。

$x - 3 = 1.$

この方程式は、両辺に3を足すと解けます。方程式を変形するときは、ふつう変形を始めた行の右に斜線を引き、その後ろに行う変形を書きます。

$\begin{array}{rcl} x - 3 & = & 1 / + 3 \\ 3 + x - 3 & = & 1 + 3 \\ x & = & 4 \end{array}$

一般的に書くと、2つの関数 f(x) と g(x) があるとき、両辺に3つ目の関数 h(x) を足しても、方程式の解は変わりません。

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & g (x) / + h (x) \\ f (x) + h (x) & = & g (x) + h (x) \end{array}$

このように、足すのは数だけでなく、関数でもかまいません。

$x = 2 x + 6$

ふつうは変数を左辺に集めます。そのためには、両辺に −2x を足します。つまり 2x を引きます。

$\begin{array}{rcl} x & = & 2 x + 6 / - 2 x \\ x - 2 x & = & 2 x - 2 x + 6 \\ - x & = & 6 \\ x & = & - 6 \end{array}$

もちろん、必要なら分数を足してもかまいません。

$x - \frac{1}{2} = 471$

両辺に2分の1を足せば答えが出ます。

$\begin{array}{rcl} x - \frac{1}{2} & = & 471 / + \frac{1}{2} \\ x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} & = & 471 + \frac{1}{2} \\ x & = & 471.5 \end{array}$

両辺に足す変形がよく使われるのは、式を方程式の一方の辺からもう一方の辺へ「移す」ときです。次の方程式があるとします。

$3 = 2 x + 17,$

変数を含む式、つまり 2x を左辺に移すにはどうすればよいでしょうか。両辺に −2x を足せばよいのです。すると 2x − 2x = 0 なので、右辺の 2x は0になります。そしてもう一方の辺には −2x が現れます。

$\begin{array}{rcl} 3 & = & 2 x + 17 / - 2 x \\ 3 - 2 x & = & 2 x - 2 x + 17 \\ 3 - 2 x & = & 17 \end{array}$

かけ算

方程式の両辺に関数をかけることもできます。条件はただ一つ、その関数が0であってはいけないということです。方程式に0をかけることはできませんし、0に変形できる関数、たとえば f(x) = x − x をかけることもできません。次の方程式があるとします。

$3 x = 7,$

両辺に2をかけることができます。

$\begin{array}{rcl} 3 x & = & 7 / \cdot 2 \\ 2 \cdot 3 x & = & 2 \cdot 7 \\ 6 x & = & 14 \end{array}$

これはあまり意味のない変形でした。かけ算がよく使われるのは、たとえば分数をなくしたいときです。

$3 = \frac{2}{5 x}$

この方程式の両辺に右辺の分数の分母をかけると、分数の性質によって式 5x がきれいに約分できます。

$\begin{array}{rcl} 3 & = & \frac{2}{5 x} / \cdot 5 x \\ 5 x \cdot 3 & = & 5 x \cdot \frac{2}{5 x} \end{array}$

ここで分数に式 5x をかけると、5x は分数の分子に入ります。5x は分母にも分子にもあるので、約分できます。

$\begin{array}{rcl} 15 x & = & \frac{5 x \cdot 2}{5 x} \\ 15 x & = & 2 \end{array}$

この節の初めに、0をかけてはいけないと説明しました。いま式 5x をかけましたが、この式は変数を含んでいます。この変数に0を代入すると式全体も0になり、0をかけたことになってしまいます。どうすればよいでしょうか。

この変形を行ってよい条件を決めておけば解決します。ここでは、x が0でない場合に限って 5x をかけてよい、と書いておく必要があります。ところで、両辺にかける前の方程式をもう一度見てみましょう。式 5x はすでに分数の分母に含まれています。これは何を意味するでしょうか。0で割ることはできないので、関数 $\frac{2}{5 x}$ の定義域の時点で、x が0になることは除かれているのです。

もう一度まとめます。この方程式には、分母に式 5x がある分数が含まれています。0で割ることはできないので、方程式が意味をもつのは x が0でないときだけです。そのため、安心して両辺に 5x をかけることができます。必要な条件は、分母にある関数の定義域がすでに保証しているからです。

複雑な式をかける場合

大事な注意があります。方程式に式をかけるときは、必ず右辺全体と左辺全体にかけなければなりません。例として次の方程式を考えます。

$x + 2 = x - 4$

両辺に2をかけるなら、次のように辺全体にかける必要があります。

$\begin{array}{rcl} 2 \cdot (x + 2) & = & 2 \cdot (x - 4) \\ 2 x + 4 & = & 2 x - 8 \end{array}$

かっこを書き忘れると、間違った結果になってしまいます。

$\begin{array}{rcl} 2 \cdot x + 2 & = & 2 \cdot x - 4 \\ 2 x + 2 & = & 2 x - 4 \end{array}$

前の場合とは結果が違います。もっと複雑な式をかけるときも同じで、両辺全体にかけなければなりません。例として次の方程式を考えます。

$2 x + 1 = \frac{2}{x + 3} .$

右辺の分母にある変数をなくすために、この方程式の両辺に式 x + 3 をかけます。

$\begin{array}{rcl} 2 x + 1 & = & \frac{2}{x + 3} / \cdot (x + 3) \\ (x + 3) (2 x + 1) & = & (x + 3) \frac{2}{x + 3} \\ (x + 3) (2 x + 1) & = & \frac{2 (x + 3)}{x + 3} \end{array}$

分数は式 x + 3 できれいに約分できる形になりました。

$\begin{array}{rcl} (x + 3) (2 x + 1) & = & \frac{2 (x + 3)}{x + 3} \\ (x + 3) (2 x + 1) & = & 2 \end{array}$

さらに左辺を展開し、最後に2を引いて2を左辺に「移す」と、右辺は0になります。

$\begin{array}{rcl} (x + 3) (2 x + 1) & = & 2 \\ 2 x^{2} + x + 6 x + 3 & = & 2 \\ 2 x^{2} + 7 x + 3 & = & 2 / - 2 \\ 2 x^{2} + 7 x + 1 & = & 0 \end{array}$

割り算

方程式は、かけるのと同じように割ることもできます。制限もかけ算と同じで、0で割ってはいけません。割り算は簡単にかけ算に直せるからです。両辺を式 w で割るのは、両辺に分数 1/w をかけるのと同じです。割り算は、たとえば次のような例でよく使われます。

$12 x = 7$

この形の方程式でできることは多くありません。両辺を12で割れば、x の値が求まります。

$\begin{array}{rcl} 12 x & = & 7 / \div 12 \\ x & = & \frac{7}{12} \end{array}$

両辺に 1/12 をかけても、同じ結果になります。

$\begin{array}{rcl} 12 x & = & 7 / \cdot \frac{1}{12} \\ 12 x \cdot \frac{1}{12} & = & 7 \cdot \frac{1}{12} \\ \frac{12 x}{12} & = & \frac{7}{12} \\ x & = & \frac{7}{12} \end{array}$

2乗する変形

方程式の変形では累乗も使えますが、いくつか制限があります。まず累乗について復習しましょう。次の等式は成り立つでしょうか。

$\sqrt{x^{2}} = x$

ある数を2乗してから平方根をとると、元の数に戻るでしょうか。これはひっかけ問題で、答えは「いつもそうなるとは限らない」です。x に負の数、たとえばマイナス3を代入してみましょう。

$\begin{array}{rcl} \sqrt{(- 3)^{2}} & = & - 3 \\ \sqrt{9} & = & - 3 \\ 3 & \neq & - 3 \end{array}$

このように、等式は成り立たなくなります。負の数を2乗すると正の数になりますが、正の数の平方根をとると、また正の数になるからです。この等式が成り立つのはどんなときでしょうか。正の数、正確には0以上の数だけを扱っているとわかっているときです。したがって、正の数だけを扱っているとわかっているときは、両辺を2乗してもかまいません。

たとえば図形の問題では、線分の長さを含む方程式をよく計算します。長さは負になりえないので、このときは安心して2乗できます。2乗するときや平方根をとるときも、両辺全体に対して行わなければなりません。例を見てみましょう。

$\sqrt{x + 2} = x + 4$

正の数だけを扱っていると仮定すると、両辺を2乗してかまいません。

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x + 2} & = & x + 4 /^{2} \\ {(\sqrt{x + 2})}^{2} & = & (x + 4)^{2} \\ x + 2 & = & x^{2} + 8 x + 16 \\ x^{2} + 7 x + 14 & = & 0 \end{array}$

2次方程式が得られました。これはリンク先の記事で説明している方法で解けます。

2乗する必要があるのに、正の数だけを扱っているか確信がもてない方程式は、どう解けばよいでしょうか。2乗してから、最後に解を確かめればよいのです。2乗すると、元の方程式の正しい解ではない値が出てくることがあるからです。例を見てみましょう。

$\sqrt{x} = x - 2$

両辺を2乗します。

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x} & = & x - 2 /^{2} \\ {(\sqrt{x})}^{2} & = & (x - 2)^{2} \\ x & = & x^{2} - 4 x + 4 \\ x^{2} - 5 x + 4 & = & 0 \end{array}$

ここでも2次方程式が得られたので、適当な方法、たとえば因数分解で解きます（詳しい手順はリンク先の記事にあります）。

$(x - 1) (x - 4) = 0$

得られた値は1と4です。しかし、同値でない変形をしたので、解を確かめる必要があります。この2つの値を元の方程式に代入し、どちらが元の方程式の正しい解かを調べます。まず1を代入します。

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x} & = & x - 2 \\ \sqrt{1} & = & 1 - 2 \\ 1 & \neq & - 1 \end{array}$

確かめた結果、1は元の方程式の解ではないことがわかりました。4はどうでしょうか。

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x} & = & x - 2 \\ \sqrt{4} & = & 4 - 2 \\ 2 & = & 2 \end{array}$

4は元の方程式の解です。これで答えが求まりました。

章: 方程式の同値変形, 不等式の同値変形

« 前へ: 方程式とは

次へ: 不等式の同値変形 »