Показателни уравнения

Обикновеното уравнение става показателно, ако съдържа променлива в степенния показател. В общ вид показателното уравнение бихме могли да запишем така: a^f(x) = b^g(x), където a, b>0. Типичен пример за показателно уравнение е 2^x = 8. Тук е доста очевидно, че резултатът ще е числото три, защото две на трета е осем. А сега един малко по-математически подход.

Просто показателно уравнение

Ако искаме да решим показателно уравнение, е много удобно, когато можем да приведем уравнението във вида a^f(x) = b^g(x), където a = b. Очевидно е, че ако имаме еднакви основи, степените ще са равни, когато са еднакви и показателите. Тогава вече решаваме само уравнението f(x) = g(x). Предишния пример можем да преобразуваме по следния начин: осмицата записваме като степен на двойката 2^x = 2³ и след това получаваме еднакви основи, така че просто приравняваме двата показателя с което веднага получаваме резултата x = 3. Примера можем да усложним например така: 2^2x = 8 и след преобразуването отново получаваме 2^2x = 2³ и пресмятаме 2x = 3, резултатът е 1,5.

Друг прост случай имаме, когато от едната страна на уравнението има единица. Да вземем този пример:

$$5^{3x-2}=1$$

Изглежда сложно, но ако познаваш основните връзки между степените, знаеш, че единица можеш да получиш само по два начина – или основата е едно и тогава едно на каквато и да е степен пак дава едно, или показателят е равен на нула – всичко на нулева степен е отново едно. Ние, разбира се, използваме второто свойство и преписваме предишното уравнение така: 5^{3x − 2} = 5⁰. Сега приведохме уравнението във вид, който вече умеем да решаваме (вж. предишния абзац). Достатъчно е да сравним показателите. Тук се получава уравнението 3x − 2 = 0. Това вече е тривиално линейно уравнение.

Логаритмуване на показателно уравнение

Когато не можем да приведем уравнението във вид с еднакви основи, можем да опитаме метода на логаритмуването. Нашата учителка винаги казваше „Деца, когато не знаете как да продължите, просто логаритмувайте!“ и беше права. Ако имаш показателно уравнение с различни основи, при което не е възможно (или не е ефективно) да ги приведеш към една и съща основа, логаритмувай цялото уравнение. От първоначалното уравнение

$$a^{f(x)}=b^{g(x)}$$

получаваме

$$\lg a^{f(x)}=\lg b^{g(x)}$$

и според формулата за работа с логаритми получаваме

$$f(x)\cdot \lg a=g(x)\cdot \lg b.$$

Да вземем например това уравнение:

$$2^x\cdot 5^{2x}=3^{x-2}$$

Основите не са еднакви и не могат да се приведат към една основа, затова логаритмуваме цялото уравнение:

$$\lg (2^x\cdot 5^{2x})=\lg (3^{x-2})$$

Сега използваме свойствата на логаритмите и „разкриваме“ първата скоба

$$\lg 2^x+\lg 5^{2x}=\lg 3^{x-2}$$

Сега отново използваме свойствата на логаритмите и „преместваме“ показателя пред логаритъма.

$$x\cdot \lg 2+2x\cdot \lg 5=(x-2)\lg 3$$

Разкриваме скобите в дясната страна на уравнението:

$$x\cdot \lg 2+2x\cdot \lg 5=x\lg 3-2\lg 3$$

Изразите с неизвестното прехвърляме в лявата страна на уравнението:

$$x\cdot \lg 2+2x\cdot \lg 5-x\cdot \lg 3=-2\lg 3$$

След това изнасяме x пред скоби:

$$x(\lg 2+2\lg 5-\lg 3)=-2\lg 3$$

Изразяваме x:

$$x=\frac{-2\lg 3}{\lg 2+2\lg 5-\lg 3}$$

Това всъщност вече е резултатът. Можем още веднъж да приложим свойствата на логаритмите и от 2lg 5 да направим lg 5² = lg 25, но това наистина е последното, което можем да направим с резултата.

Полагане

Показателните уравнения можем да решаваме и с помощта на полагане. Ще го покажем на пример:

$$7^{2x}+7^x-6=0.$$

Полагаме например a = 7^x. След това в първоначалното уравнение заместваме 7^x с a. Получава се следното (вече не показателно) уравнение:

$$a^2+a-6=0.$$

Това е обикновено квадратно уравнение. Неговите корени са числата 2 и −3.

Сега заместваме тези корени в полагането a = 7^x, т.е. 2 = 7^x. Логаритмуваме:

$$\lg 2=x\cdot \lg 7$$

и изразяваме:

$$x=\frac{\lg 2}{\lg 7}$$

Втория корен вече не е нужно да заместваме, защото е отрицателен – след заместването би излязъл логаритъм от отрицателно число, което не е възможно. И решението на показателното уравнение е готово.

Примери

Реши следното показателно уравнение:

$$2^{3x-4}=8^{2x+1}.$$

На пръв поглед виждаме, че основите от двете страни не са равни. Жалко. Но на втори поглед със сигурност ще видим преобразуването, което можем да направим, за да получим еднакви основи. Вместо осмицата просто ще работим с 2³, което е равно на осем. С формулата за степен на степен получаваме:

$$\begin{array}{rcl}{2}^{3x-4}& =& 8^{2x+1}\\ 2^{3x-4}& =& 2^{3\cdot (2x+1)}\\ 2^{3x-4}& =& 2^{6x+3}\end{array}$$

В този момент основите вече са равни и можем да решим простото линейно уравнение 3x − 4 = 6x + 3:

$$\begin{array}{rcl}3x-4& =& 6x+3\\ -3x& =& 7\\ x& =& -\frac{7}{3}\end{array}$$

Реши следното показателно уравнение:

$$5^x\cdot 2^x={100}^{x-1}.$$

Тук както обикновено виждаме, че основите не са еднакви. Но вероятно всички се досещаме, че някак могат да се преобразуват. Към лявата страна прилагаме формулата за умножение на степени с един и същ показател, а към дясната страна прилагаме същата формула като преди малко и от 100^{x − 1} правим 10^{2(x − 1)}:

$$\begin{array}{rcl}{5}^x\cdot 2^x& =& {100}^{x-1}\\ {10}^x& =& {10}^{2(x-1)}\\ {10}^x& =& {10}^{2x-2}\end{array}$$

И вече отново имаме еднакви основи и можем да решаваме класическо линейно уравнение:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2x-2\\ -x& =& -2\\ x& =& 2\end{array}$$

Реши показателното уравнение:

$$3^x+3^{x+1}=108.$$

Както винаги, първо трябва да стигнем до една и съща основа. Тук ще ни помогне изнасянето пред скоби: изнасяме 3^x от израза отляво. После пресмятаме сбора в скобата и получаваме просто уравнение.

$$\begin{array}{rcl}{3}^x+3^{x+1}& =& 108\\ 3^x(1+3^1)& =& 108\\ 4\cdot 3^x& =& 108\\ 3^x& =& 27\end{array}$$

Вече преобразувахме лявата страна и е време да преобразуваме дясната. Съвсем ясно се вижда, че това е трета степен на тройката:

$$\begin{array}{rcl}{3}^x& =& 27\\ 3^x& =& 3^3\end{array}$$

Е, остава само последната стъпка – основите са равни, така че приравняваме показателите:

$$x=3$$

Реши следното показателно уравнение:

$$4^{2x}-6\cdot 4^x+8=0.$$

В този случай ще опитаме да получим от показателното уравнение обикновено квадратно уравнение. Най-добре стигаме до него с помощта на полагането 4^x = a:

$$a^2-6a+8=0$$

Сега вече имаме стандартно квадратно уравнение, така че пресмятаме дискриминантата и корените:

$$\begin{array}{rcl}D& =& 36-4\cdot 8\\ a_{1,2}& =& \frac{(6\pm 2)}{2}\\ a_1& =& 4\\ a_2& =& 2\end{array}$$

Тези междинни резултати трябва още да заместим обратно в полагането. Първият резултат:

$$\begin{array}{rcl}{4}^x& =& 4\\ x& =& 1\end{array}$$

Вторият резултат:

$$\begin{array}{rcl}{4}^x& =& 2\\ 4^x& =& 4^{\frac{1}{2}}\\ x& =& \frac{1}{2}\end{array}$$