Exponentialgleichungen

Aus einer gewöhnlichen Gleichung wird eine Exponentialgleichung, wenn sie die Variable im Exponenten enthält. Allgemein können wir eine Exponentialgleichung so schreiben: a^f(x) = b^g(x), wobei a, b>0 ist. Ein typisches Beispiel für eine Exponentialgleichung ist 2^x = 8. Hier ist ziemlich offensichtlich, dass das Ergebnis die Zahl drei ist, denn zwei hoch drei ist acht. Und jetzt folgt ein etwas mathematischeres Vorgehen.

Einfache Exponentialgleichung

Wenn wir eine Exponentialgleichung lösen wollen, ist es sehr praktisch, wenn wir sie auf die Form a^f(x) = b^g(x) mit a = b umformen können. Es ist nämlich klar: Haben wir gleiche Basen, sind die Potenzen genau dann gleich, wenn auch die Exponenten gleich sind. Wir lösen also nur noch die Gleichung f(x) = g(x). Das vorige Beispiel können wir folgendermaßen umformen: Die Acht schreiben wir als Potenz der Zwei, 2^x = 2³, und erhalten gleiche Basen. Deshalb setzen wir einfach beide Exponenten gleich, und erhalten damit zugleich das Ergebnis x = 3. Die Aufgabe können wir zum Beispiel so erschweren: 2^2x = 8, nach der Umformung erhalten wir wieder 2^2x = 2³ und rechnen 2x = 3, das Ergebnis ist 1,5.

Ein weiterer einfacher Fall tritt ein, wenn auf einer Seite der Gleichung eine Eins steht. Nehmen wir dieses Beispiel:

$5^{3 x - 2} = 1$

Das sieht kompliziert aus, aber wenn du die grundlegenden Beziehungen zwischen Potenzen kennst, weißt du, dass du eine Eins nur auf zwei Arten erhalten kannst – entweder ist die Basis eins, und dann ergibt eins hoch jede beliebige Zahl wieder eins, oder der Exponent ist gleich null – alles hoch null ist wieder eins. Wir nutzen natürlich die zweite Eigenschaft und schreiben die vorige Gleichung so um: 5^{3x − 2} = 5⁰. Jetzt haben wir die Gleichung in einer Form, die wir schon lösen können (siehe vorigen Absatz). Es genügt, die Exponenten zu vergleichen. Hier ergibt sich die Gleichung 3x − 2 = 0. Das ist schon eine triviale lineare Gleichung.

Exponentialgleichung logarithmieren

Wenn wir die Gleichung nicht auf eine Form mit gleichen Basen umformen können, können wir es mit dem Logarithmieren versuchen. Unsere Mathelehrerin sagte immer: „Kinder, wenn ihr nicht weiterwisst, dann logarithmiert das einfach!“, und sie hatte recht. Hast du eine Exponentialgleichung mit verschiedenen Basen, die sich nicht (oder nicht sinnvoll) auf gleiche Basis umformen lassen, logarithmiere die ganze Gleichung. Aus der ursprünglichen Gleichung

$a^{f (x)} = b^{g (x)}$

erhalten wir

$\lg a^{f (x)} = \lg b^{g (x)}$

und nach der Regel für das Rechnen mit Logarithmen erhalten wir

$f (x) \cdot \lg a = g (x) \cdot \lg b .$

Nehmen wir also dieses Beispiel

$2^{x} \cdot 5^{2 x} = 3^{x - 2}$

Die Basen sind nicht gleich und lassen sich nicht angleichen, deshalb logarithmieren wir die ganze Gleichung:

$\lg (2^{x} \cdot 5^{2 x}) = \lg (3^{x - 2})$

Jetzt nutzen wir die Logarithmengesetze und „multiplizieren“ die erste Klammer „aus“

$\lg 2^{x} + \lg 5^{2 x} = \lg 3^{x - 2}$

Jetzt nutzen wir wieder die Gesetze für Logarithmen und „holen“ den Exponenten vor den Logarithmus.

$x \cdot \lg 2 + 2 x \cdot \lg 5 = (x - 2) \lg 3$

Wir multiplizieren die rechte Seite der Gleichung aus:

$x \cdot \lg 2 + 2 x \cdot \lg 5 = x \lg 3 - 2 \lg 3$

Die Terme mit der Unbekannten bringen wir auf die linke Seite der Gleichung:

$x \cdot \lg 2 + 2 x \cdot \lg 5 - x \cdot \lg 3 = - 2 \lg 3$

Dann klammern wir x aus:

$x (\lg 2 + 2 \lg 5 - \lg 3) = - 2 \lg 3$

Wir lösen nach x auf:

$x = \frac{- 2 \lg 3}{\lg 2 + 2 \lg 5 - \lg 3}$

Das ist im Grunde schon das Ergebnis. Wir können noch einmal die Logarithmengesetze anwenden und aus 2lg 5 den Term lg 5² = lg 25 machen, aber das ist wirklich das Letzte, was wir mit dem Ergebnis noch tun können.

Substitution

Exponentialgleichungen können wir auch mithilfe einer Substitution lösen. Wir zeigen es an einem Beispiel:

$7^{2 x} + 7^{x} - 6 = 0.$

Jetzt setzen wir zum Beispiel a = 7^x. Dann formen wir die ursprüngliche Gleichung so um, dass wir für 7^x einfach a einsetzen. Es entsteht diese (nun keine Exponential-)Gleichung:

$a^{2} + a - 6 = 0.$

Das ist eine einfache quadratische Gleichung. Ihre Lösungen sind die Zahlen 2 und −3.

Diese Lösungen setzen wir nun in die Substitution a = 7^x ein. Also 2 = 7^x. Wir logarithmieren:

$\lg 2 = x \cdot \lg 7$

und lösen auf:

$x = \frac{\lg 2}{\lg 7}$

Die zweite Lösung müssen wir gar nicht erst einsetzen, weil sie negativ ist – nach dem Einsetzen würden wir den Logarithmus einer negativen Zahl erhalten, und das ist nicht möglich. Und schon ist das Ergebnis der Exponentialgleichung da.

Beispiele

Löse die folgende Exponentialgleichung:

$2^{3 x - 4} = 8^{2 x + 1} .$

Auf den ersten Blick sehen wir, dass die Basen auf beiden Seiten nicht gleich sind. Schade. Aber auf den zweiten Blick sehen wir sicher eine Umformung, mit der wir die gleichen Basen bekommen. Statt der Acht rechnen wir einfach mit 2³, das ist ja gleich acht. Mit der Regel für die Potenz einer Potenz erhalten wir:

$\begin{array}{rcl} 2^{3 x - 4} & = & 8^{2 x + 1} \\ 2^{3 x - 4} & = & 2^{3 \cdot (2 x + 1)} \\ 2^{3 x - 4} & = & 2^{6 x + 3} \end{array}$

Jetzt sind die Basen gleich, und wir können die einfache lineare Gleichung 3x − 4 = 6x + 3 berechnen:

$\begin{array}{rcl} 3 x - 4 & = & 6 x + 3 \\ - 3 x & = & 7 \\ x & = & - \frac{7}{3} \end{array}$

Löse die folgende Exponentialgleichung:

$5^{x} \cdot 2^{x} = 100^{x - 1} .$

Hier sehen wir wie üblich, dass die Basen nicht gleich sind. Aber wir ahnen wohl alle, dass sie sich irgendwie umformen lassen. Auf die linke Seite wenden wir die Regel für die Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponenten an, und auf die rechte Seite wenden wir dieselbe Regel wie eben an und machen aus 100^{x − 1} den Term 10^{2(x − 1)}:

$\begin{array}{rcl} 5^{x} \cdot 2^{x} & = & 100^{x - 1} \\ 10^{x} & = & 10^{2 (x - 1)} \\ 10^{x} & = & 10^{2 x - 2} \end{array}$

Und schon haben wir wieder gleiche Basen und können die klassische lineare Gleichung rechnen:

$\begin{array}{rcl} x & = & 2 x - 2 \\ - x & = & - 2 \\ x & = & 2 \end{array}$

Löse die Exponentialgleichung:

$3^{x} + 3^{x + 1} = 108.$

Wie immer müssen wir zuerst zu einer gleichen Basis gelangen. Hier hilft uns das Ausklammern: Wir klammern aus dem Term auf der linken Seite 3^x aus. Dann addieren wir den Term in der Klammer und erhalten eine einfache Gleichung.

$\begin{array}{rcl} 3^{x} + 3^{x + 1} & = & 108 \\ 3^{x} (1 + 3^{1}) & = & 108 \\ 4 \cdot 3^{x} & = & 108 \\ 3^{x} & = & 27 \end{array}$

Jetzt haben wir die linke Seite umgeformt, und es ist Zeit, die rechte Seite umzuformen. Wir sehen ziemlich klar, dass es sich um die dritte Potenz von drei handelt:

$\begin{array}{rcl} 3^{x} & = & 27 \\ 3^{x} & = & 3^{3} \end{array}$

Und jetzt bleibt nur noch der letzte Schritt – die Basen sind gleich, also setzen wir die Exponenten gleich:

$x = 3$

Löse die folgende Exponentialgleichung:

$4^{2 x} - 6 \cdot 4^{x} + 8 = 0.$

In diesem Fall versuchen wir, aus der Exponentialgleichung eine gewöhnliche quadratische Gleichung zu machen. Am besten gelangen wir dorthin mit der Substitution 4^x = a:

$a^{2} - 6 a + 8 = 0$

Jetzt haben wir eine ganz normale quadratische Gleichung, also berechnen wir die Diskriminante und die Lösungen:

$\begin{array}{rcl} D & = & 36 - 4 \cdot 8 \\ a_{1, 2} & = & \frac{(6 \pm 2)}{2} \\ a_{1} & = & 4 \\ a_{2} & = & 2 \end{array}$

Diese Teilergebnisse müssen wir noch in die Substitution einsetzen. Erstes Ergebnis:

$\begin{array}{rcl} 4^{x} & = & 4 \\ x & = & 1 \end{array}$

Zweites Ergebnis:

$\begin{array}{rcl} 4^{x} & = & 2 \\ 4^{x} & = & 4^{\frac{1}{2}} \\ x & = & \frac{1}{2} \end{array}$

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