Εκθετικές εξισώσεις

Μια συνηθισμένη εξίσωση γίνεται εκθετική, αν περιέχει τη μεταβλητή στον εκθέτη. Γενικά μια εκθετική εξίσωση μπορούμε να τη γράψουμε ως εξής: a^f(x) = b^g(x), όπου a, b>0. Ένα τυπικό παράδειγμα εκθετικής εξίσωσης είναι η 2^x = 8. Εδώ είναι αρκετά προφανές ότι το αποτέλεσμα θα είναι ο αριθμός τρία, γιατί το δύο στην τρίτη είναι οκτώ. Και τώρα ακολουθεί μια λίγο πιο μαθηματική διαδικασία.

Απλή εκθετική εξίσωση

Αν θέλουμε να λύσουμε μια εκθετική εξίσωση, είναι πολύ βολικό να μπορούμε να τη φέρουμε στη μορφή a^f(x) = b^g(x), όπου a = b. Είναι φανερό ότι, αν έχουμε ίσες βάσεις, οι δυνάμεις θα είναι ίσες όταν είναι ίσοι και οι εκθέτες. Λύνουμε λοιπόν πια μόνο την εξίσωση f(x) = g(x). Το προηγούμενο παράδειγμα μπορούμε να το επεξεργαστούμε ως εξής: το οκτώ το γράφουμε ως δύναμη του δύο, 2^x = 2³, και έτσι παίρνουμε ίσες βάσεις, οπότε αρκεί να εξισώσουμε τους δύο εκθέτες και βγαίνει αμέσως το αποτέλεσμα x = 3. Το παράδειγμα μπορούμε να το δυσκολέψουμε, για παράδειγμα ως εξής: 2^2x = 8 και μετά τη μετατροπή παίρνουμε πάλι 2^2x = 2³ και υπολογίζουμε 2x = 3, το αποτέλεσμα είναι 1,5.

Μια άλλη απλή περίπτωση έχουμε, όταν στο ένα μέλος της εξίσωσης υπάρχει το ένα. Ας πάρουμε αυτό το παράδειγμα:

$$5^{3x-2}=1$$

Φαίνεται δύσκολο, αλλά αν γνωρίζεις τις βασικές σχέσεις ανάμεσα στις δυνάμεις, ξέρεις ότι το ένα μπορείς να το πάρεις μόνο με δύο τρόπους – είτε η βάση είναι ένα και τότε το ένα σε οποιονδήποτε εκθέτη δίνει πάλι ένα, είτε ο εκθέτης είναι ίσος με μηδέν – οτιδήποτε υψωμένο στη μηδενική δίνει πάλι ένα. Εμείς φυσικά θα αξιοποιήσουμε τη δεύτερη ιδιότητα και θα ξαναγράψουμε την προηγούμενη εξίσωση ως εξής: 5^{3x − 2} = 5⁰. Τώρα φέραμε την εξίσωση σε μορφή που ήδη ξέρουμε να λύνουμε (βλέπε προηγούμενη παράγραφο). Αρκεί να συγκρίνουμε τους εκθέτες. Εδώ προκύπτει η εξίσωση 3x − 2 = 0. Αυτή είναι μια απλούστατη εξίσωση πρώτου βαθμού.

Λογαρίθμηση εκθετικής εξίσωσης

Αν δεν μπορούμε να φέρουμε την εξίσωση σε μορφή με ίσες βάσεις, μπορούμε να δοκιμάσουμε τη μέθοδο της λογαρίθμησης. Η καθηγήτριά μας έλεγε πάντα «Παιδιά, όταν δεν ξέρετε πώς να συνεχίσετε, πάρτε απλώς λογάριθμο!» και είχε δίκιο. Αν έχεις μια εκθετική εξίσωση με διαφορετικές βάσεις, και δεν είναι δυνατόν (ή δεν συμφέρει) να τις φέρεις στην ίδια βάση, πάρε λογάριθμο σε ολόκληρη την εξίσωση. Από την αρχική εξίσωση

$$a^{f(x)}=b^{g(x)}$$

παίρνουμε

$$\log a^{f(x)}=\log b^{g(x)}$$

και σύμφωνα με τον τύπο για τον υπολογισμό με λογαρίθμους βρίσκουμε

$$f(x)\cdot \log a=g(x)\cdot \log b.$$

Ας πάρουμε λοιπόν αυτό το παράδειγμα

$$2^x\cdot 5^{2x}=3^{x-2}$$

Οι βάσεις δεν είναι ίσες και δεν μπορούν να γίνουν ίσες, γι' αυτό παίρνουμε λογάριθμο σε ολόκληρη την εξίσωση:

$$\log (2^x\cdot 5^{2x})=\log (3^{x-2})$$

Τώρα χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των λογαρίθμων και «επιμερίζουμε» την πρώτη παρένθεση

$$\log 2^x+\log 5^{2x}=\log 3^{x-2}$$

Τώρα πάλι χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των λογαρίθμων και «μεταφέρουμε» τον εκθέτη μπροστά από τον λογάριθμο.

$$x\cdot \log 2+2x\cdot \log 5=(x-2)\log 3$$

Κάνουμε επιμερισμό στο δεύτερο μέλος της εξίσωσης:

$$x\cdot \log 2+2x\cdot \log 5=x\log 3-2\log 3$$

Τις παραστάσεις με τον άγνωστο τις πετάμε στο πρώτο μέλος της εξίσωσης:

$$x\cdot \log 2+2x\cdot \log 5-x\cdot \log 3=-2\log 3$$

Στη συνέχεια βγάζουμε κοινό παράγοντα το x:

$$x(\log 2+2\log 5-\log 3)=-2\log 3$$

Απομονώνουμε το x:

$$x=\frac{-2\log 3}{\log 2+2\log 5-\log 3}$$

Αυτό είναι ουσιαστικά το αποτέλεσμα. Μπορούμε ακόμη να εφαρμόσουμε ξανά τις ιδιότητες των λογαρίθμων και να κάνουμε το 2log 5 σε log 5² = log 25, αλλά αυτό είναι πια πραγματικά το τελευταίο που μπορούμε να κάνουμε με το αποτέλεσμα.

Αντικατάσταση

Τις εκθετικές εξισώσεις μπορούμε να τις λύσουμε και με τη βοήθεια αντικατάστασης. Θα το δούμε σε ένα παράδειγμα:

$$7^{2x}+7^x-6=0.$$

Τώρα θέτουμε a = 7^x. Στη συνέχεια μετατρέπουμε την αρχική εξίσωση, βάζοντας όπου 7^x το a. Προκύπτει η εξής (όχι πια εκθετική) εξίσωση:

$$a^2+a-6=0.$$

Αυτή είναι μια απλή εξίσωση δευτέρου βαθμού. Οι ρίζες της είναι οι αριθμοί 2 και −3.

Αυτές τις ρίζες τις βάζουμε τώρα στη σχέση a = 7^x. Δηλαδή 2 = 7^x. Παίρνουμε λογάριθμο:

$$\log 2=x\cdot \log 7$$

και απομονώνουμε:

$$x=\frac{\log 2}{\log 7}$$

Τη δεύτερη ρίζα δεν χρειάζεται να την αντικαταστήσουμε, γιατί είναι αρνητική – μετά την αντικατάσταση θα προέκυπτε λογάριθμος αρνητικού αριθμού, κάτι που δεν είναι δυνατό. Και η λύση της εκθετικής εξίσωσης είναι έτοιμη.

Παραδείγματα

Λύσε την εξής εκθετική εξίσωση:

$$2^{3x-4}=8^{2x+1}.$$

Με την πρώτη ματιά βλέπουμε ότι οι βάσεις στα δύο μέλη δεν είναι ίσες. Κρίμα. Με τη δεύτερη ματιά όμως θα δούμε σίγουρα τον μετασχηματισμό που μπορούμε να κάνουμε, για να πάρουμε τις ίδιες βάσεις. Αντί για το οκτώ θα χρησιμοποιήσουμε απλώς το 2³, που είναι ίσο με οκτώ. Με τον τύπο για τη δύναμη δύναμης παίρνουμε:

$$\begin{array}{rcl}{2}^{3x-4}& =& 8^{2x+1}\\ 2^{3x-4}& =& 2^{3\cdot (2x+1)}\\ 2^{3x-4}& =& 2^{6x+3}\end{array}$$

Τώρα οι βάσεις είναι ίσες και μπορούμε να λύσουμε την απλή εξίσωση πρώτου βαθμού 3x − 4 = 6x + 3:

$$\begin{array}{rcl}3x-4& =& 6x+3\\ -3x& =& 7\\ x& =& -\frac{7}{3}\end{array}$$

Λύσε την εξής εκθετική εξίσωση:

$$5^x\cdot 2^x={100}^{x-1}.$$

Εδώ, όπως συνήθως, βλέπουμε ότι οι βάσεις δεν είναι ίσες. Αλλά μάλλον όλοι υποψιαζόμαστε ότι κάπως θα μπορέσουμε να τις μετατρέψουμε. Στο πρώτο μέλος εφαρμόζουμε τον τύπο για τον πολλαπλασιασμό δυνάμεων με τον ίδιο εκθέτη και στο δεύτερο μέλος εφαρμόζουμε τον ίδιο τύπο όπως πριν λίγο και από το 100^{x − 1} κάνουμε 10^{2(x − 1)}:

$$\begin{array}{rcl}{5}^x\cdot 2^x& =& {100}^{x-1}\\ {10}^x& =& {10}^{2(x-1)}\\ {10}^x& =& {10}^{2x-2}\end{array}$$

Και πάλι έχουμε ίσες βάσεις και μπορούμε να λύσουμε μια κλασική εξίσωση πρώτου βαθμού:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2x-2\\ -x& =& -2\\ x& =& 2\end{array}$$

Λύσε την εκθετική εξίσωση:

$$3^x+3^{x+1}=108.$$

Όπως πάντα, πρέπει πρώτα να καταλήξουμε σε ίδια βάση. Εδώ θα μας βοηθήσει ο κοινός παράγοντας: βγάζουμε από την παράσταση του πρώτου μέλους το 3^x. Μετά προσθέτουμε την παράσταση μέσα στην παρένθεση και παίρνουμε μια απλή εξίσωση.

$$\begin{array}{rcl}{3}^x+3^{x+1}& =& 108\\ 3^x(1+3^1)& =& 108\\ 4\cdot 3^x& =& 108\\ 3^x& =& 27\end{array}$$

Τώρα επεξεργαστήκαμε το πρώτο μέλος και είναι ώρα να επεξεργαστούμε το δεύτερο. Είναι αρκετά φανερό ότι πρόκειται για την τρίτη δύναμη του τρία:

$$\begin{array}{rcl}{3}^x& =& 27\\ 3^x& =& 3^3\end{array}$$

Και μένει μόνο το τελευταίο βήμα – οι βάσεις είναι ίσες, άρα εξισώνουμε τους εκθέτες:

$$x=3$$

Λύσε την εξής εκθετική εξίσωση:

$$4^{2x}-6\cdot 4^x+8=0.$$

Σε αυτή την περίπτωση θα προσπαθήσουμε να πάρουμε από την εκθετική εξίσωση μια συνηθισμένη εξίσωση δευτέρου βαθμού. Σε αυτήν καταλήγουμε καλύτερα με τη βοήθεια της αντικατάστασης 4^x = a:

$$a^2-6a+8=0$$

Τώρα έχουμε μια τυπική εξίσωση δευτέρου βαθμού, οπότε υπολογίζουμε τη διακρίνουσα και τις ρίζες:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\Delta }& =& 36-4\cdot 8\\ a_{1,2}& =& \frac{(6\pm 2)}{2}\\ a_1& =& 4\\ a_2& =& 2\end{array}$$

Αυτά τα επιμέρους αποτελέσματα πρέπει ακόμη να τα βάλουμε πίσω στη σχέση της αντικατάστασης. Το πρώτο αποτέλεσμα:

$$\begin{array}{rcl}{4}^x& =& 4\\ x& =& 1\end{array}$$

Το δεύτερο αποτέλεσμα:

$$\begin{array}{rcl}{4}^x& =& 2\\ 4^x& =& 4^{\frac{1}{2}}\\ x& =& \frac{1}{2}\end{array}$$