積や商の形の不等式

いくつかの数の積は、0を含まず、負の因数が偶数個のときに正になります。マイナスとマイナスをかけるとプラスになるので、負の因数は2つずつ打ち消し合うからです。負の因数が奇数個残れば、積全体は負になります。一方の辺が積や商で、もう一方の辺が0である不等式は、すべてこの単純な考え方で解けます。

2次不等式の記事を読んだ人は、不等式 (x − 1)(x + 3) > 0 をもう解けるはずです。解 1 と −3 を求め、式が正になるところを調べればよいのでした。ここでは、同じ手順が因数2つの場合だけでなく、因数がいくつあっても使えることを見ていきます。

因数が0になる点で区切る方法

次の不等式から始めましょう。

$$(x+2)(x-1)(x-3)>0.$$

かっこは展開しません。展開すると3次式になり、ずっと扱いにくくなるからです。むしろ、積の形になっていることがいちばんありがたいのです。

まず、因数が0になる点、つまりどれかの因数が0になる数を求めます。かっこを1つずつ0とおきます。

$$\begin{array}{rcl}x+2& =& 0\Rightarrow x=-2\\ x-1& =& 0\Rightarrow x=1\\ x-3& =& 0\Rightarrow x=3\end{array}$$

これらの点で、数直線は4つの区間 (−∞, −2)、(−2, 1)、(1, 3)、(3, ∞) に分かれます。それぞれの区間の中では、どのかっこも0をまたがないので、符号も変わりません。したがって、各区間から数を1つ選び、それぞれのかっこの符号を調べれば十分です。

• 区間 (−∞, −2) からは、たとえば x = −3 を選びます。3つのかっこはすべて負で、(−1) · (−4) · (−6) です。負の因数が3つ、つまり奇数個なので、積は負になります。
• 区間 (−2, 1) からは0を代入します。2 · (−1) · (−3) で、負の因数は2つなので、積は正です。
• 区間 (1, 3) では2を使います。4 · 1 · (−1) で、負の因数は1つなので、積は負です。
• 区間 (3, ∞) では10を試します。すべてのかっこが正なので、積も正です。

符号の表にまとめるとわかりやすくなります。各行がかっこ1つに対応し、いちばん下が積全体です。積が正になる区間は赤で示しています。

求めたいのは、積が0より大きくなるところです。因数が0になる点そのものは解に含まれません。そこでは積が0になり、0は0より大きくないからです。解は次のとおりです。

$$x\in (-2,1)\cup (3,\mathrm{\infty }).$$

確かめ：x = 4 なら 6 · 3 · 1 = 18 となり、たしかに正の数です。

同じ結果は、関数 y = (x + 2)(x − 1)(x − 3) のグラフでも見られます。グラフはちょうど因数が0になる点で x 軸と交わり、隣り合う2点の間では、グラフ全体が軸より上にあるか、全体が下にあります。軸より上にあるところでは積が正で、その部分を赤で示しています。

符号は交互に変わるとは限らない

前の例では、符号はマイナス、プラス、マイナス、プラスと規則正しく交互に変わりました。そうなると、1つの区間だけで符号を調べ、残りは機械的に入れかえたくなります。しかし、それはやめておきましょう。次の不等式を見てください。

$$(x-1{)}^2(x+2)\geqq 0.$$

因数が0になる点は 1 と −2 で、区間は3つです。それぞれ数を1つずつ試します。

• x = −3：(−4)² · (−1) = 16 · (−1) = −16 で、負です。
• x = 0：(−1)² · 2 = 2 で、正です。
• x = 2：1² · 4 = 4 で、正です。

1を通っても符号は変わりませんでした。原因は2乗です。(x − 1)² は2乗なので、中身が何であっても、いつも正か0になります。そのため、偶数乗の因数は積の符号を決して変えません。符号を機械的に入れかえていたら、最後の区間はマイナスになり、解の大きな部分を見落としてしまうところでした。

したがって、式は (−2, 1) と (1, ∞) で正です。ただし、不等式は「以上」なので、式が0になる点も加えます。それは因数が0になる2つの点、−2 と 1 です。1は等号のおかげで解に含まれ、2つの区間は1つにつながります。

$$x\in [-2,\mathrm{\infty }).$$

等号を含まない不等号には注意しましょう。(x − 1)²(x + 2) > 0 なら1は解に含まれず、答えは (−2, 1) ∪ (1, ∞)、つまり穴のあいた区間になります。

商の形

商の符号は積の符号と同じなので、分数もまったく同じように扱えます。分子と分母の符号が同じなら商は正です。次の不等式を解きましょう。

$$\frac{x+2}{x-4}\leqq 0.$$

分子と分母の両方で、0になる点を求めます。x = −2 と x = 4 です。各区間から数を1つずつ代入します。

• x = −3：$\frac{-1}{-7}$ で、正です。
• x = 0：$\frac{2}{-4}$ で、負です。
• x = 5：$\frac{7}{1}$ で、正です。

求めたいのは負の値または0です。分数は区間 (−2, 4) で負になります。0になるのは分子が0のとき、つまり x = −2 のときで、これは解に含まれます。しかし4は、不等式の記号が何であっても決して解に含まれません。x = 4 では分母が0になり、0で割ることはできないからです。そのため、分母が0になる点はいつも除きます。

図では丸で見分けられます。−2 の黒丸はその数が解に含まれること、4の白丸は含まれないことを表します。答えは次のとおりです。

$$x\in [-2,4).$$

分母をかけてはいけない

因数が0になる点で区切る方法が使えるのは、不等式の一方の辺が0のときだけです。次の不等式を考えましょう。

$$\frac{2x-1}{x+1}\geqq 1.$$

両辺に分母 x + 1 をかけて $2x-1\geqq x+1$ とし、そこから $x\geqq 2$ としたくなります。しかし、x + 1 が正か負かはわかりません。負の数をかけると不等号の向きが逆になるのでした。そのため、これは同値変形ではなく、解の一部が消えてしまいました。詳しくは1次不等式の記事を参照してください。

正しくは、すべてを一方の辺に移します。

$$\frac{2x-1}{x+1}-1\geqq 0$$

1を、分母が同じ分数で表します。

$$\frac{2x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x+1}\geqq 0$$

分数を引き算します。

$$\frac{x-2}{x+1}\geqq 0$$

0になる点は 2 と −1 です。x = −2 なら $\frac{-4}{-1}=4$ で正、x = 0 なら $\frac{-2}{1}$ で負、x = 3 なら $\frac{1}{4}$ で正です。2は解に含まれます（そこで分数は0になります）が、マイナス1は分母が0になる点なので含まれません。したがって、解は次のとおりです。

$$x\in (-\mathrm{\infty },-1)\cup [2,\mathrm{\infty }).$$

分母をかけると本当に解の一部が失われていたことは、元の不等式に x = −2 を代入すれば確かめられます。$\frac{-5}{-1}=5$ で、5は1より大きくなります。合っています。