Eksponenttiyhtälö

Tavallisesta yhtälöstä tulee eksponenttiyhtälö, kun siinä on muuttuja eksponentissa. Yleisesti eksponenttiyhtälö voitaisiin kirjoittaa näin: a^f(x) = b^g(x), missä a, b>0. Tyypillinen esimerkki eksponenttiyhtälöstä on vaikkapa 2^x = 8. Tässä on aika ilmeistä, että tulos on kolme, koska kaksi potenssiin kolme on kahdeksan. Seuraavaksi tulee hieman matemaattisempi menetelmä.

Yksinkertainen eksponenttiyhtälö

Eksponenttiyhtälön ratkaiseminen on erittäin kätevää, jos yhtälö voidaan muuntaa muotoon a^f(x) = b^g(x), missä a = b. On nimittäin ilmeistä, että kun kantaluvut ovat samat, potenssit ovat yhtä suuret, jos myös eksponentit ovat samat. Ratkaistaan siis enää yhtälö f(x) = g(x). Edellistä esimerkkiä voidaan muuntaa seuraavasti: kahdeksan kirjoitetaan kakkosen potenssina 2^x = 2³, jolloin saadaan samat kantaluvut, joten eksponentit vain asetetaan yhtä suuriksi, ja tulokseksi tulee x = 3. Esimerkistä voidaan tehdä vaikeampi vaikkapa näin: 2^2x = 8, ja muuntamisen jälkeen saadaan taas 2^2x = 2³ ja lasketaan 2x = 3, tulos on 1,5.

Toinen yksinkertainen tapaus on se, että yhtälön toisella puolella on ykkönen. Otetaan tämä esimerkki:

$$5^{3x-2}=1$$

Se näyttää monimutkaiselta, mutta jos tunnet potenssien perussäännöt, tiedät, että ykkösen voi saada vain kahdella tavalla: joko kantaluku on yksi, jolloin yksi mihin tahansa potenssiin on taas yksi, tai eksponentti on nolla – mikä tahansa luku potenssiin nolla on taas yksi. Käytetään tietysti jälkimmäistä ominaisuutta ja kirjoitetaan edellinen yhtälö näin: 5^{3x − 2} = 5⁰. Nyt yhtälö on muodossa, joka osataan jo ratkaista (ks. edellinen kappale). Riittää verrata eksponentteja. Tässä tulee yhtälö 3x − 2 = 0. Se on jo triviaali ensimmäisen asteen yhtälö.

Eksponenttiyhtälön ratkaiseminen logaritmin avulla

Jos yhtälöä ei voi muuntaa muotoon, jossa kantaluvut ovat samat, voidaan kokeilla logaritmin ottamista. Matikanopettajani sanoi aina: ”Lapset, jos ette tiedä, miten jatkaa, ottakaa vain logaritmi!” – ja hän oli oikeassa. Jos eksponenttiyhtälössä on eri kantaluvut eikä niitä voi (tai ei kannata) muuntaa samaksi kantaluvuksi, ota koko yhtälöstä logaritmi. Alkuperäisestä yhtälöstä

$$a^{f(x)}=b^{g(x)}$$

saadaan

$$\lg a^{f(x)}=\lg b^{g(x)}$$

ja logaritmien laskusäännön mukaan saadaan

$$f(x)\cdot \lg a=g(x)\cdot \lg b.$$

Otetaan siis tämä esimerkki

$$2^x\cdot 5^{2x}=3^{x-2}$$

Kantaluvut eivät ole samat, eikä niitä voi muuttaa samoiksi, joten otetaan koko yhtälöstä logaritmi:

$$\lg (2^x\cdot 5^{2x})=\lg (3^{x-2})$$

Nyt käytetään logaritmien laskusääntöjä ja ”kerrotaan auki” ensimmäinen sulku

$$\lg 2^x+\lg 5^{2x}=\lg 3^{x-2}$$

Nyt käytetään taas logaritmien laskusääntöjä ja ”siirretään” eksponentti logaritmin eteen.

$$x\cdot \lg 2+2x\cdot \lg 5=(x-2)\lg 3$$

Kerrotaan auki yhtälön oikea puoli:

$$x\cdot \lg 2+2x\cdot \lg 5=x\lg 3-2\lg 3$$

Termit, joissa on tuntematon, siirretään yhtälön vasemmalle puolelle:

$$x\cdot \lg 2+2x\cdot \lg 5-x\cdot \lg 3=-2\lg 3$$

Seuraavaksi erotetaan yhteinen tekijä x:

$$x(\lg 2+2\lg 5-\lg 3)=-2\lg 3$$

Ratkaistaan x:

$$x=\frac{-2\lg 3}{\lg 2+2\lg 5-\lg 3}$$

Tämä on käytännössä jo tulos. Logaritmien laskusääntöjä voitaisiin vielä käyttää uudelleen ja muuttaa 2lg 5 muotoon lg 5² = lg 25, mutta se on jo todella viimeinen asia, jonka tuloksella voi tehdä.

Sijoitus

Eksponenttiyhtälöitä voidaan ratkaista myös sijoituksen avulla. Näytetään se esimerkillä:

$$7^{2x}+7^x-6=0.$$

Merkitään nyt vaikkapa a = 7^x. Muunnetaan alkuperäinen yhtälö niin, että 7^x:n tilalle sijoitetaan a. Syntyy tällainen yhtälö, joka ei ole enää eksponenttiyhtälö:

$$a^2+a-6=0.$$

Tämä on tavallinen toisen asteen yhtälö. Sen juuret ovat luvut 2 ja −3.

Nämä juuret sijoitetaan nyt sijoitusyhtälöön a = 7^x. Siis 2 = 7^x. Otetaan logaritmi:

$$\lg 2=x\cdot \lg 7$$

ja ratkaistaan:

$$x=\frac{\lg 2}{\lg 7}$$

Toista juurta ei tarvitse sijoittaa, koska se on negatiivinen – sijoittamalla saataisiin negatiivisen luvun logaritmi, mikä ei ole mahdollista. Ja eksponenttiyhtälön ratkaisu on valmis.

Esimerkkejä

Ratkaise seuraava eksponenttiyhtälö:

$$2^{3x-4}=8^{2x+1}.$$

Ensi silmäyksellä nähdään, että kantaluvut eivät ole samat molemmilla puolilla. Harmi. Mutta toisella silmäyksellä nähdään varmasti muunnos, jolla saadaan samat kantaluvut. Kahdeksan sijasta lasketaan yksinkertaisesti luvulla 2³, joka on kahdeksan. Käyttämällä potenssin potenssin kaavaa saadaan:

$$\begin{array}{rcl}{2}^{3x-4}& =& 8^{2x+1}\\ 2^{3x-4}& =& 2^{3\cdot (2x+1)}\\ 2^{3x-4}& =& 2^{6x+3}\end{array}$$

Nyt kantaluvut ovat samat, ja voidaan ratkaista yksinkertainen ensimmäisen asteen yhtälö 3x − 4 = 6x + 3:

$$\begin{array}{rcl}3x-4& =& 6x+3\\ -3x& =& 7\\ x& =& -\frac{7}{3}\end{array}$$

Ratkaise eksponenttiyhtälö:

$$5^x\cdot 2^x={100}^{x-1}.$$

Tässäkin nähdään tavalliseen tapaan, että kantaluvut eivät ole samat. Mutta varmaan kaikki aavistavat, että ne voi jotenkin muuntaa. Vasemmalle puolelle käytetään samaeksponenttisten potenssien tulon kaavaa ja oikealle puolelle samaa kaavaa kuin äsken, ja luvusta 100^{x − 1} tehdään 10^{2(x − 1)}:

$$\begin{array}{rcl}{5}^x\cdot 2^x& =& {100}^{x-1}\\ {10}^x& =& {10}^{2(x-1)}\\ {10}^x& =& {10}^{2x-2}\end{array}$$

Ja taas kantaluvut ovat samat, ja voidaan ratkaista tavallinen ensimmäisen asteen yhtälö:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2x-2\\ -x& =& -2\\ x& =& 2\end{array}$$

Ratkaise eksponenttiyhtälö:

$$3^x+3^{x+1}=108.$$

Kuten aina, samaan kantalukuun täytyy ensin päästä. Tässä auttaa yhteisen tekijän erottaminen: vasemmalta puolelta erotetaan 3^x. Sitten lasketaan sulun sisällä oleva lauseke yhteen, ja saadaan yksinkertainen yhtälö.

$$\begin{array}{rcl}{3}^x+3^{x+1}& =& 108\\ 3^x(1+3^1)& =& 108\\ 4\cdot 3^x& =& 108\\ 3^x& =& 27\end{array}$$

Nyt vasen puoli on muunnettu, ja on aika muuntaa oikea puoli. Aivan selvästi kyseessä on kolmosen kolmas potenssi:

$$\begin{array}{rcl}{3}^x& =& 27\\ 3^x& =& 3^3\end{array}$$

Ja jäljellä on enää viimeinen vaihe – kantaluvut ovat samat, joten eksponentit asetetaan yhtä suuriksi:

$$x=3$$

Ratkaise seuraava eksponenttiyhtälö:

$$4^{2x}-6\cdot 4^x+8=0.$$

Tässä tapauksessa eksponenttiyhtälöstä yritetään päästä tavalliseen toisen asteen yhtälöön. Siihen pääsee parhaiten sijoituksella 4^x = a:

$$a^2-6a+8=0$$

Nyt tämä on tavallinen toisen asteen yhtälö, joten lasketaan diskriminantti ja juuret:

$$\begin{array}{rcl}D& =& 36-4\cdot 8\\ a_{1,2}& =& \frac{(6\pm 2)}{2}\\ a_1& =& 4\\ a_2& =& 2\end{array}$$

Nämä välitulokset täytyy vielä sijoittaa takaisin sijoitusyhtälöön. Ensimmäinen tulos:

$$\begin{array}{rcl}{4}^x& =& 4\\ x& =& 1\end{array}$$

Toinen tulos:

$$\begin{array}{rcl}{4}^x& =& 2\\ 4^x& =& 4^{\frac{1}{2}}\\ x& =& \frac{1}{2}\end{array}$$