無理方程式

無理方程式とは、未知数が根号（ルート）の中に入っている方程式のことです。名前は、方程式が「無理」なことを言っているわけではありません。根号が出てきて、そこから無理数が出てくることが多い、というだけの意味です。たとえば次の方程式です。

$$\sqrt{x+3}=5$$

根号をなくすには、両辺を2乗します。${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$ なので、2乗と根号は打ち消し合います。

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+3}& =& 5{/}^2\\ x+3& =& 25/-3\\ x& =& 22\end{array}$$

念のため、解の確かめもしておきます。答えを問題の左辺と右辺に別々に代入して比べます。

$$\begin{array}{rcl}(\text{左辺})& =& \sqrt{22+3}=\sqrt{25}=5\\ (\text{右辺})& =& 5\end{array}$$

左辺と右辺が一致しました。この代入はやりすぎに見えるかもしれませんが、無理方程式では、2乗するのと同じく計算に欠かせない手順です。確かめをしなければ、答えが出たとはいえません。手順全体は4つにまとめられます。根号だけを一方の辺に残す、両辺を2乗する、出てきた方程式を解く、最後に解を確かめる、の4つです。

確かめが必ず必要な理由

2乗することは同値変形ではありません。2つの数が等しければ、その2乗も等しくなります。しかし、逆は成り立ちません。3 ≠ − 3 ですが、3² = (−3)² = 9 です。そのため、両辺を2乗すると、元の方程式より解の多い方程式ができることがあります。次の方程式を見てみましょう。

$$\sqrt{x+2}=x.$$

両辺を2乗し、すべてを一方の辺に移します。

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+2}& =& x{/}^2\\ x+2& =& x^2/-x-2\\ 0& =& x^2-x-2\end{array}$$

2次方程式が得られました。因数分解すると (x − 2)(x + 1) = 0 なので、解は x = 2 と x = −1 です。ここで確かめをします。まず2です。

$$\begin{array}{rcl}(\text{左辺})& =& \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\\ (\text{右辺})& =& 2\end{array}$$

左辺と右辺は等しいので、2は解です。では、マイナス1はどうでしょうか。

$$\begin{array}{rcl}(\text{左辺})& =& \sqrt{-1+2}=\sqrt{1}=1\\ (\text{右辺})& =& -1\end{array}$$

左辺は1、右辺はマイナス1で、両辺は等しくありません。計算ではきちんと出てきたにもかかわらず、マイナス1は解ではありません。方程式の解はただ1つ、x = 2 です。

この無縁解（にせの解）はどこから来たのでしょうか。図を見るとよくわかります。方程式の左辺は関数 $y=\sqrt{x+2}$（赤）、右辺は直線 y = x（青）です。方程式の解は2つのグラフが交わるところで、それは点 (2, 2)、つまり x = 2 だけです。

灰色の破線は関数 $y=-\sqrt{x+2}$ です。$y=\sqrt{x+2}$ と $y=-\sqrt{x+2}$ をどちらも2乗するとマイナスが消え、どちらも同じ y² = x + 2 になります。つまり、2乗すると方程式 $\sqrt{x+2}=x$ と $-\sqrt{x+2}=x$ が1つにまとまってしまい、2次方程式はその両方の交点を求めることになります。灰色の曲線は直線と点 (−1, −1) で交わっており、マイナス1はまさにここから来たのです。このような紛れこんだ解を確実に見つけられるのは、解の確かめだけです。

図からはもう一つわかることがあります。赤と灰色のどちらの根号のグラフも、x = −2 から始まっています。根号の中は負の数であってはいけないので、方程式が意味をもつのは $x\geqq -2$ のときだけです。にせの解であるマイナス1はこの範囲に入っているので、この条件では見抜けません。見つけ出せるのは、最後の確かめだけです。

まず根号だけを一方の辺に残す

次の方程式に取り組みましょう。

$$\sqrt{2x-3}+3=x.$$

3も含めて左辺をそのまま2乗したくなります。しかし、和の2乗は項ごとには計算できず、(a + b)² = a² + 2ab + b² となるので、次のようになってしまいます。

$${(\sqrt{2x-3}+3)}^2=2x-3+6\sqrt{2x-3}+9$$

これでは根号が方程式に残ったままで、しかももっと扱いにくい形になります。そのため、まず根号だけを一方の辺に残し、それから2乗します。

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{2x-3}+3& =& x/-3\\ \sqrt{2x-3}& =& x-3{/}^2\\ 2x-3& =& x^2-6x+9/-2x+3\\ 0& =& x^2-8x+12\end{array}$$

右辺も同じ公式で2乗しました。(x − 3)² = x² − 6x + 9 です。2次方程式は (x − 6)(x − 2) = 0 と因数分解でき、解は x = 6 と x = 2 です。確かめは6から始めます。

$$\begin{array}{rcl}(\text{左辺})& =& \sqrt{2\cdot 6-3}+3=\sqrt{9}+3=6\\ (\text{右辺})& =& 6\end{array}$$

左辺と右辺が等しいので、6は条件を満たします。次は2です。

$$\begin{array}{rcl}(\text{左辺})& =& \sqrt{2\cdot 2-3}+3=\sqrt{1}+3=4\\ (\text{右辺})& =& 2\end{array}$$

左辺は4、右辺は2で、等しくありません。落とし穴でした。解は x = 6 だけです。

なぜ2は確かめで不合格になったのでしょうか。根号だけを残したあとの方程式は $\sqrt{2x-3}=x-3$ でした。根号の値は負になることがないので、この方程式が成り立つのは x − 3 が0以上になる x だけです。x = 2 では右辺が −1 になりますが、根号の値が負になることはありません。この条件は前もって調べておくこともできますが、最後に代入するほうが楽で、すべてを一度にチェックできます。

確かめをすると、解が1つも残らないこともあります。方程式 $\sqrt{x}+5=1$ は、根号だけを残すと $\sqrt{x}=-4$ になります。2乗すると x = 16 が出てきますが、確かめると左辺は $\sqrt{16}+5=9$、右辺は1で、等しくありません。この方程式には解がありません。根号の値がマイナス4になることはないので、これは最初からわかっていたことでもあります。

根号が2つある場合

方程式に根号が2つあると、ふつうは1回2乗するだけではすみません。しかし手順は同じです。根号だけを残し、2乗し、根号が残っていればもう一度くり返します。次の方程式を解いてみましょう。

$$\sqrt{x+5}-\sqrt{x}=1.$$

2つの根号を同時に一方の辺に残すことはできないので、せめて $\sqrt{x}$ を右辺に移し、根号が別々の辺にあるようにします。左辺の差をそのまま2乗すると積 $\sqrt{x+5}\cdot \sqrt{x}$ が出てきて、解くのがずっと面倒になるからです。そこで、次のように2乗します。

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+5}& =& 1+\sqrt{x}{/}^2\\ x+5& =& 1+2\sqrt{x}+x\end{array}$$

右辺ではまた2項の式を2乗したので、真ん中の項 $2\sqrt{x}$ が現れました。うまい具合に両辺の1次の項が消え、根号は1つだけ残ります。

$$\begin{array}{rcl}x+5& =& 1+2\sqrt{x}+x/-x-1\\ 4& =& 2\sqrt{x}/÷2\\ 2& =& \sqrt{x}{/}^2\\ 4& =& x\end{array}$$

2回2乗したので、ここでは確かめがなおさら大切です。

$$\begin{array}{rcl}(\text{左辺})& =& \sqrt{4+5}-\sqrt{4}=3-2=1\\ (\text{右辺})& =& 1\end{array}$$

左辺と右辺が一致するので、方程式の解は x = 4 です。