三角不等式

三角不等式は三角方程式と似ていますが、等号の代わりに <、>、$\leqq$、$\geqq$ のどれかがあります。たとえば次の不等式です。

$$\sin x>\frac{1}{2}$$

サインが2分の1より大きくなるすべての x を求めます。作業の一部はもう済んでいます。方程式 $\sin x=\frac{1}{2}$ は三角方程式の記事で解き、1周の中に2つの解 $\frac{\pi }{6}$ と $\frac{5\pi }{6}$ が見つかりました。この2つの数が境目になります。その間のどこかでサインは2分の1より大きく、それ以外では小さくなります。あとは、どこで大きくなるかを調べるだけです。

単位円で考える

いちばんわかりやすいのは単位円で考える方法です。角のサインは円周上の点の y 座標なので、不等式 $\sin x>\frac{1}{2}$ は、「円周上のどの点が直線 $y=\frac{1}{2}$ より上にあるか」という問いと同じです。

青い直線は円と2点で交わり、それぞれ角 $\frac{\pi }{6}$ と $\frac{5\pi }{6}$ に対応します。直線より上にあるのは、その間の赤い弧だけです。動径が $\frac{\pi }{6}$ から $\frac{5\pi }{6}$ まで反時計回りに回っている間は、サインは2分の1より大きくなります。弧を出たとたん、2分の1より小さくなります。

両端の点は解に含まれないので、図では白丸になっています。そこではサインがちょうど $\frac{1}{2}$ になりますが、求めたいのは等号を含まない「より大きい」場合だからです。したがって、1周の中では次の開区間が得られます。

$$(\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}).$$

しかし、サインは周期 2π の周期関数で、1周するたびにすべてがくり返されます。そこで、両端に 2kπ を加えると、次の答えが得られます。

$$x\in (\frac{\pi }{6}+2k\pi ,\frac{5\pi }{6}+2k\pi ),$$

ただし、k ∈ ℤ です。k = 0 なら図の弧、k = 1 なら同じ弧を1周ずらしたもの、つまり区間 $(\frac{13\pi }{6},\frac{17\pi }{6})$ です。解は、2π ずつ離れて並ぶ無数の区間です。

念のため確かめておきましょう。区間に含まれる $x=\frac{\pi }{2}$ を試すと、$\sin \frac{\pi }{2}=1$ で、1はたしかに2分の1より大きくなります。逆に x = π は区間に含まれず、sin π = 0 は2分の1より大きくありません。答えは合っています。

0をまたぐ区間

次はコサインです。

$$\cos x>\frac{1}{2}$$

コサインは円周上の点の x 座標なので、横軸上の $\frac{1}{2}$ を通る縦の直線より右にある点を探します。方程式 $\cos x=\frac{1}{2}$ も、最初の1周の中に2つの解 $\frac{\pi }{3}$ と $\frac{5\pi }{3}$ をもちます（$\frac{\pi }{3}$ は有名角の60°で、$\frac{5\pi }{3}$ は x 軸に関して対称な下側の点です）。直線より右にある弧は、下の点 $\frac{5\pi }{3}$ から始まり、0を通って上の点 $\frac{\pi }{3}$ で終わります。

ここで、次のように書きたくなります。

$$(\frac{5\pi }{3},\frac{\pi }{3}).$$

しかし、これは落とし穴です。区間の左端は右端より小さくなければなりませんが、$\frac{5\pi }{3}$ は $\frac{\pi }{3}$ より大きいのです。このような区間は空で、$\frac{5\pi }{3}$ より大きく、しかも $\frac{\pi }{3}$ より小さい数は存在しません。

直し方は簡単です。$\frac{5\pi }{3}$ の代わりに、円周上の同じ点を、1周分戻った角で表します。

$$\frac{5\pi }{3}-2\pi =-\frac{\pi }{3}.$$

角 $-\frac{\pi }{3}$ は、円周上で $\frac{5\pi }{3}$ と同じ場所を指します。ただ、時計回りに回ってそこに行くだけです。これで左端が右端より小さくなり、答えは次のようになります。

$$x\in (-\frac{\pi }{3}+2k\pi ,\frac{\pi }{3}+2k\pi ),$$

ただし、k ∈ ℤ です。これはコサインのグラフでもよくわかります。

0のまわりの赤い部分は、ちょうど k = 0 の区間にあたります。右側の $\frac{5\pi }{3}$ から始まる部分は、その区間を k = 1 にずらしたもの、つまり $(\frac{5\pi }{3},\frac{7\pi }{3})$ です。これも正しい書き方で、k が違うだけです。間違いなのは、両端が入れかわった書き方だけです。

タンジェント

最後の例です。

$$\tan x\geqq 1$$

タンジェントは $x=\frac{\pi }{4}$ で1になります。タンジェントのグラフはそれぞれの枝の上でずっと増加するので、x が少し大きくなればタンジェントは1より大きくなります。しかし増加するのは $\frac{\pi }{2}$ までで、そこで無限大に発散し、その先はまたマイナス無限大から始まります。したがって、グラフの1つの枝の上では、$\frac{\pi }{4}$ から $\frac{\pi }{2}$ までのすべての値が不等式を満たします。

ここでは、よく2つの間違いが起こります。1つ目は周期です。タンジェントはサインのように 2π ごとではなく、π ごとにくり返します。習慣で 2kπ を加えてしまうと、たとえばタンジェントがやはり1になる $x=\frac{5\pi }{4}$ など、解の半分を見落としてしまいます。

2つ目の落とし穴は右端にあります。不等式は等号を含み、$\tan \frac{\pi }{4}=1$ はそれを満たすので、左端 $\frac{\pi }{4}$ は解に含まれます。しかし、右端 $\frac{\pi }{2}$ は、等号を含む不等式でも決して含まれません。そこではタンジェントが定義されないので、1以上にはなりえないからです。問題に $\geqq$ があるからといって、閉区間 $[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}]$ と書くのは間違いです。

したがって、正しい答えは次のとおりです。

$$x\in [\frac{\pi }{4}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi ),$$

ただし、k ∈ ℤ です。確かめとして、k = 0 の区間に含まれる $x=\frac{\pi }{3}$ を代入します。$\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}\fallingdotseq 1.73$ で、たしかに1より大きくなります。