Ecuația exponențială

O ecuație obișnuită devine exponențială dacă are variabila la exponent. În general am putea scrie o ecuație exponențială astfel: a^f(x) = b^g(x), unde a, b>0. Un exemplu tipic de ecuație exponențială poate fi 2^x = 8. Aici este destul de evident că rezultatul va fi numărul trei, pentru că doi la puterea a treia este opt. Și acum urmează un procedeu puțin mai matematic.

Ecuația exponențială simplă

Dacă vrem să rezolvăm o ecuație exponențială, este foarte avantajos să putem aduce ecuația la forma a^f(x) = b^g(x), unde a = b. Este evident că, dacă avem aceleași baze, puterile vor fi egale în cazul în care și exponenții sunt egali. Rezolvăm deci doar ecuația f(x) = g(x). Exemplul precedent îl putem transforma astfel: scriem opt ca putere a lui doi, 2^x = 2³, și obținem astfel baze egale, deci egalăm doar cei doi exponenți și ne iese totodată rezultatul x = 3. Exemplul îl putem complica, de exemplu, așa: 2^2x = 8 și după transformare obținem din nou 2^2x = 2³ și calculăm 2x = 3, rezultatul este 1,5.

Un alt caz simplu apare dacă într-un membru al ecuației se află unu. Să luăm acest exemplu:

$$5^{3x-2}=1$$

Pare complicat, dar dacă cunoști relațiile de bază dintre puteri, știi că pe unu îl poți obține doar în două feluri – fie baza este unu și atunci unu la orice exponent dă din nou unu, fie exponentul este zero – orice număr la puterea zero este din nou unu. Noi folosim, desigur, a doua proprietate și rescriem ecuația precedentă astfel: 5^{3x − 2} = 5⁰. Acum am adus ecuația la o formă pe care știm deja s-o rezolvăm (vezi paragraful precedent). Este suficient să comparăm exponenții. Aici obținem ecuația 3x − 2 = 0. Aceasta este o ecuație de gradul întâi trivială.

Logaritmarea ecuației exponențiale

În cazul în care nu putem aduce ecuația la o formă cu aceleași baze, putem încerca metoda logaritmării. Profa noastră de mate spunea mereu: „Copii, când nu mai știți ce să faceți, logaritmați!” și avea dreptate. Dacă ai o ecuație exponențială cu baze diferite, pe care nu este posibil (sau nu este eficient) să le aduci la aceeași bază, logaritmează întreaga ecuație. Din ecuația inițială

$$a^{f(x)}=b^{g(x)}$$

obținem

$$\lg a^{f(x)}=\lg b^{g(x)}$$

și, conform formulei pentru lucrul cu logaritmi, obținem

$$f(x)\cdot \lg a=g(x)\cdot \lg b.$$

Să luăm deci acest exemplu

$$2^x\cdot 5^{2x}=3^{x-2}$$

Bazele nu sunt egale și nu pot fi aduse la aceeași bază, de aceea logaritmăm întreaga ecuație:

$$\lg (2^x\cdot 5^{2x})=\lg (3^{x-2})$$

Acum folosim proprietățile logaritmilor și „desfacem” prima paranteză

$$\lg 2^x+\lg 5^{2x}=\lg 3^{x-2}$$

Acum folosim din nou proprietățile logaritmilor și „mutăm” exponentul în fața logaritmului.

$$x\cdot \lg 2+2x\cdot \lg 5=(x-2)\lg 3$$

Desfacem parantezele în membrul drept al ecuației:

$$x\cdot \lg 2+2x\cdot \lg 5=x\lg 3-2\lg 3$$

Termenii cu necunoscută îi mutăm în membrul stâng al ecuației:

$$x\cdot \lg 2+2x\cdot \lg 5-x\cdot \lg 3=-2\lg 3$$

Apoi scoatem factorul comun x:

$$x(\lg 2+2\lg 5-\lg 3)=-2\lg 3$$

Izolăm pe x:

$$x=\frac{-2\lg 3}{\lg 2+2\lg 5-\lg 3}$$

Acesta este de fapt rezultatul. Putem aplica încă o dată proprietățile logaritmilor și din 2lg 5 să facem lg 5² = lg 25, dar este într-adevăr ultimul lucru pe care îl mai putem face cu rezultatul.

Substituția

Ecuațiile exponențiale le putem rezolva și cu ajutorul substituției. Arătăm asta pe un exemplu:

$$7^{2x}+7^x-6=0.$$

Acum notăm, de exemplu, a = 7^x. Transformăm ecuația inițială înlocuind 7^x cu a. Rezultă următoarea ecuație (care nu mai este exponențială):

$$a^2+a-6=0.$$

Aceasta este o simplă ecuație de gradul al doilea. Soluțiile ei sunt numerele 2 și −3.

Înlocuim acum aceste soluții în substituția a = 7^x. Adică 2 = 7^x. Logaritmăm:

$$\lg 2=x\cdot \lg 7$$

și izolăm:

$$x=\frac{\lg 2}{\lg 7}$$

A doua soluție nu mai trebuie înlocuită, pentru că este negativă – după înlocuire ne-ar ieși logaritmul unui număr negativ, ceea ce nu este posibil. Și rezultatul ecuației exponențiale este gata.

Exemple

Rezolvă următoarea ecuație exponențială:

$$2^{3x-4}=8^{2x+1}.$$

La prima vedere observăm că bazele din cei doi membri nu sunt egale. Păcat. Dar la a doua vedere vom vedea sigur o transformare pe care o putem face ca să obținem aceleași baze. În loc de opt vom calcula pur și simplu cu 2³, care este egal cu opt. Folosind formula pentru puterea unei puteri obținem:

$$\begin{array}{rcl}{2}^{3x-4}& =& 8^{2x+1}\\ 2^{3x-4}& =& 2^{3\cdot (2x+1)}\\ 2^{3x-4}& =& 2^{6x+3}\end{array}$$

În acest moment bazele sunt egale și putem rezolva simpla ecuație de gradul întâi 3x − 4 = 6x + 3:

$$\begin{array}{rcl}3x-4& =& 6x+3\\ -3x& =& 7\\ x& =& -\frac{7}{3}\end{array}$$

Rezolvă următoarea ecuație exponențială:

$$5^x\cdot 2^x={100}^{x-1}.$$

Aici, ca de obicei, vedem că bazele nu sunt egale. Dar probabil bănuim cu toții că se pot aduce cumva la aceeași bază. În membrul stâng aplicăm formula pentru înmulțirea puterilor cu același exponent, iar în membrul drept aplicăm aceeași formulă ca adineauri și din 100^{x − 1} facem 10^{2(x − 1)}:

$$\begin{array}{rcl}{5}^x\cdot 2^x& =& {100}^{x-1}\\ {10}^x& =& {10}^{2(x-1)}\\ {10}^x& =& {10}^{2x-2}\end{array}$$

Și iar avem aceleași baze și putem rezolva o ecuație clasică de gradul întâi:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2x-2\\ -x& =& -2\\ x& =& 2\end{array}$$

Rezolvă ecuația exponențială:

$$3^x+3^{x+1}=108.$$

Ca întotdeauna, trebuie mai întâi să ajungem la aceeași bază. Aici ne ajută scoaterea factorului comun: scoatem din expresia din membrul stâng pe 3^x. Apoi adunăm expresia din paranteză și obținem o ecuație simplă.

$$\begin{array}{rcl}{3}^x+3^{x+1}& =& 108\\ 3^x(1+3^1)& =& 108\\ 4\cdot 3^x& =& 108\\ 3^x& =& 27\end{array}$$

În acest moment am transformat membrul stâng și e timpul să transformăm membrul drept. Vedem destul de clar că este puterea a treia a lui trei:

$$\begin{array}{rcl}{3}^x& =& 27\\ 3^x& =& 3^3\end{array}$$

Și rămâne doar ultimul pas – bazele sunt egale, deci egalăm exponenții:

$$x=3$$

Rezolvă următoarea ecuație exponențială:

$$4^{2x}-6\cdot 4^x+8=0.$$

În acest caz încercăm să ajungem de la ecuația exponențială la o ecuație obișnuită de gradul al doilea. Cel mai bine ajungem la ea cu ajutorul substituției 4^x = a:

$$a^2-6a+8=0$$

Acum avem de aici o ecuație standard de gradul al doilea, deci calculăm discriminantul și soluțiile:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\Delta }& =& 36-4\cdot 8\\ a_{1,2}& =& \frac{(6\pm 2)}{2}\\ a_1& =& 4\\ a_2& =& 2\end{array}$$

Aceste rezultate parțiale trebuie să le înlocuim înapoi în substituție. Primul rezultat:

$$\begin{array}{rcl}{4}^x& =& 4\\ x& =& 1\end{array}$$

Al doilea rezultat:

$$\begin{array}{rcl}{4}^x& =& 2\\ 4^x& =& 4^{\frac{1}{2}}\\ x& =& \frac{1}{2}\end{array}$$