Équation exponentielle

Une équation devient exponentielle dès que l’inconnue se trouve dans l’exposant. De manière générale, on peut l’écrire a^f(x) = b^g(x), où a, b>0. Un exemple typique est 2^x = 8. Il est assez évident que la solution est le nombre trois, car deux à la puissance trois vaut huit. Voyons maintenant une démarche un peu plus mathématique.

Équation exponentielle simple

Pour résoudre une équation exponentielle, il est très pratique de pouvoir la ramener à la forme a^f(x) = b^g(x) où a = b. En effet, si les bases sont identiques, les puissances sont égales lorsque les exposants le sont aussi. Il ne reste alors qu’à résoudre l’équation f(x) = g(x). Reprenons l’exemple précédent : on écrit 8 sous forme de puissance de deux, 2^x = 2³. Les bases étant identiques, on égalise les exposants, ce qui donne directement x = 3. Compliquons un peu l’exemple, par exemple 2^2x = 8 : après transformation, on obtient 2^2x = 2³ et on résout 2x = 3, donc la solution est 1,5.

Un autre cas simple se présente lorsqu’un membre de l’équation vaut 1. Prenons cet exemple :

$$5^{3x-2}=1$$

Cela paraît compliqué, mais si l’on connaît les règles de calcul sur les puissances, on sait que 1 ne peut s’obtenir que de deux façons : soit la base vaut 1 (et alors toute puissance de 1 vaut 1), soit l’exposant est nul (et tout nombre non nul à la puissance zéro vaut 1). Nous utilisons bien sûr la seconde propriété et réécrivons l’équation : 5^{3x − 2} = 5⁰. Nous avons maintenant une équation que nous savons résoudre (voir le paragraphe précédent). Il suffit de comparer les exposants, ce qui donne 3x − 2 = 0, une équation du premier degré très simple.

Passage au logarithme dans une équation exponentielle

Lorsqu’on ne peut pas ramener l’équation à des bases identiques, on peut essayer la méthode du passage au logarithme. Notre professeure disait toujours : « Les enfants, quand vous ne savez plus comment continuer, passez tout au logarithme ! » Et elle avait raison. Si l’on a une équation exponentielle avec des bases différentes, et qu’il n’est pas possible (ou pas efficace) de les ramener à une même base, on prend le logarithme des deux membres. À partir de l’équation

$$a^{f(x)}=b^{g(x)}$$

on obtient

$$\log a^{f(x)}=\log b^{g(x)}$$

et, d’après les propriétés des logarithmes, on a

$$f(x)\cdot \log a=g(x)\cdot \log b.$$

Prenons l’exemple suivant

$$2^x\cdot 5^{2x}=3^{x-2}$$

Les bases ne sont pas identiques et ne peuvent pas être ramenées à une même base, on prend donc le logarithme de toute l’équation :

$$\log (2^x\cdot 5^{2x})=\log (3^{x-2})$$

Utilisons maintenant les propriétés des logarithmes et « développons » la première parenthèse :

$$\log 2^x+\log 5^{2x}=\log 3^{x-2}$$

Appliquons encore une fois les propriétés des logarithmes et « faisons passer » l’exposant devant le logarithme :

$$x\cdot \log 2+2x\cdot \log 5=(x-2)\log 3$$

Développons le membre de droite :

$$x\cdot \log 2+2x\cdot \log 5=x\log 3-2\log 3$$

Rassemblons à gauche les termes contenant l’inconnue :

$$x\cdot \log 2+2x\cdot \log 5-x\cdot \log 3=-2\log 3$$

Mettons x en facteur :

$$x(\log 2+2\log 5-\log 3)=-2\log 3$$

Isolons x :

$$x=\frac{-2\log 3}{\log 2+2\log 5-\log 3}$$

C’est en fait le résultat. On pourrait encore appliquer les propriétés des logarithmes et transformer 2log 5 en log 5² = log 25, mais c’est vraiment la dernière opération utile sur le résultat.

Changement de variable

Les équations exponentielles se résolvent aussi à l’aide d’un changement de variable. Voyons-le sur un exemple :

$$7^{2x}+7^x-6=0.$$

Posons maintenant a = 7^x. Dans l’équation initiale, remplaçons 7^x par a. On obtient une équation qui n’est plus exponentielle :

$$a^2+a-6=0.$$

C’est une équation du second degré simple. Ses racines sont les nombres 2 et −3.

Reportons maintenant ces racines dans a = 7^x. On a donc 2 = 7^x. Passons au logarithme :

$$\log 2=x\cdot \log 7$$

et isolons :

$$x=\frac{\log 2}{\log 7}$$

La seconde racine n’a pas besoin d’être reprise : elle est négative, et l’on obtiendrait le logarithme d’un nombre négatif, ce qui n’est pas possible. Et voilà le résultat de l’équation exponentielle.

Exemples

Résous l’équation exponentielle suivante :

$$2^{3x-4}=8^{2x+1}.$$

Au premier regard, on voit que les bases des deux membres ne sont pas égales. Dommage ! Mais au second regard, on voit une transformation qui permet d’obtenir les mêmes bases. Au lieu de 8, nous allons simplement utiliser 2³, qui vaut 8. En appliquant la formule de la puissance d’une puissance, on obtient :

$$\begin{array}{rcl}{2}^{3x-4}& =& 8^{2x+1}\\ 2^{3x-4}& =& 2^{3\cdot (2x+1)}\\ 2^{3x-4}& =& 2^{6x+3}\end{array}$$

Les bases sont maintenant égales, et il reste une simple équation du premier degré 3x − 4 = 6x + 3 :

$$\begin{array}{rcl}3x-4& =& 6x+3\\ -3x& =& 7\\ x& =& -\frac{7}{3}\end{array}$$

Résous l’équation exponentielle suivante :

$$5^x\cdot 2^x={100}^{x-1}.$$

Comme souvent, les bases ne sont pas égales ici. Mais on devine qu’on peut les transformer. À gauche, on applique la formule du produit de puissances de même exposant ; à droite, on applique la même formule que précédemment et on transforme 100^{x − 1} en 10^{2(x − 1)} :

$$\begin{array}{rcl}{5}^x\cdot 2^x& =& {100}^{x-1}\\ {10}^x& =& {10}^{2(x-1)}\\ {10}^x& =& {10}^{2x-2}\end{array}$$

Nous avons maintenant les mêmes bases et on peut résoudre une équation du premier degré classique :

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2x-2\\ -x& =& -2\\ x& =& 2\end{array}$$

Résous l’équation exponentielle suivante :

$$3^x+3^{x+1}=108.$$

Comme toujours, il faut d’abord arriver à une même base. Ici, on met 3^x en facteur dans le membre de gauche, puis on additionne l’expression entre parenthèses. On obtient alors une équation simple.

$$\begin{array}{rcl}{3}^x+3^{x+1}& =& 108\\ 3^x(1+3^1)& =& 108\\ 4\cdot 3^x& =& 108\\ 3^x& =& 27\end{array}$$

Le membre de gauche est maintenant simplifié ; transformons le membre de droite. On voit assez clairement qu’il s’agit de 3 au cube :

$$\begin{array}{rcl}{3}^x& =& 27\\ 3^x& =& 3^3\end{array}$$

Il ne reste qu’une dernière étape : les bases sont égales, on égalise donc les exposants :

$$x=3$$

Résous l’équation exponentielle suivante :

$$4^{2x}-6\cdot 4^x+8=0.$$

Ici, on essaie de se ramener à une équation du second degré habituelle. Le mieux est d’y parvenir à l’aide du changement de variable 4^x = a :

$$a^2-6a+8=0$$

On a maintenant une équation du second degré standard : on calcule donc le discriminant et les racines :

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\Delta }& =& 36-4\cdot 8\\ a_{1,2}& =& \frac{(6\pm 2)}{2}\\ a_1& =& 4\\ a_2& =& 2\end{array}$$

Ces résultats partiels doivent encore être replacés dans le changement de variable. Premier résultat :

$$\begin{array}{rcl}{4}^x& =& 4\\ x& =& 1\end{array}$$

Deuxième résultat :

$$\begin{array}{rcl}{4}^x& =& 2\\ 4^x& =& 4^{\frac{1}{2}}\\ x& =& \frac{1}{2}\end{array}$$