Exponentiële vergelijkingen

Een gewone vergelijking wordt exponentieel als ze de variabele in de exponent bevat. In het algemeen zouden we een exponentiële vergelijking zo kunnen opschrijven: a^f(x) = b^g(x), waarbij a, b>0. Een typisch voorbeeld van een exponentiële vergelijking kan bijvoorbeeld 2^x = 8 zijn. Hier is vrij duidelijk dat de oplossing het getal drie is, want twee tot de derde is acht. En nu volgt een iets wiskundigere werkwijze.

Een eenvoudige exponentiële vergelijking

Als we een exponentiële vergelijking willen oplossen, is het erg gunstig als we de vergelijking kunnen herleiden tot de vorm a^f(x) = b^g(x), waarbij a = b. Het is namelijk duidelijk dat als we gelijke grondtallen hebben, de machten gelijk zijn als ook de exponenten gelijk zijn. We hoeven dus alleen nog de vergelijking f(x) = g(x) op te lossen. Het vorige voorbeeld kunnen we zo herleiden: de acht schrijven we als een macht van twee 2^x = 2³ en dan krijgen we gelijke grondtallen, dus stellen we alleen de beide exponenten aan elkaar gelijk en krijgen we meteen de oplossing x = 3. Het voorbeeld kunnen we moeilijker maken, bijvoorbeeld zo: 2^2x = 8 en na herleiden krijgen we weer 2^2x = 2³ en lossen we 2x = 3 op, de oplossing is 1,5.

Een ander eenvoudig geval ontstaat als aan een kant van de vergelijking een één staat. Neem dit voorbeeld:

$5^{3 x - 2} = 1$

Het ziet er ingewikkeld uit, maar als je de basisverbanden tussen machten kent, weet je dat je een één op slechts twee manieren kunt krijgen: ofwel is het grondtal één en dan geeft één tot een willekeurige exponent weer één, ofwel is de exponent gelijk aan nul: alles tot de macht nul is weer één. Wij gebruiken uiteraard die tweede eigenschap en herschrijven de vorige vergelijking zo: 5^{3x − 2} = 5⁰. Nu hebben we de vergelijking in een vorm gebracht die we al kunnen oplossen (zie de vorige alinea). We hoeven alleen de exponenten te vergelijken. Hier krijgen we de vergelijking 3x − 2 = 0. Dat is al een triviale lineaire vergelijking.

Logaritme nemen van een exponentiële vergelijking

Als we de vergelijking niet kunnen herleiden tot een vorm met gelijke grondtallen, kunnen we de methode met logaritmen proberen. Onze lerares zei altijd: “Jongens, als je niet meer weet hoe het verder moet, neem dan gewoon de logaritme!” en ze had gelijk. Als je een exponentiële vergelijking met verschillende grondtallen hebt, waarbij het niet mogelijk (of niet efficiënt) is ze te herleiden tot hetzelfde grondtal, neem dan van de hele vergelijking de logaritme. Uit de oorspronkelijke vergelijking

$a^{f (x)} = b^{g (x)}$

krijgen we

$\log a^{f (x)} = \log b^{g (x)}$

en volgens de formule voor het rekenen met logaritmen krijgen we

$f (x) \cdot \log a = g (x) \cdot \log b .$

We nemen dus dit voorbeeld

$2^{x} \cdot 5^{2 x} = 3^{x - 2}$

De grondtallen zijn niet gelijk en kunnen niet gelijk gemaakt worden, daarom nemen we van de hele vergelijking de logaritme:

$\log (2^{x} \cdot 5^{2 x}) = \log (3^{x - 2})$

Nu gebruiken we de rekenregels voor logaritmen en “werken” de eerste haakjes “uit”

$\log 2^{x} + \log 5^{2 x} = \log 3^{x - 2}$

Nu gebruiken we opnieuw de rekenregels voor logaritmen en “verplaatsen” de exponent naar voor de logaritme.

$x \cdot \log 2 + 2 x \cdot \log 5 = (x - 2) \log 3$

We werken de rechterkant van de vergelijking uit:

$x \cdot \log 2 + 2 x \cdot \log 5 = x \log 3 - 2 \log 3$

De termen met de onbekende gooien we naar de linkerkant van de vergelijking:

$x \cdot \log 2 + 2 x \cdot \log 5 - x \cdot \log 3 = - 2 \log 3$

Vervolgens brengen we x buiten haakjes:

$x (\log 2 + 2 \log 5 - \log 3) = - 2 \log 3$

We maken x vrij:

$x = \frac{- 2 \log 3}{\log 2 + 2 \log 5 - \log 3}$

Dat is eigenlijk al de oplossing. We kunnen nog eens de rekenregels voor logaritmen toepassen en van 2log 5 maken we log 5² = log 25, maar dat is echt het laatste wat we met de oplossing kunnen doen.

Substitutie

Exponentiële vergelijkingen kunnen we ook oplossen met een substitutie. We laten het zien aan een voorbeeld:

$7^{2 x} + 7^{x} - 6 = 0.$

We stellen bijvoorbeeld a = 7^x. Nu herleiden we de oorspronkelijke vergelijking door voor 7^x steeds a in te vullen. Er ontstaat deze (niet meer exponentiële) vergelijking:

$a^{2} + a - 6 = 0.$

Dit is een gewone kwadratische vergelijking. De oplossingen zijn de getallen 2 en −3.

Deze oplossingen vullen we nu in de substitutie a = 7^x in. Dus 2 = 7^x. We nemen de logaritme:

$\log 2 = x \cdot \log 7$

en maken de onbekende vrij:

$x = \frac{\log 2}{\log 7}$

De tweede oplossing hoeven we niet meer in te vullen, omdat die negatief is: na invullen zouden we de logaritme van een negatief getal krijgen, en dat bestaat niet. En de oplossing van de exponentiële vergelijking is er.

Voorbeelden

Los de volgende exponentiële vergelijking op:

$2^{3 x - 4} = 8^{2 x + 1} .$

Op het eerste gezicht zien we dat de grondtallen aan beide kanten niet gelijk zijn. Jammer. Maar op het tweede gezicht zien we vast een herleiding die we kunnen uitvoeren om diezelfde grondtallen te krijgen. In plaats van de acht rekenen we gewoon met 2³, en dat is gelijk aan acht. Met de formule voor de macht van een macht krijgen we:

$\begin{array}{rcl} 2^{3 x - 4} & = & 8^{2 x + 1} \\ 2^{3 x - 4} & = & 2^{3 \cdot (2 x + 1)} \\ 2^{3 x - 4} & = & 2^{6 x + 3} \end{array}$

Nu zijn de grondtallen gelijk en kunnen we de eenvoudige lineaire vergelijking 3x − 4 = 6x + 3 oplossen:

$\begin{array}{rcl} 3 x - 4 & = & 6 x + 3 \\ - 3 x & = & 7 \\ x & = & - \frac{7}{3} \end{array}$

Los de volgende exponentiële vergelijking op:

$5^{x} \cdot 2^{x} = 100^{x - 1} .$

Hier zien we zoals gewoonlijk dat de grondtallen niet gelijk zijn. Maar we vermoeden allemaal wel dat ze op de een of andere manier om te zetten zijn. Op de linkerkant passen we de formule toe voor het vermenigvuldigen van machten met dezelfde exponent en op de rechterkant passen we dezelfde formule toe als daarnet en van 100^{x − 1} maken we 10^{2(x − 1)}:

$\begin{array}{rcl} 5^{x} \cdot 2^{x} & = & 100^{x - 1} \\ 10^{x} & = & 10^{2 (x - 1)} \\ 10^{x} & = & 10^{2 x - 2} \end{array}$

En nu hebben we weer gelijke grondtallen en kunnen we de klassieke lineaire vergelijking oplossen:

$\begin{array}{rcl} x & = & 2 x - 2 \\ - x & = & - 2 \\ x & = & 2 \end{array}$

Los de exponentiële vergelijking op:

$3^{x} + 3^{x + 1} = 108.$

Zoals altijd moeten we eerst naar hetzelfde grondtal toewerken. Hier helpt het buiten haakjes brengen: we brengen uit de uitdrukking aan de linkerkant 3^x buiten haakjes. Dan tellen we de uitdrukking tussen de haakjes op en krijgen we een eenvoudige vergelijking.

$\begin{array}{rcl} 3^{x} + 3^{x + 1} & = & 108 \\ 3^{x} (1 + 3^{1}) & = & 108 \\ 4 \cdot 3^{x} & = & 108 \\ 3^{x} & = & 27 \end{array}$

Nu hebben we de linkerkant herleid en het is tijd om de rechterkant te herleiden. We zien vrij duidelijk dat het de derde macht van drie is:

$\begin{array}{rcl} 3^{x} & = & 27 \\ 3^{x} & = & 3^{3} \end{array}$

En nu rest alleen de laatste stap: de grondtallen zijn gelijk, dus stellen we de exponenten aan elkaar gelijk:

$x = 3$

Los de volgende exponentiële vergelijking op:

$4^{2 x} - 6 \cdot 4^{x} + 8 = 0.$

In dit geval proberen we van de exponentiële vergelijking een gewone kwadratische vergelijking te maken. Dat lukt het best met de substitutie 4^x = a:

$a^{2} - 6 a + 8 = 0$

Nu hebben we er een standaard kwadratische vergelijking van gemaakt, dus berekenen we de discriminant en de oplossingen:

$\begin{array}{rcl} D & = & 36 - 4 \cdot 8 \\ a_{1, 2} & = & \frac{(6 \pm 2)}{2} \\ a_{1} & = & 4 \\ a_{2} & = & 2 \end{array}$

Deze tussenresultaten moeten we nog terug in de substitutie invullen. De eerste oplossing:

$\begin{array}{rcl} 4^{x} & = & 4 \\ x & = & 1 \end{array}$

De tweede oplossing:

$\begin{array}{rcl} 4^{x} & = & 2 \\ 4^{x} & = & 4^{\frac{1}{2}} \\ x & = & \frac{1}{2} \end{array}$

« Vorige: Exponentiële en logaritmische ongelijkheden

Volgende: Logaritmische vergelijkingen »