Exponentialekvationer

En vanlig ekvation blir en exponentialekvation när den innehåller en variabel i exponenten. Allmänt kan vi skriva en exponentialekvation så här: a^f(x) = b^g(x), där a, b>0. Ett typiskt exempel på en exponentialekvation är 2^x = 8. Här är det ganska självklart att lösningen blir tre, eftersom två upphöjt till tre är åtta. Nu följer en lite mer matematisk metod.

Enkel exponentialekvation

När du ska lösa en exponentialekvation är det mycket praktiskt om du kan skriva om ekvationen till formen a^f(x) = b^g(x), där a = b. Det är nämligen uppenbart att om baserna är lika, så är potenserna lika precis när exponenterna är lika. Då behöver vi bara lösa ekvationen f(x) = g(x). Det förra exemplet kan vi skriva om så här: åtta skriver vi som en potens av två, 2^x = 2³, och då har vi samma baser. Vi sätter alltså bara de två exponenterna lika och får lösningen x = 3. Exemplet kan vi göra svårare, till exempel 2^2x = 8. Efter omskrivningen får vi på samma sätt 2^2x = 2³ och löser 2x = 3, lösningen är 1,5.

Ett annat enkelt fall uppstår när det står en etta på ena sidan av ekvationen. Ta det här exemplet:

$5^{3 x - 2} = 1$

Det ser krångligt ut, men om du kan de grundläggande sambanden mellan potenser vet du att du kan få ettan på bara två sätt: antingen är basen ett, och då ger ett upphöjt till vad som helst alltid ett, eller så är exponenten noll, eftersom vad som helst upphöjt till noll är ett. Vi använder förstås den andra egenskapen och skriver om ekvationen så här: 5^{3x − 2} = 5⁰. Nu har vi fått ekvationen på en form som vi redan kan lösa (se föregående stycke). Det räcker att jämföra exponenterna. Här får vi ekvationen 3x − 2 = 0. Det är en trivial linjär ekvation.

Att logaritmera en exponentialekvation

Om vi inte kan skriva om ekvationen så att baserna blir lika, kan vi pröva metoden att logaritmera. Vår mattefröken brukade alltid säga: ”När du inte vet hur du ska komma vidare, så logaritmera helt enkelt!”, och hon hade rätt. Om du har en exponentialekvation med olika baser, där det inte går (eller inte är effektivt) att skriva om dem till samma bas, ska du logaritmera hela ekvationen. Från den ursprungliga ekvationen

$a^{f (x)} = b^{g (x)}$

får vi

$\lg a^{f (x)} = \lg b^{g (x)}$

och enligt formeln för räkning med logaritmer får vi

$f (x) \cdot \lg a = g (x) \cdot \lg b .$

Vi tar det här exemplet

$2^{x} \cdot 5^{2 x} = 3^{x - 2}$

Baserna är inte lika och går inte att skriva om, så vi logaritmerar hela ekvationen:

$\lg (2^{x} \cdot 5^{2 x}) = \lg (3^{x - 2})$

Nu använder vi logaritmlagarna och ”multiplicerar in” i den första parentesen

$\lg 2^{x} + \lg 5^{2 x} = \lg 3^{x - 2}$

Nu använder vi återigen logaritmlagarna och ”flyttar” exponenten framför logaritmen.

$x \cdot \lg 2 + 2 x \cdot \lg 5 = (x - 2) \lg 3$

Vi multiplicerar in i högerledet:

$x \cdot \lg 2 + 2 x \cdot \lg 5 = x \lg 3 - 2 \lg 3$

Termerna med den obekanta flyttar vi till vänsterledet:

$x \cdot \lg 2 + 2 x \cdot \lg 5 - x \cdot \lg 3 = - 2 \lg 3$

Sedan bryter vi ut x:

$x (\lg 2 + 2 \lg 5 - \lg 3) = - 2 \lg 3$

Vi löser ut x:

$x = \frac{- 2 \lg 3}{\lg 2 + 2 \lg 5 - \lg 3}$

Det här är i princip lösningen. Vi kan använda logaritmlagarna en gång till och göra om 2lg 5 till lg 5² = lg 25, men det är verkligen det sista vi kan göra med resultatet.

Substitution

Exponentialekvationer kan vi också lösa med hjälp av substitution. Vi visar det på ett exempel:

$7^{2 x} + 7^{x} - 6 = 0.$

Nu sätter vi a = 7^x. Sedan skriver vi om den ursprungliga ekvationen genom att ersätta 7^x med a. Då får vi den här ekvationen (som inte längre är en exponentialekvation):

$a^{2} + a - 6 = 0.$

Det här är en vanlig andragradsekvation. Dess rötter är talen 2 och −3.

Nu sätter vi in rötterna i substitutionen a = 7^x. Alltså 2 = 7^x. Vi logaritmerar:

$\lg 2 = x \cdot \lg 7$

och löser ut:

$x = \frac{\lg 2}{\lg 7}$

Den andra roten behöver vi inte sätta in, eftersom den är negativ. Då skulle vi få logaritmen av ett negativt tal, och den finns inte. Därmed är lösningen på exponentialekvationen klar.

Exempel

Lös följande exponentialekvation:

$2^{3 x - 4} = 8^{2 x + 1} .$

Vid första anblicken ser vi att baserna på de två sidorna inte är lika. Tråkigt. Men vid andra anblicken ser vi säkert vilken omskrivning vi kan göra för att få samma baser. I stället för åtta räknar vi helt enkelt med 2³, som är lika med åtta. Med regeln för potens av potens får vi:

$\begin{array}{rcl} 2^{3 x - 4} & = & 8^{2 x + 1} \\ 2^{3 x - 4} & = & 2^{3 \cdot (2 x + 1)} \\ 2^{3 x - 4} & = & 2^{6 x + 3} \end{array}$

Nu är baserna lika och vi kan lösa den enkla linjära ekvationen 3x − 4 = 6x + 3:

$\begin{array}{rcl} 3 x - 4 & = & 6 x + 3 \\ - 3 x & = & 7 \\ x & = & - \frac{7}{3} \end{array}$

Lös följande exponentialekvation:

$5^{x} \cdot 2^{x} = 100^{x - 1} .$

Här är baserna som vanligt inte lika. Men vi anar nog alla att de går att skriva om. I vänsterledet använder vi regeln för multiplikation av potenser med samma exponent. I högerledet använder vi samma regel som nyss och gör om 100^{x − 1} till 10^{2(x − 1)}:

$\begin{array}{rcl} 5^{x} \cdot 2^{x} & = & 100^{x - 1} \\ 10^{x} & = & 10^{2 (x - 1)} \\ 10^{x} & = & 10^{2 x - 2} \end{array}$

Och nu har vi återigen samma baser och kan lösa en vanlig linjär ekvation:

$\begin{array}{rcl} x & = & 2 x - 2 \\ - x & = & - 2 \\ x & = & 2 \end{array}$

Lös exponentialekvationen:

$3^{x} + 3^{x + 1} = 108.$

Som alltid måste vi först ta oss fram till samma bas. Här hjälper det att bryta ut, och vi bryter ut 3^x ur uttrycket i vänsterledet. Sedan beräknar vi uttrycket i parentesen och får en enkel ekvation.

$\begin{array}{rcl} 3^{x} + 3^{x + 1} & = & 108 \\ 3^{x} (1 + 3^{1}) & = & 108 \\ 4 \cdot 3^{x} & = & 108 \\ 3^{x} & = & 27 \end{array}$

Nu har vi förenklat vänsterledet, och det är dags att skriva om högerledet. Vi ser ganska tydligt att 27 är tre upphöjt till tre:

$\begin{array}{rcl} 3^{x} & = & 27 \\ 3^{x} & = & 3^{3} \end{array}$

Nu återstår bara det sista steget — baserna är lika, så vi sätter exponenterna lika:

$x = 3$

Lös följande exponentialekvation:

$4^{2 x} - 6 \cdot 4^{x} + 8 = 0.$

I det här fallet försöker vi göra om exponentialekvationen till en vanlig andragradsekvation. Det går bäst med substitutionen 4^x = a:

$a^{2} - 6 a + 8 = 0$

Nu har vi en vanlig andragradsekvation, så vi beräknar diskriminanten D = b² − 4ac (uttrycket under rottecknet i lösningsformeln) och rötterna:

$\begin{array}{rcl} D & = & 36 - 4 \cdot 8 \\ a_{1, 2} & = & \frac{(6 \pm 2)}{2} \\ a_{1} & = & 4 \\ a_{2} & = & 2 \end{array}$

De här delresultaten måste vi ännu sätta in i substitutionen. Första lösningen:

$\begin{array}{rcl} 4^{x} & = & 4 \\ x & = & 1 \end{array}$

Andra lösningen:

$\begin{array}{rcl} 4^{x} & = & 2 \\ 4^{x} & = & 4^{\frac{1}{2}} \\ x & = & \frac{1}{2} \end{array}$

« Föregående: Exponential- och logaritmolikheter

Nästa: Logaritmekvationer »