Üstel Denklem

Değişken üs içinde yer alıyorsa sıradan bir denklem üstel denklem olur. Genel olarak üstel denklemi şöyle yazabiliriz: a^f(x) = b^g(x), burada a, b>0. Üstel denklemin tipik bir örneği 2^x = 8 olabilir. Burada sonucun üç olduğu oldukça açık, çünkü iki üssü üç sekizdir. Şimdi biraz daha matematiksel bir yönteme geçelim.

Basit Üstel Denklem

Üstel denklemi çözmek için denklemi a^f(x) = b^g(x) biçimine, yani a = b olacak şekilde getirebilmek çok işimize yarar. Çünkü tabanlar aynıysa, üsler de eşit olduğunda üslü ifadelerin eşit olacağı açıktır. Böylece yalnızca f(x) = g(x) denklemini çözeriz. Önceki örneği şöyle düzenleyebiliriz: sekizi ikinin üslü ifadesi olarak yazarız: 2^x = 2³ ve tabanlar aynı olduğundan üsleri eşitleriz, sonuç da x = 3 çıkar. Örneği şöyle zorlaştırabiliriz: 2^2x = 8, düzenleyince yine 2^2x = 2³ elde ederiz ve 2x = 3 denklemini çözeriz, sonuç 1,5’tir.

Bir başka basit durum, denklemin bir tarafında 1 olmasıdır. Şu örneği alalım:

$5^{3 x - 2} = 1$

Karmaşık görünüyor, ama üslü ifadeler arasındaki temel bağıntıları biliyorsan 1’i yalnızca iki yolla elde edebileceğini bilirsin: ya taban 1’dir — o zaman 1’in herhangi bir üssü yine 1’dir — ya da üs sıfırdır — sıfırıncı kuvveti alınan sayı yine 1’dir. Biz tabii ki ikinci özelliği kullanıp önceki denklemi şöyle yazarız: 5^{3x − 2} = 5⁰. Şimdi denklemi artık çözmeyi bildiğimiz biçime getirdik (bir önceki paragrafa bak). Üsleri karşılaştırmak yeter. Burada 3x − 2 = 0 denklemi çıkar. Bu da çok basit bir birinci dereceden denklemdir.

Üstel Denklemin Logaritmasını Alma

Denklemi tabanları aynı olan bir biçime getiremiyorsak logaritma alma yöntemini deneyebiliriz. Öğretmenimiz hep “Çocuklar, ne yapacağınızı bilemezseniz denklemin logaritmasını alın!” derdi ve haklıydı. Tabanları farklı bir üstel denklemle karşılaşırsan ve bunları aynı tabana getirmek mümkün değilse (ya da verimli değilse), denklemin her iki tarafının logaritmasını al. Özgün denklemden

$a^{f (x)} = b^{g (x)}$

şunu elde ederiz:

$\log a^{f (x)} = \log b^{g (x)}$

ve logaritmalarla çalışma kuralına göre şunu buluruz:

$f (x) \cdot \log a = g (x) \cdot \log b .$

Şu örneğe bakalım:

$2^{x} \cdot 5^{2 x} = 3^{x - 2}$

Tabanlar aynı değil ve aynı yapılamıyor, bu yüzden denklemin her iki tarafının logaritmasını alırız:

$\log (2^{x} \cdot 5^{2 x}) = \log (3^{x - 2})$

Şimdi logaritma teoremlerini kullanıp ilk parantezi “açarız”

$\log 2^{x} + \log 5^{2 x} = \log 3^{x - 2}$

Şimdi yine logaritma teoremlerini kullanıp üssü logaritmanın önüne “taşırız”.

$x \cdot \log 2 + 2 x \cdot \log 5 = (x - 2) \log 3$

Denklemin sağ tarafını açarız:

$x \cdot \log 2 + 2 x \cdot \log 5 = x \log 3 - 2 \log 3$

Bilinmeyenli ifadeleri denklemin sol tarafına geçiririz:

$x \cdot \log 2 + 2 x \cdot \log 5 - x \cdot \log 3 = - 2 \log 3$

Sonra x’i ortak çarpan parantezine alırız:

$x (\log 2 + 2 \log 5 - \log 3) = - 2 \log 3$

x’i yalnız bırakırız:

$x = \frac{- 2 \log 3}{\log 2 + 2 \log 5 - \log 3}$

Bu aslında sonuçtur. Logaritma teoremlerini bir kez daha uygulayıp 2log 5 ifadesini log 5² = log 25 yapabiliriz, ama sonuçla yapabileceğimiz gerçekten son şey bu.

Değişken Değiştirme

Üstel denklemleri değişken değiştirme yoluyla da çözebiliriz. Bunu bir örnekle gösterelim:

$7^{2 x} + 7^{x} - 6 = 0.$

Şimdi örneğin a = 7^x diyelim. Özgün denklemi, 7^x yerine a yazarak düzenleriz. Şu (artık üstel olmayan) denklem ortaya çıkar:

$a^{2} + a - 6 = 0.$

Bu sıradan bir ikinci dereceden denklemdir. Kökleri 2 ve −3 sayılarıdır.

Şimdi bu kökleri a = 7^x değişken değiştirmesinde yerine yazarız. Yani 2 = 7^x. Her iki tarafın logaritmasını alırız:

$\log 2 = x \cdot \log 7$

ve bilinmeyeni yalnız bırakırız:

$x = \frac{\log 2}{\log 7}$

İkinci kökü yerine yazmamıza gerek yok, çünkü negatiftir — yerine yazsaydık negatif bir sayının logaritması çıkardı, bu da mümkün değildir. Üstel denklemin sonucu da hazır.

Örnekler

Aşağıdaki üstel denklemi çöz:

$2^{3 x - 4} = 8^{2 x + 1} .$

Bakar bakmaz iki tarafta tabanların eşit olmadığını görüyoruz. Ne yazık. Ama ikinci bakışta aynı tabanları elde etmek için yapabileceğimiz düzenlemeyi hemen görürüz. Sekiz yerine kısaca 2³ ile hesap yaparız, bu da sekize eşittir. Üssün üssü formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

$\begin{array}{rcl} 2^{3 x - 4} & = & 8^{2 x + 1} \\ 2^{3 x - 4} & = & 2^{3 \cdot (2 x + 1)} \\ 2^{3 x - 4} & = & 2^{6 x + 3} \end{array}$

Artık tabanlar eşit ve basit bir birinci dereceden denklem olan 3x − 4 = 6x + 3 denklemini çözebiliriz:

$\begin{array}{rcl} 3 x - 4 & = & 6 x + 3 \\ - 3 x & = & 7 \\ x & = & - \frac{7}{3} \end{array}$

Aşağıdaki üstel denklemi çöz:

$5^{x} \cdot 2^{x} = 100^{x - 1} .$

Burada da her zamanki gibi tabanların aynı olmadığını görüyoruz. Ama muhtemelen hepimiz bir şekilde dönüştürülebileceğini seziyoruz. Sol tarafa, üsleri aynı olan üslü ifadelerin çarpımı formülünü uygularız; sağ tarafa da az önceki formülü uygulayıp 100^{x − 1} ifadesini 10^{2(x − 1)} yaparız:

$\begin{array}{rcl} 5^{x} \cdot 2^{x} & = & 100^{x - 1} \\ 10^{x} & = & 10^{2 (x - 1)} \\ 10^{x} & = & 10^{2 x - 2} \end{array}$

Yine tabanlar eşit oldu ve klasik bir birinci dereceden denklemi çözebiliriz:

$\begin{array}{rcl} x & = & 2 x - 2 \\ - x & = & - 2 \\ x & = & 2 \end{array}$

Aşağıdaki üstel denklemi çöz:

$3^{x} + 3^{x + 1} = 108.$

Her zaman olduğu gibi önce aynı tabana ulaşmamız gerekiyor. Burada ortak çarpan parantezine almak işimize yarar: sol taraftaki ifadeden 3^x’i çarpan olarak alırız. Sonra parantezin içindeki ifadeyi toplarız ve basit bir denklem elde ederiz.

$\begin{array}{rcl} 3^{x} + 3^{x + 1} & = & 108 \\ 3^{x} (1 + 3^{1}) & = & 108 \\ 4 \cdot 3^{x} & = & 108 \\ 3^{x} & = & 27 \end{array}$

Sol tarafı düzenledik, şimdi sağ tarafı düzenleme zamanı. 27’nin 3’ün üçüncü kuvveti olduğu oldukça açık:

$\begin{array}{rcl} 3^{x} & = & 27 \\ 3^{x} & = & 3^{3} \end{array}$

Geriye yalnızca son adım kalıyor — tabanlar eşit olduğundan üsleri eşitleriz:

$x = 3$

Aşağıdaki üstel denklemi çöz:

$4^{2 x} - 6 \cdot 4^{x} + 8 = 0.$

Bu durumda üstel denklemden sıradan bir ikinci dereceden denkleme ulaşmaya çalışırız. Ona en iyi 4^x = a değişken değiştirmesiyle ulaşırız:

$a^{2} - 6 a + 8 = 0$

Artık standart bir ikinci dereceden denklemimiz var, bu yüzden diskriminantı ve kökleri hesaplarız:

$\begin{array}{rcl} Δ & = & 36 - 4 \cdot 8 \\ a_{1, 2} & = & \frac{(6 \pm 2)}{2} \\ a_{1} & = & 4 \\ a_{2} & = & 2 \end{array}$

Bu ara sonuçları değişken değiştirmede geri yazmamız gerekiyor. İlk sonuç:

$\begin{array}{rcl} 4^{x} & = & 4 \\ x & = & 1 \end{array}$

İkinci sonuç:

$\begin{array}{rcl} 4^{x} & = & 2 \\ 4^{x} & = & 4^{\frac{1}{2}} \\ x & = & \frac{1}{2} \end{array}$

« Önceki: Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler

Sonraki: Logaritmik Denklem »