三角方程式

三角方程式とは、三角関数、つまりサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント（タンジェントの逆数）のどれかを含む方程式のことです。

基本的な三角方程式

方程式 sin x = 0 を考えましょう。この方程式はどんな x で成り立つでしょうか。サインが0になるのはどんなときでしょうか。まずグラフを見てみます。

sin x は何度も0になることがわかります。具体的には −π, 0, π, 2π をはじめ、ほかにもたくさんあります。サインは周期関数なので、方程式の解は一定の間隔で並びます。この場合の間隔は π です。そこで、この方程式のすべての解の集合を R として、次のように書くことができます。

$$R=\{K\cdot \pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

つまり、K を整数として、円周率の K 倍すべてです。これで、方程式 sin x = 0 のすべての解の集合を表せました。

サインとコサインの値域は区間 [−1, 1] でした。そのため、方程式 sin x = 2 には解がありません。sin x の値が1より大きくなる x は見つからないからです。もちろん、方程式 3 · sin x = 2 には解があります。両辺を3で割れば、右辺は1より小さい数になるからです。この場合は、方程式 sin x = 2/3 の解を求めることになります。

簡単な例の計算

簡単な三角方程式は、たとえばグラフや単位円から値を読み取り、周期を求めて、それを答えに加えて解きます。例として、次の方程式を解いてみましょう。

$$\sin x=\frac{1}{2}$$

サインのグラフは上にあるので、曲線の値が $\frac{1}{2}$ になるところを見てみます。すると、1/6π と 5/6π のときだとわかります。有名角の三角関数の値はぜひ覚えておきましょう。それを知らなければ、グラフをのぞいてもあまり役に立ちません。

次に、すべての解の集合をつくるために周期を求めます。サインの周期は 2π です。グラフを見ると、2π ごとに同じ形がくり返されていることがわかります。

したがって、1/6π が方程式の解なら、K を整数として 1/6π + 2Kπ の形の数もすべて方程式の解になります。そこではサインが同じ値をとるからです。2K と書くのは、偶数だけを考えるためです。K にどんな整数を代入しても、2をかければ偶数になります。もう一つの解 5/6π についてもまったく同じです。5/6π、5/6π + 14π、5/6π − 82π では、関数 sin x は同じ値をとります。そのため、5/6π + 2Kπ の形の数はすべて方程式の解になります。

最終的な解の集合 R を書きましょう。これは上の2つの結果の和集合になります。

$$R=\{\frac{1}{6}\pi +2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}\cup \{\frac{5}{6}\pi +2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

グラフで表すと、解は関数 sin x（赤のグラフ）と関数 $y=\frac{1}{2}$（緑のグラフ）の交点になります。

たとえば K に K = 0 を代入すると、次の解が得られます。

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{1}{6}\pi +2K\pi =\frac{1}{6}\pi +2\cdot 0\cdot \pi =\frac{1}{6}\pi \\ x_2& =& \frac{5}{6}\pi +2K\pi =\frac{5}{6}\pi +2\cdot 0\cdot \pi =\frac{5}{6}\pi \end{array}$$

つまり、x₁ = 1/6π、x₂ = 5/6π です。図では点 B と C がこれにあたります。その x 座標が、それぞれちょうど 1/6π と 5/6π だからです。K = 1 を代入すると、点 D と E が得られます。

置き換え

関数の中に複雑な式があるときは、置き換えを使うことができます。たとえば方程式 sin 2x = 1 を解きたいときは、a = 2x と置き換えて、あとは前の節で見たように sin a = 1 の形の方程式として計算します。置き換えでは、ふつう関数の中身、この場合は 2x を取り出し、その代わりに別の未知数を書きます。名前は何でもかまいません。ここでは a にしました。q = 2x や みかん = 2x と置き換えて、sinみかん = 1 と書いてもよいのです。

置き換えによって、いま計算している式が簡単になります。a が実際には 2x であることは、あとで考えます。

では、a を未知数として方程式 sin a = 1 を解きます。サインが1になるのはどんなときかを探すと、π/2 + 2Kπ のときだとわかります。したがって、方程式 sin a = 1 の解は、次の集合の要素です。

$$R=\{\frac{\pi }{2}+2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}.$$

最後に、置き換えを忘れずに、もとの変数にもどさなければなりません。方程式 sin a = 1 の解は上の集合 R の要素です。しかし、知りたいのは別の方程式 sin 2x = 1 の解です。そして a = 2x であることがわかっています。

解の集合 R から具体的な解を1つ取り出してみましょう。たとえば K = 1 なら、具体的な解 a = π/2 + 2π が得られます。このとき、方程式 sin a = 1 は成り立ちます。a = 2x なので、2x = π/2 + 2π も成り立ちます（a の代わりに 2x を書いただけです）。

しかし、知りたいのは 2x ではなく x の値なので、両辺を2で割ります。すると、方程式 x = π/4 + π が得られます。これで方程式 sin 2x = 1 の具体的な解が1つ求まりました。

すべての解を求めるには、集合 R のすべての要素について同じ変形をする必要があります。そこで、次の方程式をつくります。

$$2x=\frac{\pi }{2}+2K\pi$$

これを x について解きます。つまり両辺を2で割ります。

$$x=\frac{\pi }{4}+K\pi$$

これが最終的な解です。新しい集合 R' として書いておきます。

$$R^{\prime }=\{\frac{\pi }{4}+K\pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

解が正しいことは、ここでもグラフで確かめられます。赤は関数 sin 2x のグラフ、緑は関数 y = 1 のグラフです。

K に K = 0 を代入すると x = π/4 となり、点 C にあたります。K = 2 を代入すると x = π/4 + 2π となり、点 E にあたります。

公式

三角方程式を解くときは、知っておくべきさまざまな公式をよく使います。基本的なものもあれば、もっと複雑なものもあります。三角関数の公式は別のページにまとめたので、そちらを見てください。

例題

1. 方程式 sin(3x − π/2) = 0 を解きなさい。

   簡単な置き換え a = 3x − π/2 を使い、方程式 sin a = 0 を解きます。サインが0になるのは a = Kπ のときだとわかっています。もとの変数にもどして、次の方程式を解きます。

   $$3x-\frac{\pi }{2}=K\pi$$

   まず π/2 を右辺に移します。つまり両辺に π/2 を足します。

   $$3x=K\pi +\frac{\pi }{2}$$

   次に、両辺を3で割ります。

   $$x=\frac{K\pi }{3}+\frac{\pi }{6}$$

   したがって、答えは次の集合 R₁ です。

   $$R_1=\{\frac{K\pi }{3}+\frac{\pi }{6}|K\in \mathbb{Z}\}$$

   ここでも図を見てみましょう。

   

   K = 1 のときは x = π/3 + π/6 = π/2 となり、点 E にあたります。

2. 方程式 cos²x − sin x = 1 を解きなさい。

   まず公式を使って、cos² x を 1 − sin² x に書きかえます。これを方程式に代入すると、次のようになります。

   $$\begin{array}{rcl}1-{\sin }^{2}x-\sin x& =& 1\\ {\sin }^{2}x+\sin x& =& 0\end{array}$$

   ここで sin x をくくり出します。

   $$\sin x(\sin (x)+1)=0$$

   左辺が積の形になり、右辺は0です。左辺全体は、少なくとも一方の因数が0なら0になるので、方程式 sin x = 0 と sin(x) + 1 = 0 を別々に解きます。

   方程式 sin x = 0 はもう何度も解きました。解は、K を整数として Kπ の形の x です。

   2つ目の方程式 sin(x) + 1 = 0 は、方程式 sin(x) = −1 に直します。サインがマイナス1になるのは 3/2π + 2Kπ のときです。

   答えの集合 R₂ は、2つの解の集合の和集合として得られます。

   $$R_2=\{\frac{3}{2}\pi +2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}\cup \{K\pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

   図は次のとおりです。

   

   点 A、C、D、F の x 座標は π の倍数なので、これらの点は上の和集合の右側の集合で表されます。また、和集合の左側の集合で K に K = 0 を代入すると x = 3π/2 となり、点 E にあたります。K = −1 を代入すると x = 3π/2 − 2π = −π/2 となり、点 B にあたります。

3. 方程式 cos² x − sin²x + cos x = 0 を解きなさい。

   まず、公式 sin²x = 1 − cos²x を使って、サインの2乗を書きかえます。

   $$\begin{array}{r}{\cos }^{2}x-(1-{\cos }^{2}x)+\cos x=0\\ {\cos }^{2}x-1+{\cos }^{2}x+\cos x=0\end{array}$$

   次に、項をまとめます。

   $$2{\cos }^{2}x+\cos x-1=0$$

   最後に、a = cos x と置き換えます。

   $$2a^2+a-1=0$$

   これはふつうの2次方程式として解けます。結果は次のとおりです。

   $$a_1=-1,a_2=\frac{1}{2}$$

   最後にもとの変数にもどし、2つの方程式 cos x = −1 と $\cos x=\frac{1}{2}$ を解いて、得られた集合の和集合をとります。これは簡単で、すでに上で同じような問題を解きました。

4. 方程式 sin²x − cos²x = 1 を解きなさい。

   まず、おなじみの公式を使ってコサインをサインで表します。すると次のようになります。

   $$2{\sin }^{2}x=2$$

   両辺を2で割り、1を引きます。

   $${\sin }^{2}x-1=0$$

   ここで公式 a² − b² = (a − b)(a + b) を使います。

   $$(\sin (x)-1)\cdot (\sin (x)+1)=0$$

   2つの式の積が0になるのは、少なくとも一方の式が0のときです。sin x = 1 と sin x = −1 になるのがどんなときかは、すでにわかっています。この三角方程式の解は次のとおりです。

   $$R_4=\{\pi /2+2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}\cup \{3\pi /2+2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}=\{\pi /2+K\pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

   図は次のとおりです。