Exponentialfunktion

En exponentialfunktion är en funktion som har variabeln i exponenten.

Definition

En exponentialfunktion f har formen

$$f(x)=a^x,a\in \mathbb{R},a>0,a\ne 1$$

Symbolen a är ett godtyckligt tal, inget mer komplicerat uttryck, och kallas basen. Uttrycket x kallas exponenten. Basen kan alltså till exempel vara heltalet 3, det rationella talet $\frac{1}{2}$ eller konstanten π.

Varför ställer vi villkor på basen a? Om a vore lika med ett skulle vi få en konstant funktion, eftersom ”ett upphöjt till vad som helst” alltid är ett. Det gäller att 1² = 1, 1⁹ = 1, 1⁶⁶⁶ = 1. Och eftersom vi inte räknar konstanta funktioner som exponentialfunktioner måste a vara skilt från ett, alltså a ≠ 1.

Och varför måste a>0 gälla? Därför att en potens med reell exponent är definierad bara för positiv bas. Om vi till exempel väljer en halv som x och räknar $a^{\frac{1}{2}}$, är det samma sak som att räkna kvadratroten ur talet a. Och en kvadratrot kan vi bara dra ur ett icke-negativt tal.

Om vi uppfyller de här villkoren har exponentialfunktionen f(x) = a^x de reella talen som definitionsmängd.

Andragradsfunktion jämfört med exponentialfunktion

Exponentialfunktionen är lätt att förväxla med andragradsfunktionen. Andragradsfunktionen har variabeln som bas och ett tal som exponent, medan exponentialfunktionen har ett tal som bas och variabeln i exponenten. Andragradsfunktioner är alltså till exempel x², x² + 4 eller x² − x + 1. Exponentialfunktioner är 2^x, 4^x eller π^x.

Viktiga exponentialfunktioner

En betydelsefull exponentialfunktion är den ”naturliga exponentialfunktionen”. Det är funktionen som har konstanten e som bas, alltså Eulers tal (talet e). Eulers tal är ett irrationellt tal, alltså ett tal med oändlig icke-periodisk decimalutveckling, och det går inte att skriva exakt. Dess närmevärde är e = 2,718 281 828… Den här funktionen skrivs ofta exp.

En annan viktig exponentialfunktion är ”exponentialfunktionen med basen 10”, där basen är tio: a = 10.

Funktionens utseende beroende på värdet på a

Funktionen har två grundformer, som beror på basens värde. Vi skiljer nämligen mellan två intervall: ]0, 1[ och ]1, +∞[. Om a ligger i det första intervallet, alltså är mindre än ett, är funktionen strängt avtagande. Om det ligger i det andra intervallet är den strängt växande. Det finns förstås en logik bakom det. Vi tar som exempel $a=\frac{1}{2}$, alltså funktionen $f(x)={\frac{1}{2}}^x$. Vad händer om vi sätter in först två, sedan tre och sedan fyra för x? Funktionsvärdet kommer att minska, för vi får: $f(2)={\frac{1}{2}}^2=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$, vidare $f(3)={\frac{1}{2}}^3=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}$, vilket är lika med $\frac{1}{8}$. För f(4) får vi hälften av en åttondel, alltså $\frac{1}{16}$. Vi får hela tiden mindre tal, eftersom basen är mindre än ett. Om vi multiplicerar tal som är mindre än ett blir resultatet alltid ett mindre tal.

Om a>1 blir det tvärtom, då blir produkten större. Om vi har exponentialfunktionen f(x) = 3^x får vi för värdena två, tre och fyra resultaten: f(2) = 3² = 3 · 3 = 9. För tre: f(3) = 3³ = 3 · 3 · 3 = 27. Vidare f(4) = 81. Funktionen är alltså strängt växande. Lägg märke till att funktionen förblir strängt växande även om basen är vilket annat tal som helst som är större än ett.

Därför måste vi skilja på två typer av grafer beroende på basens värde a.

Grafer till exponentialfunktioner

Av det föregående avsnittet vet vi att grafen måste ha två grundformer beroende på basens värde a. Först visar vi grafen för värden på a i intervallet ]0, 1[.

Vi ser att funktionen är strängt avtagande och går genom punkten (0, 1). Det är ingen slump – av potensernas egenskaper vet vi att allt upphöjt till noll är ett. Alltså ${\frac{1}{2}}^0=1,5^0=1,{33}^0=1$ och så vidare. Därför måste varje exponentialkurva gå genom just den här punkten. Det gäller även kurvan som motsvarar exponentialfunktionen när a>1, som du ser i nästa figur:

Egenskaper hos exponentialfunktioner

• Definitionsmängden är mängden av alla reella tal
• Värdemängden är intervallet ]0, +∞[
• Den är nedåt begränsad, a^x>0. Uppåt är den obegränsad.
• Den har varken maximum eller minimum.

Hur funktionen växer eller avtar beror sedan på värdet på a. Om a ligger i intervallet ]0, 1[ är funktionen strängt avtagande. Om det ligger i intervallet ]1, +∞[ är den strängt växande.

Exponentiell tillväxt

Begreppet ”exponentiell tillväxt” används ganska ofta även i vardagligt tal. Oftast vill man säga att något ökar otroligt snabbt. Ett klassiskt exempel är bakterier som delar sig. En bakterie delar sig i två, och sedan delar sig varje ny bakterie i sin tur i två. Det här sättet att föröka sig kan vi beskriva med exponentialfunktionen f(x) = 2^x. Funktionsvärdet anger antalet bakterier efter x delningsomgångar.

Exempel: i början (noll delningar, x = 0) har vi en bakterie, alltså 2⁰ = 1. Efter den första omgången har vi 2¹ = 2, alltså två bakterier. Det stämmer, en bakterie delar sig i två. Nu delar sig båda de här bakterierna, och vi har 2² = 4 fyra bakterier. Återigen delar sig varje bakterie, så efter den tredje omgången har vi redan 2³ = 8 bakterier. Och så vidare.

Den här förökningen är, fast det inte verkar så, otroligt snabb. Hur många bakterier har vi efter den tionde omgången? 2¹⁰ = 1024. Det är redan ett ansenligt tal. Efter tjugo omgångar har vi: 2²⁰ = 1 048 576. Efter trettio omgångar är vi redan över en miljard.

Den här hastigheten är mycket större än för en vanlig andragradsfunktion. Om vi jämför hur snabbt exponentialfunktionen f(x) = 2^x och andragradsfunktionen g(x) = x² växer vinner exponentialfunktionen klart. Vi känner redan funktionsvärdet för f i x = 20, medan andragradsfunktionen g i x = 20 har värdet: g(20) = 20² = 400. Det är många gånger mindre än 1 048 576.