Exponenciális függvény

Exponenciális függvény az a függvény, amelyben az ismeretlen a kitevő helyén áll.

Meghatározás

Az f exponenciális függvény alakja

$$f(x)=a^x,a\in \mathbb{R},a>0,a\ne 1$$

Az a jel tetszőleges szám, nem valamilyen bonyolultabb kifejezés; alapnak hívjuk. Az x kifejezést kitevőnek nevezzük. Az alap lehet például a 3 egész szám, az $\frac{1}{2}$ racionális szám vagy a π állandó.

Miért szabunk feltételeket az a alapra? Ha az a egyenlő lenne eggyel, konstans függvényt kapnánk, mert az „egy akárhányadikon” mindig egy. Igaz, hogy 1² = 1, 1⁹ = 1, 1⁶⁶⁶ = 1. A konstans függvényt pedig nem soroljuk az exponenciális függvények közé, ezért az a-nak különböznie kell az egytől, vagyis a ≠ 1.

És miért kell, hogy a>0? Mert a valós kitevőjű hatvány csak pozitív alapra van értelmezve. Ha például x helyére az egyketted értéket választjuk, és az $a^{\frac{1}{2}}$ értéket számítjuk ki, az ugyanaz, mintha az a szám négyzetgyökét számítanánk. Négyzetgyököt pedig csak nemnegatív számból vonhatunk.

Ha az előző feltételek teljesülnek, az f(x) = a^x exponenciális függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza.

Másodfokú és exponenciális függvény

Az exponenciális függvényt könnyen összekeverheted a másodfokú függvénnyel. A másodfokú függvényben az ismeretlen az alap, a kitevő pedig szám, az exponenciális függvényben viszont az alap szám, a kitevőben pedig az ismeretlen áll. Másodfokú függvény például: x², x² + 4 vagy x² − x + 1. Exponenciális függvény: 2^x, 4^x vagy π^x.

Fontos exponenciális függvények

Jelentős exponenciális függvény a „természetes exponenciális függvény”. Ennek az alapja az e állandó, vagyis az Euler-féle szám. Az Euler-féle szám irracionális szám, azaz végtelen, nem szakaszos tizedes tört alakú szám, pontosan nem fejezhető ki. Közelítő értéke e = 2,718 281 828… Ezt a függvényt gyakran exp-nek jelölik.

Egy másik fontos exponenciális függvény a „tízes alapú exponenciális függvény”, amelynek az alapja tíz: a = 10.

A függvény alakja az a értékétől függően

A függvénynek két alapvető alakja van, attól függően, mekkora az alap értéke. Két intervallumot különböztetünk meg ugyanis: ]0; 1[ és ]1; +∞[. Ha az a az első intervallumból való, vagyis kisebb egynél, a függvény szigorúan monoton csökkenő. Ha a másodikból való, szigorúan monoton növekvő. Ennek természetesen megvan a logikája. Vegyük például az $a=\frac{1}{2}$ értéket, tehát az $f(x)={\frac{1}{2}}^x$ függvényt. Mi történik, ha x helyére egymás után a kettőt, a hármat és a négyet helyettesítjük? A függvény értéke fokozatosan csökken, hiszen ezt kapjuk: $f(2)={\frac{1}{2}}^2=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$, majd $f(3)={\frac{1}{2}}^3=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}$, ami $\frac{1}{8}$. Az f(4) értékére az egynyolcad felét kapjuk, azaz $\frac{1}{16}$-ot. Egyre kisebb számokat kapunk, mert az alap kisebb egynél. Ha egynél kisebb számokat szorzunk, mindig kisebb számot kapunk.

Ezzel szemben ha a>1, a szorzás eredménye nagyobb szám lesz. Ha az exponenciális függvényünk f(x) = 3^x, a kettő, három és négy értékekre ezeket az eredményeket kapjuk: f(2) = 3² = 3 · 3 = 9. A háromra: f(3) = 3³ = 3 · 3 · 3 = 27. Továbbá f(4) = 81. A függvény tehát szigorúan monoton növekvő. Figyeld meg, hogy ha az alap bármilyen más, egynél nagyobb szám lenne, a függvény akkor is szigorúan monoton növekvő maradna.

Ezért az a alap értékétől függően kétféle grafikont is meg kell különböztetnünk.

Az exponenciális függvények grafikonjai

Az előző fejezetből tudjuk, hogy a grafikonnak az a alap értékétől függően két alapvető alakja van. Először az a értékeire mutatjuk meg a grafikont a ]0; 1[ intervallumból.

Látjuk, hogy a függvény szigorúan monoton csökkenő, és átmegy a (0; 1) ponton. Ez nem véletlen – a hatványok tulajdonságaiból tudjuk, hogy bármi a nulladikon egy. Tehát ${\frac{1}{2}}^0=1,5^0=1,{33}^0=1$ és így tovább. Ezért minden exponenciális függvény görbéjének át kell mennie ezen a ponton. Annak a görbének is, amelyik az a>1 esetnek felel meg, ahogy az a következő ábrán látszik:

Az exponenciális függvények tulajdonságai

• Értelmezési tartománya az összes valós szám halmaza
• Értékkészlete a ]0; +∞[ intervallum
• Alulról korlátos, a^x>0. Felülről nem korlátos.
• Nincs sem maximuma, sem minimuma.

A függvény monotonitása az a értékétől függ. Ha az a a ]0; 1[ intervallumból való, a függvény szigorúan monoton csökkenő. Ha az ]1; +∞[ intervallumból való, szigorúan monoton növekvő.

Exponenciális növekedés

Az „exponenciális növekedés” fogalmát a hétköznapi beszédben is elég gyakran használják. Általában azt akarják vele mondani, hogy valami borzasztó gyorsan emelkedik. Klasszikus példa a baktériumok osztódása, ahogy az „Egyszer volt… az élet” című rajzfilmsorozatból ismerjük. Időnként feltűnt benne egy gonosz baktérium, amely úgy kezdett szaporodni, hogy mindig kettéosztódott. Ezt a szaporodási módot leírhatjuk az f(x) = 2^x exponenciális függvénnyel. A függvényérték megadja a baktériumok számát x osztódási kör után.

Példa: kezdetben (nulla osztódás, x = 0) egy baktériumunk van, vagyis 2⁰ = 1. Az első szaporodási kör után 2¹ = 2, azaz két baktériumunk van. Ez stimmel, egy baktérium kettéosztódik. Most mindkét baktérium kettéosztódik, vagyis 2² = 4 baktériumunk van. Megint mindegyik kettéosztódik, így a harmadik kör után már 2³ = 8 baktériumunk van. És így tovább.

Ez a szaporodás, bár nem látszik rajta, borzasztóan gyors. Hány baktériumunk van a tizedik kör után? 2¹⁰ = 1024. Ez már szép szám. Húsz kör után: 2²⁰ = 1 048 576. Harminc kör után már több mint egymilliárd van.

Ez a sebesség sokkal nagyobb, mint egy közönséges másodfokú függvény esetében. Ha összehasonlítjuk az f(x) = 2^x exponenciális függvény és a g(x) = x² másodfokú függvény sebességét, az exponenciális függvény egyértelműen győz. Az f függvény értékét az x = 20 helyen már ismerjük, a g másodfokú függvény értéke az x = 20 helyen pedig: g(20) = 20² = 400. Ez sokszorta kevesebb, mint 1 048 576.