Eksponentialfunktion

En eksponentialfunktion er en funktion, som har den ubekendte i eksponenten.

Definition

En eksponentialfunktion f har formen

$$f(x)=a^x,a\in \mathbb{R},a>0,a\ne 1$$

Symbolet a er et vilkårligt tal, det er ikke noget mere kompliceret udtryk; det kaldes grundtallet. Udtrykket x kaldes eksponenten. Grundtallet kan således for eksempel være det hele tal 3, det rationale tal $\frac{1}{2}$ eller konstanten π.

Hvorfor stiller vi betingelser til grundtallet a? Hvis a var lig med ét, ville vi få en konstant funktion, fordi »én opløftet i hvad som helst« altid er én. Der gælder, at 1² = 1, 1⁹ = 1, 1⁶⁶⁶ = 1. Og fordi vi ikke regner en konstant funktion med blandt eksponentialfunktionerne, må a være forskelligt fra ét, derfor a ≠ 1.

Og hvorfor skal a>0 gælde? Fordi en potens med reel eksponent kun er defineret for et positivt grundtal. Hvis vi for eksempel vælger en halv for x, så er det at beregne $a^{\frac{1}{2}}$ det samme som at beregne kvadratroden af tallet a. Og der gælder, at vi kun kan tage kvadratroden af et ikke-negativt tal.

Hvis vi opfylder de foregående betingelser, har eksponentialfunktionen f(x) = a^x de reelle tal som definitionsmængde.

Andengradspolynomium kontra eksponentialfunktion

Eksponentialfunktionen kan du let forveksle med et andengradspolynomium. Der gælder, at et andengradspolynomium har den ubekendte som grundtal og et tal som eksponent, mens en eksponentialfunktion har et tal som grundtal og den ubekendte i eksponenten. Andengradspolynomier er altså for eksempel disse funktioner: x², x² + 4 eller x² − x + 1. Eksponentialfunktioner er funktionerne: 2^x, 4^x eller π^x.

Vigtige eksponentialfunktioner

En betydningsfuld eksponentialfunktion er »den naturlige eksponentialfunktion«. Det er funktionen, som har konstanten e som grundtal, altså Eulers tal. Eulers tal er et irrationalt tal, altså et tal med en uendelig, ikke-periodisk decimalfremstilling, det kan ikke udregnes præcist. Dets tilnærmede værdi er e = 2,718 281.828… Denne funktion betegnes ofte exp.

En anden vigtig eksponentialfunktion er »eksponentialfunktionen med grundtal 10«, som har grundtallet ti: a = 10.

Funktionens udseende afhængigt af værdien af a

Funktionen har to grundlæggende udseender, de afhænger af grundtallets værdi. Vi skelner nemlig mellem to intervaller: ]0; 1[ og ]1; ∞[. Hvis a ligger i det første interval, altså er mindre end ét, er funktionen nemlig strengt aftagende. Hvis det ligger i det andet interval, er den strengt voksende. Det har naturligvis en logik. Lad os som eksempel tage $a=\frac{1}{2}$, altså funktionen $f(x)={\frac{1}{2}}^x$. Hvad sker der, hvis vi efter tur indsætter to, tre og fire for x? Funktionsværdien vil gradvist aftage, vi får nemlig: $f(2)={\frac{1}{2}}^2=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$, videre $f(3)={\frac{1}{2}}^3=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}$, hvilket er lig med $\frac{1}{8}$. For f(4) får vi halvdelen af en ottendedel, altså $\frac{1}{16}$. Vi får stadig mindre tal, fordi grundtallet er mindre end ét. Hvis vi ganger tal, som er mindre end ét, får vi altid et mindre tal.

Omvendt, hvis a>1, bliver resultatet af multiplikationen et større tal. Hvis vi har eksponentialfunktionen f(x) = 3^x, får vi for værdierne to, tre, fire resultaterne: f(2) = 3² = 3 · 3 = 9. For tre: f(3) = 3³ = 3 · 3 · 3 = 27. Videre f(4) = 81. Funktionen er således strengt voksende. Læg mærke til, at selv hvis grundtallet var et hvilket som helst andet tal, der er større end ét, ville funktionen stadig være strengt voksende.

Derfor må vi også skelne mellem to typer grafer afhængigt af grundtallets værdi a.

Grafer for eksponentialfunktioner

Af det foregående afsnit ved vi, at grafen må have to grundlæggende udseender afhængigt af grundtallets værdi a. Først viser vi grafen for værdier af a fra intervallet ]0; 1[.

Vi ser, at funktionen er strengt aftagende og går gennem punktet (0, 1). Det er ikke tilfældigt — af egenskaberne ved potenser ved vi, at alt opløftet i nul er ét. Altså ${\frac{1}{2}}^0=1,5^0=1,{33}^0=1$ osv. Derfor må også hver kurve for en eksponentialfunktion gå gennem dette punkt. Også den kurve, der svarer til eksponentialfunktionen for a>1, som det ses på den følgende figur:

Egenskaber ved eksponentialfunktioner

• Definitionsmængden er mængden af alle reelle tal
• Værdimængden er intervallet ]0; ∞[
• Den er begrænset nedad, a^x>0. Den er ikke begrænset opad.
• Den har hverken maksimum eller minimum.

Funktionens monotoni afhænger så af værdien af a. Hvis a ligger i intervallet ]0; 1[, er funktionen strengt aftagende. Hvis det ligger i intervallet ]1; ∞[, er den strengt voksende.

Eksponentiel vækst

Begrebet »eksponentiel vækst« bruges ret ofte også i dagligdags tale. Almindeligvis vil man dermed sige, at noget stiger frygtelig hurtigt. Et klassisk tilfælde kan være deling af bakterier: en bakterie formerer sig ved, at den hver gang deler sig i to. Denne måde at formere sig på kan vi beskrive med eksponentialfunktionen f(x) = 2^x. Funktionsværdien angiver så antallet af bakterier efter x runder deling.

Eksempel: i begyndelsen (nul delinger, x = 0) har vi én bakterie, altså 2⁰ = 1. Efter den første runde har vi 2¹ = 2, altså to bakterier. Det passer, én bakterie deler sig i to. Nu deler begge disse bakterier sig, altså har vi 2² = 4 fire bakterier. Igen deler hver sig, så efter den tredje runde har vi allerede 2³ = 8 bakterier. Og så videre.

Denne formering er, selv om det ikke ser sådan ud, frygtelig hurtig. Hvor mange bakterier har vi efter den tiende runde? 2¹⁰ = 1024. Det er allerede et pænt tal. Efter tyve runder har vi: 2²⁰ = 1.048.576. Efter tredive runder kommer vi allerede over en milliard.

Denne hastighed er meget større end ved et almindeligt andengradspolynomium. Hvis vi sammenlignede hastigheden for eksponentialfunktionen f(x) = 2^x og andengradspolynomiet g(x) = x², ville eksponentialfunktionen vinde klart. Vi kender allerede værdien af funktionen f i punktet x = 20, og værdien af andengradspolynomiet g i punktet x = 20 er lig med: g(20) = 20² = 400. Det er mange gange mindre end 1.048.576.