Funcția exponențială

Funcția exponențială este o funcție care are necunoscuta în locul exponentului.

Definiție

Funcția exponențială f are forma

$$f(x)=a^x,a\in \mathbb{R},a>0,a\ne 1$$

Simbolul a este un număr oarecare, nu o expresie mai complicată; se numește bază. Expresia x se numește exponent. Baza poate fi de exemplu numărul întreg 3, numărul rațional $\frac{1}{2}$ sau constanta π.

De ce punem condiții asupra bazei a? Dacă a ar fi egal cu unu, am obține o funcție constantă, pentru că „unu la orice putere” este mereu unu. Avem 1² = 1, 1⁹ = 1, 1⁶⁶⁶ = 1. Iar funcția constantă nu se include printre cele exponențiale, deci a trebuie să fie diferit de unu, adică a ≠ 1.

Și de ce trebuie să avem a>0? Pentru că puterea cu exponent real este definită doar pentru baze pozitive. De exemplu, dacă am alege pentru x valoarea o doime și am calcula $a^{\frac{1}{2}}$, ar fi același lucru cu a calcula radicalul din a. Iar radicalul de ordin doi se poate extrage doar dintr-un număr nenegativ.

Dacă sunt îndeplinite condițiile de mai sus, funcția exponențială f(x) = a^x are domeniul de definiție numerele reale, adică D_f = ℝ.

Funcția de gradul al doilea vs. funcția exponențială

Funcția exponențială se confundă ușor cu funcția de gradul al doilea. Funcția de gradul al doilea are necunoscuta ca bază și un număr ca exponent, în timp ce funcția exponențială are un număr ca bază și necunoscuta în exponent. Așadar, funcții de gradul al doilea sunt de exemplu: x², x² + 4 sau x² − x + 1. Funcții exponențiale sunt: 2^x, 4^x sau π^x.

Funcții exponențiale importante

O funcție exponențială însemnată este „funcția exponențială naturală”. Este funcția care are ca bază constanta e, adică numărul lui Euler. Numărul lui Euler este un număr irațional, adică un număr cu o dezvoltare zecimală infinită și neperiodică, care nu poate fi calculat exact. Valoarea lui aproximativă este e ≈ 2,718281828… Această funcție se notează adesea exp.

Altă funcție exponențială importantă este „funcția exponențială zecimală”, care are baza egală cu zece: a = 10.

Forma funcției în funcție de valoarea lui a

Funcția are două forme de bază, care diferă după valoarea bazei. Deosebim două intervale: (0, 1) și (1, +∞). Dacă a aparține primului interval, adică este mai mic decât unu, funcția este strict descrescătoare. Dacă aparține celui de-al doilea, funcția este strict crescătoare. Și asta are, desigur, o logică. Să luăm de exemplu $a=\frac{1}{2}$, adică funcția $f(x)={\frac{1}{2}}^x$. Ce se întâmplă dacă înlocuim pe rând x cu doi, trei și patru? Valoarea funcției scade treptat, deoarece obținem: $f(2)={\frac{1}{2}}^2=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$, apoi $f(3)={\frac{1}{2}}^3=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}$, adică $\frac{1}{8}$. Pentru f(4) obținem jumătate dintr-o optime, adică $\frac{1}{16}$. Obținem numere din ce în ce mai mici, pentru că baza este mai mică decât unu. Dacă înmulțim numere mai mici decât unu, obținem mereu un număr și mai mic.

Invers, dacă a>1, rezultatul înmulțirii este un număr mai mare. Dacă avem funcția exponențială f(x) = 3^x, pentru valorile doi, trei, patru obținem: f(2) = 3² = 3 · 3 = 9. Pentru trei: f(3) = 3³ = 3 · 3 · 3 = 27. Apoi f(4) = 81. Funcția este deci strict crescătoare. Observă că, dacă baza ar fi orice alt număr mai mare decât unu, funcția ar fi tot strict crescătoare.

De aceea trebuie să deosebim două tipuri de grafice, în funcție de valoarea bazei a.

Graficele funcțiilor exponențiale

Din capitolul precedent știm că graficul are două forme de bază, în funcție de valoarea bazei a. Mai întâi arătăm graficul pentru valori ale lui a din intervalul (0, 1).

Vedem că funcția este strict descrescătoare și trece prin punctul (0, 1). Nu este o întâmplare — din proprietățile puterilor știm că orice număr la puterea zero este unu. Deci ${\frac{1}{2}}^0=1,5^0=1,{33}^0=1$ etc. De aceea fiecare curbă exponențială trebuie să treacă prin acest punct. Și curba care corespunde funcției exponențiale pentru a>1, ca în figura următoare:

Proprietățile funcțiilor exponențiale

• Domeniul de definiție este mulțimea tuturor numerelor reale: D_f = ℝ
• Imaginea funcției este intervalul Im f = (0, +∞)
• Este mărginită inferior, a^x>0. Nu este mărginită superior.
• Nu are nici maxim, nici minim.

Monotonia funcției depinde de valoarea lui a. Dacă a aparține intervalului (0, 1), funcția este strict descrescătoare. Dacă aparține intervalului (1, +∞), funcția este strict crescătoare.

Creșterea exponențială

Expresia „creștere exponențială” se folosește destul de des și în limbajul de zi cu zi. De obicei înseamnă că ceva crește extrem de repede. Un caz clasic este înmulțirea bacteriilor prin diviziune: să ne închipuim o bacterie care se înmulțește în așa fel încât se împarte mereu în două. Acest mod de înmulțire se poate descrie prin funcția exponențială f(x) = 2^x. Valoarea funcției ne dă numărul de bacterii după x runde de diviziune.

Exemplu: la început (zero diviziuni, x = 0) avem o bacterie, adică 2⁰ = 1. După prima rundă avem 2¹ = 2, adică două bacterii. Se potrivește, o bacterie se împarte în două. Acum amândouă bacteriile se împart, deci avem 2² = 4 bacterii. Din nou fiecare se împarte, așa că după a treia rundă avem deja 2³ = 8 bacterii. Și tot așa.

Această înmulțire, deși nu pare, este extrem de rapidă. Câte bacterii avem după a zecea rundă? 2¹⁰ = 1024. E deja un număr frumușel. După douăzeci de runde avem: 2²⁰ = 1.048.576. După treizeci de runde depășim deja un miliard.

Această viteză este mult mai mare decât în cazul unei funcții de gradul al doilea obișnuite. Dacă comparăm viteza funcției exponențiale f(x) = 2^x cu cea a funcției de gradul al doilea g(x) = x², funcția exponențială câștigă categoric. Cunoaștem deja valoarea funcției f în punctul x = 20, iar valoarea funcției de gradul al doilea g în punctul x = 20 este: g(20) = 20² = 400. Este de multe ori mai puțin decât 1.048.576.