Exponentialfunktion

Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion, bei der die Unbekannte im Exponenten steht.

Definition

Eine Exponentialfunktion f hat die Form

$$f(x)=a^x,a\in \mathbb{R},a>0,a\ne 1$$

Das Symbol a steht für eine beliebige Zahl, es ist kein komplizierterer Term; diese Zahl heißt Basis. Der Term x heißt Exponent. Als Basis kann also zum Beispiel die ganze Zahl 3, die rationale Zahl $\frac{1}{2}$ oder die Konstante π dienen.

Warum stellen wir Bedingungen an die Basis a? Wäre a gleich eins, erhielten wir eine konstante Funktion, denn „eins hoch irgendetwas“ ist immer eins. Es gilt 1² = 1, 1⁹ = 1, 1⁶⁶⁶ = 1. Und weil wir die konstante Funktion nicht zu den Exponentialfunktionen zählen, muss a ungleich eins sein, also a ≠ 1.

Und warum muss a>0 gelten? Weil die Potenz mit reellem Exponenten nur für eine positive Basis definiert ist. Wählen wir zum Beispiel für x die Hälfte und berechnen $a^{\frac{1}{2}}$, ist das dasselbe, als würden wir die Wurzel aus der Zahl a berechnen. Dabei gilt, dass wir nur aus einer nichtnegativen Zahl die Wurzel ziehen können.

Sind die vorherigen Bedingungen erfüllt, hat die Exponentialfunktion f(x) = a^x als Definitionsmenge die reellen Zahlen.

Quadratische Funktion vs. Exponentialfunktion

Eine Exponentialfunktion kannst du leicht mit einer quadratischen Funktion verwechseln. Bei der quadratischen Funktion steht die Unbekannte in der Basis und im Exponenten eine Zahl, während bei der Exponentialfunktion in der Basis eine Zahl steht und im Exponenten die Unbekannte. Quadratische Funktionen sind zum Beispiel diese: x², x² + 4 oder x² − x + 1. Exponentialfunktionen sind diese: 2^x, 4^x oder π^x.

Wichtige Exponentialfunktionen

Eine bedeutende Exponentialfunktion ist die „natürliche Exponentialfunktion“. Das ist die Funktion, deren Basis die Konstante e ist, also die eulersche Zahl. Die eulersche Zahl ist eine irrationale Zahl, also eine Zahl mit unendlicher, nichtperiodischer Dezimaldarstellung, die sich nicht exakt angeben lässt. Ihr Näherungswert ist e = 2,718 281.828… Diese Funktion wird oft als exp geschrieben.

Eine weitere wichtige Exponentialfunktion ist die „dekadische Exponentialfunktion“, deren Basis gleich zehn ist: a = 10.

Verlauf der Funktion in Abhängigkeit vom Wert a

Die Funktion hat zwei Grundformen, die sich danach unterscheiden, welchen Wert die Basis hat. Wir unterscheiden nämlich zwei Intervalle: ]0; 1[ und ]1; +∞[. Liegt a im ersten Intervall, ist es also kleiner als eins, dann ist die Funktion streng monoton fallend. Liegt es im zweiten Intervall, dann ist sie streng monoton steigend. Das hat natürlich seine Logik. Nehmen wir als Beispiel $a=\frac{1}{2}$, also die Funktion $f(x)={\frac{1}{2}}^x$. Was passiert, wenn wir für x nacheinander die Zwei, die Drei und die Vier einsetzen? Der Funktionswert wird immer kleiner, wir erhalten nämlich: $f(2)={\frac{1}{2}}^2=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$, weiter $f(3)={\frac{1}{2}}^3=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}$, das ist gleich $\frac{1}{8}$. Für f(4) erhalten wir die Hälfte von einem Achtel, also $\frac{1}{16}$. Wir bekommen immer kleinere Zahlen, weil die Basis kleiner als eins ist. Wenn wir Zahlen multiplizieren, die kleiner als eins sind, erhalten wir immer eine kleinere Zahl.

Ist dagegen a>1, wird das Ergebnis der Multiplikation größer. Haben wir die Exponentialfunktion f(x) = 3^x, erhalten wir für die Werte zwei, drei, vier die Ergebnisse: f(2) = 3² = 3 · 3 = 9. Für die Drei: f(3) = 3³ = 3 · 3 · 3 = 27. Weiter f(4) = 81. Die Funktion ist also streng monoton steigend. Beachte, dass die Funktion auch dann streng monoton steigend bleibt, wenn die Basis irgendeine andere Zahl größer als eins ist.

Deshalb müssen wir je nach Wert der Basis a auch zwei Arten von Graphen unterscheiden.

Graphen von Exponentialfunktionen

Aus dem vorigen Kapitel wissen wir, dass der Graph je nach Wert der Basis a zwei Grundformen haben muss. Als Erstes zeigen wir den Graphen für Werte a aus dem Intervall ]0; 1[.

Wir sehen, dass die Funktion streng monoton fallend ist und durch den Punkt (0 ∣ 1) verläuft. Das ist kein Zufall – aus den Eigenschaften von Potenzen wissen wir, dass alles hoch null eins ist. Also ${\frac{1}{2}}^0=1,5^0=1,{33}^0=1$ usw. Deshalb muss auch jede Kurve einer Exponentialfunktion durch diesen Punkt verlaufen. Auch die Kurve, die der Exponentialfunktion für a>1 entspricht, wie du auf dem folgenden Bild siehst:

Eigenschaften von Exponentialfunktionen

• Die Definitionsmenge ist die Menge aller reellen Zahlen.
• Die Wertemenge ist das Intervall ]0; +∞[.
• Sie ist nach unten beschränkt, a^x>0. Nach oben ist sie nicht beschränkt.
• Sie hat weder ein Maximum noch ein Minimum.

Die Monotonie der Funktion hängt dann vom Wert a ab. Liegt a im Intervall ]0; 1[, ist die Funktion streng monoton fallend. Liegt es im Intervall ]1; +∞[, ist sie streng monoton steigend.

Exponentielles Wachstum

Der Begriff „exponentielles Wachstum“ wird recht oft auch in der Alltagssprache verwendet. Gewöhnlich will man damit sagen, dass etwas wahnsinnig schnell ansteigt. Ein klassisches Beispiel ist die Teilung von Bakterien, wie wir sie aus der Serie „Es war einmal … das Leben“ kennen. Ab und zu tauchte dort eine böse Bakterie auf, die sich so vermehrte, dass sie sich jedes Mal in zwei teilte. Diese Art der Vermehrung können wir durch die Exponentialfunktion f(x) = 2^x beschreiben. Der Funktionswert gibt uns die Anzahl der Bakterien nach x Teilungsrunden an.

Beispiel: Am Anfang (null Teilungen, x = 0) haben wir eine Bakterie, also 2⁰ = 1. Nach der ersten Vermehrungsrunde haben wir 2¹ = 2, also zwei Bakterien. Das stimmt, eine Bakterie teilt sich in zwei. Jetzt teilen sich beide dieser Bakterien, wir haben also 2² = 4 vier Bakterien. Wieder teilt sich jede, sodass wir nach der dritten Runde schon 2³ = 8 Bakterien haben. Und so weiter.

Diese Vermehrung ist, auch wenn es nicht so aussieht, wahnsinnig schnell. Wie viele Bakterien haben wir nach der zehnten Runde? 2¹⁰ = 1024. Das ist schon eine ordentliche Zahl. Nach zwanzig Runden haben wir: 2²⁰ = 1.048.576. Nach dreißig Runden kommen wir schon über eine Milliarde.

Diese Geschwindigkeit ist viel größer als bei einer gewöhnlichen quadratischen Funktion. Vergleichen wir die Geschwindigkeit der Exponentialfunktion f(x) = 2^x und der quadratischen Funktion g(x) = x², gewinnt die Exponentialfunktion eindeutig. Den Funktionswert von f an der Stelle x = 20 kennen wir schon, der Funktionswert der quadratischen Funktion g an der Stelle x = 20 ist dagegen gleich: g(20) = 20² = 400. Das ist um ein Vielfaches weniger als 1.048.576.