Función exponencial

La función exponencial es una función que tiene la incógnita en el lugar del exponente.

Definición

La función exponencial f tiene la forma

$$f(x)=a^x,a\in \mathbb{R},a>0,a\ne 1$$

El símbolo a es un número cualquiera, no una expresión más complicada; se llama base. La expresión x se llama exponente. La base puede ser, por ejemplo, el número entero 3, el número racional $\frac{1}{2}$ o la constante π.

¿Por qué imponemos condiciones sobre la base a? Si a fuera igual a uno, obtendríamos una función constante, porque «uno elevado a lo que sea» es siempre uno. Se cumple que 1² = 1, 1⁹ = 1, 1⁶⁶⁶ = 1. Y como la función constante no la incluimos entre las exponenciales, a tiene que ser distinta de uno, es decir, a ≠ 1.

¿Y por qué tiene que cumplirse a>0? Porque la potencia con exponente real está definida solo para bases positivas. Por ejemplo, si para x eligiéramos un medio, calcular $a^{\frac{1}{2}}$ sería lo mismo que calcular la raíz del número a. Y sabemos que solo se puede calcular la raíz de un número no negativo.

Si cumplimos las condiciones anteriores, la función exponencial f(x) = a^x tiene como dominio los números reales.

Función cuadrática frente a función exponencial

Es fácil confundir la función exponencial con la función cuadrática. La función cuadrática tiene la incógnita como base y un número como exponente, mientras que la función exponencial tiene un número como base y la incógnita en el exponente. Así, son funciones cuadráticas, por ejemplo, estas funciones: x², x² + 4 o x² − x + 1. Son funciones exponenciales: 2^x, 4^x o π^x.

Funciones exponenciales importantes

Una función exponencial importante es la «función exponencial natural». Es la función que tiene como base la constante e, es decir, el número de Euler. El número de Euler es un número irracional, es decir, un número con un desarrollo decimal infinito no periódico, y no se puede calcular con exactitud. Su valor aproximado es e = 2,718 281.828… Esta función se suele escribir como exp.

Otra función exponencial importante es la «función exponencial decimal», que tiene como base diez: a = 10.

Aspecto de la función según el valor de a

La función tiene dos formas básicas, que se diferencian según el valor de la base. Distinguimos, en efecto, dos intervalos: (0, 1) y (1, +∞). Si a pertenece al primer intervalo, es decir, es menor que uno, la función es decreciente. Si pertenece al segundo, es creciente. Tiene su lógica, por supuesto. Como ejemplo tomemos $a=\frac{1}{2}$, es decir, la función $f(x)={\frac{1}{2}}^x$. ¿Qué ocurre si sustituimos x sucesivamente por dos, tres y cuatro? El valor de la función irá disminuyendo, pues obtenemos: $f(2)={\frac{1}{2}}^2=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$, a continuación $f(3)={\frac{1}{2}}^3=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}$, que es igual a $\frac{1}{8}$. Para f(4) obtenemos la mitad de un octavo, es decir, $\frac{1}{16}$. Obtenemos números cada vez menores porque la base es menor que uno. Si multiplicamos números menores que uno, obtenemos siempre un número menor.

Por el contrario, si a>1, el resultado de la multiplicación será un número mayor. Si tenemos la función exponencial f(x) = 3^x, para los valores dos, tres y cuatro obtenemos los resultados: f(2) = 3² = 3 · 3 = 9. Para el tres: f(3) = 3³ = 3 · 3 · 3 = 27. Además, f(4) = 81. La función es, pues, creciente. Fíjate en que, aunque la base fuera cualquier otro número mayor que uno, la función seguiría siendo creciente.

Por eso tenemos que distinguir también dos tipos de gráficas según el valor de la base a.

Gráficas de las funciones exponenciales

Del apartado anterior sabemos que la gráfica tiene que tener dos formas básicas según el valor de la base a. Primero mostraremos la gráfica para los valores de a del intervalo (0, 1).

Vemos que la función es decreciente y pasa por el punto (0, 1). No es casualidad: por las propiedades de las potencias sabemos que cualquier número elevado a cero es uno. Es decir, ${\frac{1}{2}}^0=1,5^0=1,{33}^0=1$, etc. Por eso también toda curva de una función exponencial tiene que pasar por este punto. También la curva que corresponde a la función exponencial con a>1, como se ve en la siguiente figura:

Propiedades de las funciones exponenciales

• El dominio es el conjunto de todos los números reales
• El recorrido es el intervalo (0, +∞)
• Está acotada inferiormente, a^x>0. No está acotada superiormente.
• No tiene máximo ni mínimo.

La monotonía de la función depende entonces del valor de a. Si a pertenece al intervalo (0, 1), la función es decreciente. Si pertenece al intervalo (1, +∞), es creciente.

Crecimiento exponencial

La expresión «crecimiento exponencial» se usa con bastante frecuencia también en el lenguaje cotidiano. Normalmente con ella se quiere decir que algo sube muy deprisa. Un caso clásico puede ser la división de las bacterias: una bacteria empieza a multiplicarse de manera que siempre se divide en dos. Este modo de multiplicación podemos describirlo mediante la función exponencial f(x) = 2^x. El valor de la función nos dará el número de bacterias tras x rondas de división.

Ejemplo: al principio (cero divisiones, x = 0) tenemos una bacteria, es decir, 2⁰ = 1. Tras la primera ronda de multiplicación tenemos 2¹ = 2, o sea, dos bacterias. Cuadra: una bacteria se divide en dos. Ahora se dividen las dos bacterias, es decir, tenemos 2² = 4 cuatro bacterias. De nuevo cada una se divide, de modo que tras la tercera ronda ya tenemos 2³ = 8 bacterias. Y así sucesivamente.

Esta multiplicación, aunque no lo parezca, es rapidísima. ¿Cuántas bacterias tenemos tras la décima ronda? 2¹⁰ = 1024. Ya es un número respetable. Tras veinte rondas tenemos: 2²⁰ = 1.048.576. Tras treinta rondas superamos ya los mil millones.

Esta rapidez es mucho mayor que en el caso de una función cuadrática corriente. Si comparamos la rapidez de la función exponencial f(x) = 2^x y de la función cuadrática g(x) = x², la función exponencial gana claramente. Ya conocemos el valor de la función f en el punto x = 20, mientras que el valor de la función cuadrática g en el punto x = 20 es igual a: g(20) = 20² = 400. Eso es muchísimo menos que 1.048.576.