Eksponenttifunktio

Eksponenttifunktio on funktio, jossa tuntematon on eksponentin paikalla.

Määritelmä

Eksponenttifunktiolla f on muoto

$$f(x)=a^x,a\in \mathbb{R},a>0,a\ne 1$$

Symboli a on mielivaltainen luku, ei mikään monimutkaisempi lauseke; sitä sanotaan kantaluvuksi. Lauseketta x sanotaan eksponentiksi. Kantalukuna voi olla esimerkiksi kokonaisluku 3, rationaaliluku $\frac{1}{2}$ tai vakio π.

Miksi kantaluvulle a asetetaan ehtoja? Jos a olisi yksi, saataisiin vakiofunktio, koska ”yksi mihin tahansa” on aina yksi. Pätee 1² = 1, 1⁹ = 1, 1⁶⁶⁶ = 1. Ja koska vakiofunktiota ei lasketa eksponenttifunktioihin, a:n täytyy olla eri kuin yksi, siis a ≠ 1.

Entä miksi täytyy päteä a>0? Koska potenssi, jonka eksponentti on reaaliluku, on määritelty vain positiiviselle kantaluvulle. Jos esimerkiksi x:ksi valittaisiin yksi puolikas, $a^{\frac{1}{2}}$:n laskeminen olisi sama asia kuin luvun a neliöjuuren laskeminen. Neliöjuuren voi kuitenkin ottaa vain ei-negatiivisesta luvusta.

Kun edelliset ehdot täyttyvät, eksponenttifunktion f(x) = a^x määrittelyjoukko on reaaliluvut.

Toisen asteen polynomifunktio vs. eksponenttifunktio

Eksponenttifunktion voi helposti sekoittaa toisen asteen polynomifunktioon. Toisen asteen polynomifunktiossa kantalukuna on tuntematon ja eksponenttina luku, kun taas eksponenttifunktiossa kantalukuna on luku ja eksponentissa tuntematon. Toisen asteen polynomifunktioita ovat siis esimerkiksi nämä funktiot: x², x² + 4 tai x² − x + 1. Eksponenttifunktioita ovat funktiot: 2^x, 4^x tai π^x.

Tärkeät eksponenttifunktiot

Merkittävä eksponenttifunktio on ”luonnollinen eksponenttifunktio”. Se on funktio, jonka kantalukuna on vakio e, eli Neperin luku. Neperin luku on irrationaaliluku, eli luku, jonka desimaalikehitelmä on ääretön ja jaksoton, eikä sitä voi laskea tarkasti. Sen likiarvo on e = 2,718 281 828… Tätä funktiota merkitään usein exp.

Toinen tärkeä eksponenttifunktio on ”kymmenkantainen eksponenttifunktio”, jonka kantaluku on kymmenen: a = 10.

Funktion muoto kantaluvun a mukaan

Funktiolla on kaksi perusmuotoa, jotka riippuvat kantaluvun arvosta. Erotetaan nimittäin kaksi väliä: ]0, 1[ ja ]1, ∞[. Jos a on ensimmäiseltä väliltä, eli pienempi kuin yksi, funktio on aidosti vähenevä. Jos se on toiselta väliltä, funktio on aidosti kasvava. Tässä on tietysti logiikkansa. Otetaan esimerkiksi $a=\frac{1}{2}$, eli funktio $f(x)={\frac{1}{2}}^x$. Mitä tapahtuu, kun x:n paikalle sijoitetaan peräkkäin kaksi, kolme ja neljä? Funktion arvo pienenee, saadaan nimittäin: $f(2)={\frac{1}{2}}^2=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$, sitten $f(3)={\frac{1}{2}}^3=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}$, mikä on $\frac{1}{8}$. Funktion arvoksi f(4) saadaan yhden kahdeksasosan puolikas, eli $\frac{1}{16}$. Saadaan yhä pienempiä lukuja, koska kantaluku on pienempi kuin yksi. Kun kerrotaan lukuja, jotka ovat pienempiä kuin yksi, tulos on aina pienempi luku.

Päinvastoin, jos a>1, kertolaskun tulos on suurempi luku. Jos eksponenttifunktio on f(x) = 3^x, saadaan arvoille kaksi, kolme ja neljä tulokset: f(2) = 3² = 3 · 3 = 9. Kolmelle: f(3) = 3³ = 3 · 3 · 3 = 27. Lisäksi f(4) = 81. Funktio on siis aidosti kasvava. Huomaa, että vaikka kantaluku olisi mikä tahansa muu yhtä suurempi luku, funktio on yhä aidosti kasvava.

Siksi täytyy erottaa myös kaksi kuvaajatyyppiä kantaluvun a arvon mukaan.

Eksponenttifunktioiden kuvaajat

Edellisestä luvusta tiedetään, että kuvaajalla täytyy olla kaksi perusmuotoa kantaluvun a arvon mukaan. Esitellään ensin kuvaaja arvoille a väliltä ]0, 1[.

Nähdään, että funktio on aidosti vähenevä ja kulkee pisteen (0, 1) kautta. Se ei ole sattumaa — potenssien ominaisuuksista tiedetään, että mikä tahansa potenssiin nolla on yksi. Siis ${\frac{1}{2}}^0=1,5^0=1,{33}^0=1$ jne. Siksi jokaisen eksponenttifunktion käyrän täytyy kulkea tämän pisteen kautta. Myös sen käyrän, joka vastaa eksponenttifunktiota kun a>1, kuten seuraavasta kuvasta nähdään:

Eksponenttifunktioiden ominaisuudet

• Määrittelyjoukko on kaikkien reaalilukujen joukko
• Arvojoukko on väli ]0, ∞[
• Funktio on alhaalta rajoitettu, a^x>0. Ylhäältä rajoittamaton.
• Sillä ei ole suurinta eikä pienintä arvoa.

Funktion monotonisuus riippuu sitten a:n arvosta. Jos a on väliltä ]0, 1[, funktio on aidosti vähenevä. Jos se on väliltä ]1, ∞[, funktio on aidosti kasvava.

Eksponentiaalinen kasvu

Käsite ”eksponentiaalinen kasvu” on melko yleinen myös arkipuheessa. Tavallisesti sillä halutaan sanoa, että jokin nousee hirvittävän nopeasti. Klassinen esimerkki on bakteerien jakautuminen. Bakteeri alkaa lisääntyä niin, että se jakautuu aina kahtia. Tämän lisääntymistavan voi kuvata eksponenttifunktiolla f(x) = 2^x. Funktion arvo kertoo bakteerien määrän x jakautumiskierroksen jälkeen.

Esimerkki: alussa (jakautumisia on nolla, x = 0) on yksi bakteeri, eli 2⁰ = 1. Ensimmäisen lisääntymiskierroksen jälkeen on 2¹ = 2, eli kaksi bakteeria. Se täsmää, yksi bakteeri jakautuu kahdeksi. Nyt molemmat bakteerit jakautuvat, eli on 2² = 4 neljä bakteeria. Jälleen jokainen jakautuu, joten kolmannen kierroksen jälkeen on jo 2³ = 8 bakteeria. Ja niin edelleen.

Tämä lisääntyminen on, vaikka se ei siltä näytä, hirvittävän nopeaa. Montako bakteeria on kymmenennen kierroksen jälkeen? 2¹⁰ = 1024. Se on jo mukava luku. Kahdenkymmenen kierroksen jälkeen on: 2²⁰ = 1 048 576. Kolmenkymmenen kierroksen jälkeen ylitetään jo miljardi.

Tämä vauhti on paljon suurempi kuin tavallisessa toisen asteen polynomifunktiossa. Jos verrataan eksponenttifunktion f(x) = 2^x ja toisen asteen polynomifunktion g(x) = x² nopeutta, eksponenttifunktio voittaa selvästi. Funktion f arvo kohdassa x = 20 tunnetaan jo, mutta toisen asteen polynomifunktion g arvo kohdassa x = 20 on: g(20) = 20² = 400. Se on moninkertaisesti vähemmän kuin 1 048 576.