Показателна функция

Показателна функция е такава функция, която има неизвестното на мястото на степенния показател.

Определение

Показателната функция f има вида

$$f(x)=a^x,a\in \mathbb{R},a>0,a\ne 1$$

Символът a е произволно число, не е никакъв по-сложен израз; нарича се основа. Изразът x се нарича степенен показател. Основа може да бъде например цялото число 3, рационалното число $\frac{1}{2}$ или константата π.

Защо налагаме условия на основата a? Ако a беше равно на едно, щяхме да получим константна функция, защото „едно на каквото и да е“ винаги е едно. В сила е 1² = 1, 1⁹ = 1, 1⁶⁶⁶ = 1. А тъй като константната функция не я причисляваме към показателните, a трябва да е различно от единица, затова a ≠ 1.

А защо трябва да е в сила a>0? Защото степента с реален степенен показател е определена само за положителна основа. Например ако изберем вместо x една втора, пресмятането на $a^{\frac{1}{2}}$ е същото като пресмятането на корен от числото a. А е в сила, че можем да вадим корен само от неотрицателно число.

Ако изпълним предишните условия, показателната функция f(x) = a^x има дефиниционно множество реалните числа.

Квадратна срещу показателна функция

Показателната функция лесно можеш да я объркаш с квадратната функция. В сила е, че квадратната функция има неизвестното като основа, а като степенен показател има число, докато показателната функция има като основа число, а в степенния показател има неизвестното. Така че квадратни функции са например тези функции: x², x² + 4 или x² − x + 1. Показателни функции са функциите: 2^x, 4^x или π^x.

Важни показателни функции

Значима показателна функция е „натуралната показателна функция“. Това е функцията, която има за основа константата e, тоест числото на Ойлер. Числото на Ойлер е ирационално число, тоест число с безкраен непериодичен десетичен запис, не може да се пресметне точно. Приблизителната му стойност е e = 2,718 281 828… Тази функция често се означава като exp.

Друга важна показателна функция е „десетичната показателна функция“, която има основа, равна на десет: a = 10.

Вид на функцията в зависимост от стойността на a

Функцията има два основни вида, различават се според стойността на основата. Разграничаваме всъщност два интервала: (0; 1) и (1; +∞). Ако a е от първия интервал, тоест е по-малко от едно, тогава функцията е намаляваща. Ако е от втория интервал, тогава е растяща. Това, разбира се, има своята логика. За пример да вземем $a=\frac{1}{2}$, тоест функцията $f(x)={\frac{1}{2}}^x$. Какво ще се случи, ако вместо x заместим последователно двойка, тройка и четворка? Стойността на функцията ще намалява последователно, защото получаваме: $f(2)={\frac{1}{2}}^2=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$, след това $f(3)={\frac{1}{2}}^3=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}$, което е равно на $\frac{1}{8}$. За f(4) получаваме половината от една осма, тоест $\frac{1}{16}$. Получаваме все по-малки числа, защото основата е по-малка от едно. Ако умножаваме числа, които са по-малки от едно, винаги получаваме по-малко число.

Обратно, ако a>1, резултатът от умножението ще е по-голямо число. Ако имаме показателната функция f(x) = 3^x, получаваме за стойностите две, три, четири резултатите: f(2) = 3² = 3 · 3 = 9. За тройката: f(3) = 3³ = 3 · 3 · 3 = 27. След това f(4) = 81. Следователно функцията е растяща. Забележи, че дори основата да е което и да е друго число, по-голямо от едно, функцията пак ще е растяща.

Затова трябва да разграничаваме и два типа графики в зависимост от стойността на основата a.

Графики на показателни функции

От предишния раздел знаем, че графиката трябва да има два основни вида в зависимост от стойността на основата a. Първо ще покажем графиката за стойности на a от интервала (0; 1).

Виждаме, че функцията е намаляваща и минава през точката (0; 1). Това не е случайно – от свойствата на степените знаем, че всичко на нулева степен е едно. Тоест ${\frac{1}{2}}^0=1,5^0=1,{33}^0=1$ и т.н. Затова и всяка крива на показателна функция трябва да минава през тази точка. И кривата, която ще отговаря на показателна функция при a>1, както се вижда на следващия чертеж:

Свойства на показателните функции

• Дефиниционното множество е множеството на всички реални числа
• Множеството от стойности е интервалът (0; +∞)
• Ограничена е отдолу, a^x>0. Неограничена е отгоре.
• Няма нито максимум, нито минимум.

Монотонността на функцията зависи от стойността на a. Ако a е от интервала (0; 1), функцията е намаляваща. Ако е от интервала (1; +∞), тя е растяща.

Експоненциален растеж

Понятието „експоненциален растеж“ се използва доста често и в ежедневната реч. Обикновено с него човек иска да каже, че нещо се покачва ужасно бързо. Класически случай може да бъде деленето на бактериите. Представи си зла бактерия, която започва да се размножава така, че всеки път се разделя на две. Този начин на размножаване можем да го опишем с показателната функция f(x) = 2^x. Стойността на функцията ще ни показва броя на бактериите след x кръга на делене.

Пример: в началото (нула разделяния, x = 0) имаме една бактерия, тоест 2⁰ = 1. След първия кръг на размножаване имаме 2¹ = 2, тоест две бактерии. Това съвпада, една бактерия се разделя на две. Сега и двете бактерии се разделят, тоест имаме 2² = 4 четири бактерии. Отново всяка се разделя, така че след третия кръг вече имаме 2³ = 8 бактерии. И така нататък.

Това размножаване, макар да не изглежда така, е ужасно бързо. Колко бактерии имаме след десетия кръг? 2¹⁰ = 1024. Това вече е солидно число. След двайсет кръга имаме: 2²⁰ = 1 048 576. След трийсет кръга вече надхвърляме милиард.

Тази скорост е много по-голяма, отколкото при обикновената квадратна функция. Ако сравним скоростта на показателната функция f(x) = 2^x и на квадратната функция g(x) = x², показателната функция безспорно побеждава. Вече знаем стойността на функцията f в точката x = 20, а стойността на квадратната функция g в точката x = 20 е равна на: g(20) = 20² = 400. Това е многократно по-малко от 1 048 576.