Üstel Fonksiyon

Üstel fonksiyon, bilinmeyeni üs yerinde bulunan bir fonksiyondur.

Tanım

f üstel fonksiyonu şu biçimdedir:

$$f(x)=a^x,a\in \mathbb{R},a>0,a\ne 1$$

a sembolü herhangi bir sayıdır, daha karmaşık bir ifade değildir; buna taban denir. x ifadesine ise üs denir. Taban örneğin 3 tam sayısı, $\frac{1}{2}$ rasyonel sayısı ya da π sabiti olabilir.

a tabanına neden koşullar koyuyoruz? a 1’e eşit olsaydı sabit fonksiyon elde ederdik, çünkü “1’in herhangi bir kuvveti” her zaman 1’dir. 1² = 1, 1⁹ = 1, 1⁶⁶⁶ = 1 olur. Sabit fonksiyonu üstel fonksiyonlar arasına saymadığımız için a 1’den farklı olmalıdır, bu yüzden a ≠ 1.

Peki a>0 neden gerekir? Çünkü üs gerçek sayı olduğunda üslü ifade yalnızca pozitif taban için tanımlıdır. Örneğin x yerine ikide biri seçseydik $a^{\frac{1}{2}}$ hesaplamak, a sayısının karekökünü hesaplamakla aynı olurdu. Oysa yalnızca negatif olmayan bir sayının karekökünü alabiliriz.

Yukarıdaki koşulları sağlarsak, f(x) = a^x üstel fonksiyonunun tanım kümesi gerçek sayılardır.

İkinci Dereceden Fonksiyon ile Üstel Fonksiyon

Üstel fonksiyonu ikinci dereceden fonksiyonla kolayca karıştırabilirsin. İkinci dereceden fonksiyonda bilinmeyen tabandadır, üs ise bir sayıdır; üstel fonksiyonda ise taban bir sayıdır, bilinmeyen üstedir. Yani ikinci dereceden fonksiyonlar örneğin şunlardır: x², x² + 4 ya da x² − x + 1. Üstel fonksiyonlar ise şunlardır: 2^x, 4^x ya da π^x.

Önemli Üstel Fonksiyonlar

Önemli bir üstel fonksiyon “doğal üstel fonksiyon”dur. Tabanı e sabiti, yani Euler sayısı olan fonksiyondur. Euler sayısı irrasyonel bir sayıdır, yani ondalık açılımı sonsuz ve devirsiz bir sayıdır, tam olarak hesaplanamaz. Yaklaşık değeri e = 2,718 281 828…’dir. Bu fonksiyon sık sık exp olarak da gösterilir.

Bir diğer önemli üstel fonksiyon, tabanı on olan “onluk üstel fonksiyon”dur: a = 10.

a Değerine Göre Fonksiyonun Biçimi

Fonksiyonun iki temel biçimi vardır, tabanın değerine göre değişir. İki aralığı ayırt ederiz: (0, 1) ve (1, ∞). a birinci aralıktaysa, yani 1’den küçükse fonksiyon azalandır. İkinci aralıktaysa artandır. Bunun elbette bir mantığı var. Örnek olarak $a=\frac{1}{2}$ alalım, yani $f(x)={\frac{1}{2}}^x$ fonksiyonunu. x yerine sırayla 2, 3 ve 4 yazarsak ne olur? Fonksiyonun değeri sırayla azalır, çünkü şunları elde ederiz: $f(2)={\frac{1}{2}}^2=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$, sonra $f(3)={\frac{1}{2}}^3=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}$, bu da $\frac{1}{8}$’e eşittir. f(4) için sekizde birin yarısını, yani $\frac{1}{16}$’i elde ederiz. Giderek küçülen sayılar elde ediyoruz, çünkü taban 1’den küçük. 1’den küçük sayıları çarparsak her zaman daha küçük bir sayı elde ederiz.

Tersine a>1 ise çarpmanın sonucu daha büyük bir sayı olur. f(x) = 3^x üstel fonksiyonumuz varsa, 2, 3, 4 değerleri için şu sonuçları elde ederiz: f(2) = 3² = 3 · 3 = 9. 3 için: f(3) = 3³ = 3 · 3 · 3 = 27. Ayrıca f(4) = 81. Yani fonksiyon artandır. Taban 1’den büyük başka herhangi bir sayı olsaydı bile fonksiyonun yine artan olacağını fark et.

Bu yüzden a tabanının değerine göre iki tür grafiği de ayırt etmemiz gerekir.

Üstel Fonksiyonların Grafikleri

Önceki bölümden, grafiğin a tabanının değerine göre iki temel biçimi olması gerektiğini biliyoruz. İlk olarak a değerinin (0, 1) aralığından olduğu durumun grafiğini gösterelim.

Fonksiyonun azalan olduğunu ve (0, 1) noktasından geçtiğini görüyoruz. Bu bir rastlantı değil — üslü ifadelerin özelliklerinden sıfırıncı kuvvetin her zaman 1 olduğunu biliyoruz. Yani ${\frac{1}{2}}^0=1,5^0=1,{33}^0=1$ vb. Bu yüzden her üstel fonksiyonun eğrisi bu noktadan geçmek zorundadır. a>1 olduğunda üstel fonksiyona karşılık gelen eğri de öyledir; aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi:

Üstel Fonksiyonların Özellikleri

• Tanım kümesi tüm gerçek sayılar kümesidir
• Görüntü kümesi (0, ∞) aralığıdır
• Alttan sınırlıdır, a^x>0. Üstten sınırlı değildir.
• Maksimumu da minimumu da yoktur.

Fonksiyonun monotonluğu ise a değerine bağlıdır. a, (0, 1) aralığındaysa fonksiyon azalandır. (1, ∞) aralığındaysa artandır.

Üstel Artış

“Üstel artış” terimi günlük konuşmada da oldukça sık kullanılır. Genellikle bununla bir şeyin çok hızlı arttığı söylenmek istenir. Klasik bir örnek bakterilerin bölünmesidir. Bir bakterinin her seferinde ikiye bölünerek çoğaldığını düşünelim. Bu çoğalma biçimini f(x) = 2^x üstel fonksiyonuyla tanımlayabiliriz. Fonksiyon değeri bize x bölünme turundan sonraki bakteri sayısını verir.

Örnek: başlangıçta (sıfır bölünme, x = 0) bir bakterimiz var, yani 2⁰ = 1. İlk çoğalma turundan sonra 2¹ = 2, yani iki bakterimiz olur. Bu doğru, bir bakteri ikiye bölünür. Şimdi bu iki bakterinin ikisi de ikiye bölünür, yani 2² = 4 dört bakterimiz olur. Yine her biri ikiye bölünür, böylece üçüncü turdan sonra 2³ = 8 bakterimiz olur. Böyle devam eder.

Bu çoğalma, öyle görünmese de çok hızlıdır. Onuncu turdan sonra kaç bakterimiz var? 2¹⁰ = 1024. Bu şimdiden epey büyük bir sayı. Yirmi turdan sonra: 2²⁰ = 1.048.576. Otuz turdan sonra bir milyarı geçeriz.

Bu hız, sıradan bir ikinci dereceden fonksiyonun hızından çok daha büyüktür. f(x) = 2^x üstel fonksiyonunun ve g(x) = x² ikinci dereceden fonksiyonunun hızını karşılaştırsak, üstel fonksiyon açık ara kazanır. f fonksiyonunun x = 20 noktasındaki değerini zaten biliyoruz; g ikinci dereceden fonksiyonunun x = 20 noktasındaki değeri ise şuna eşittir: g(20) = 20² = 400. Bu, 1.048.576 değerinden kat kat azdır.